江苏省常州市2023-2024学年九年级新课结束调研数学试题（含答案解析）

江苏省常州市实验中学2023-2024学年九年级新课结束调研

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.计算/./的结果为（）

A.a-B./C.a6D.as

【答案】C

【分析】

本题考查了同底数幕相乘：底数不变，指数相加，据此即可作答.

24M6

【详解】解：a-a=a=a

故选：C

2.为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同

有关部门近五年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科

学记数法表示是（）

A.1.86x10sB.186x1（）6c.1.86xl09D.0.186xl09

【答案】A

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中上间＜10,n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【详解】解：将数据186000000用科学记数法表示为：1.86x108.

故选A.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其

中lW|a|＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.16的平方根是（）

A.16B.4C.±4D.±8

【答案】C

【分析】

本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根

是0；据此解答即可.

【详解】解：•.・±&^=±4,

试卷第1页，共28页

.­•16的平方根是±4,

故选：C.

4.在平面直角坐标系中，点尸(-3,-4)关于了轴对称的点的坐标为()

A.(3,4)B.(—3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)

【答案】C

【分析】

本题考查了坐标与图形变化一轴对称，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵

坐标不变是解题的关键.

(详解】点尸(T-4)关于了轴对称的点的坐标为(3,-4),

故选：C.

5.一个小组5名同学的身高(单位：cm)分别为：160,158,168,151,170.这组

数据的中位数是()

A.151B.155C.160D.168

【答案】C

【分析】

本题考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然

后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；

如果是偶数个，则找中间两位数的平均数.

【详解】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为151,158,160,168,170,

发现160处在第3位.所以这组数据的中位数是160,

故选：C.

6.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的

抛物线为()

A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)

2+3D.y=-5(x-1)2+3

【答案】A

【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案.

【详解】将抛物线y=-5x2+l向左平移1个单位长度，得到y=-5(x+1)2+b再向下平

移2个单位长度，

所得到的抛物线为：y=-5(x+1)2-l.

故选A.

试卷第2页，共28页

【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.

7.已知一次函数尸=丘+6（晨6为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式依+6>0

的解集是（）

【答案】C

【分析】从图象上可得函数值y随x的增大而减小以及函数与x轴的交点的横坐标，进

而可求不等式丘+6>0的解集.

【详解】解：由图象可知，函数>=履+6的图象经过点（2,0）,并且函数值y随x的增大

而减小，

.•.当x<2时，函数值大于0,

即关于x的不等式foe+6>0的解集是X<2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系.解题的关键在于数形结合求解不等式的

解集.

8.如图是一种轨道示意图，其中4DC和48C均为半圆，点A,C,N依次在同一

直线上，且4W=CN.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着

轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M—/C—N和

NTCTBTATM.若移动时间为x,两个机器人之间距离为小则y与x关系的图

象大致是（）

试卷第3页，共28页

D

【答案】D

【分析】设圆的半径为R,根据机器人移动时最开始的距离为NM+CN+2R,之后同

时到达点4,C,两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿OfC

和Cf3f/移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2A，当机器人分别沿CfN

和/fM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大.

【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从N两点同时出发，

设圆的半径为R,

两个机器人最初的距离是/M+CN+2区,

:两个人机器人速度相同，

...分别同时到达点N,C,

两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A,C；

当两个机器人分别沿/和/移动时，此时两个机器人之间的距离是

直径2R,保持不变，

当机器人分别沿CfN和/fM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排

除C,

故选：D.

【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键.

试卷第4页，共28页

二、填空题

9.若二次根式有意义，则x的取值范围是

【答案】^>2

【详解】解：根据题意，使二次根式工二有意义，即x-2出,

解得：定2.

故答案为：x>2.

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关

键.

10.分解因式：Y+2/6+062=

【答案】a(a+b)2

【分析】首先提公因式，原式可化为以/+2"+〃)，再利用公式法进行因式分解可得

结果.

【详解】

解：a3+2a2b+b3=a{a2+2ab+b2)=a(a+b)2,

故答案为：a(a+b)\

【点睛】

本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组,

十字相乘做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底.

11.计算"-三■的结果为

X+lX+1

【答案_】一3—

X+1

【分析】

本题主要考查了同分母的分式减法，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.

2x+32x2x+3-2x3

【详解】解::——，

x+1x+1x+lX+1

3

故答案为:

X+1

12.若关于x的一元二次方程/+2x+%=0有两个相等的实数根，则用的值

为

【答案】1

试卷第5页，共28页

【分析】

由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于“的方程，则可求得〃?的值.

【详解】

••・关于X的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，

A=0,即2?-4xlx/w=0,

解得m=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运

用一元二次方程的根的判别式是解题关键.

13.扇形的圆心角为150。，半径为6cm,它的弧长为cm.

【答案】5n

【分析】

mrr

根据弧长公式求解.

e7〃兀尸150兀乂6L(\

【详斛】解：/=—==57t(cm),

1oU1oU

故答案为：5兀.

【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式/=需.

180

14.正六边形的内角和为度.

【答案】720

【详解】解：因为多边形的内角和公式：180。("-2),

所以正六边形的内角和：180°x(6-2)=180°x4=720°.

故答案为：720

15.如图，△N3C为。。的内接三角形，若/。8/=55。，则.

【答案】35。

【分析】先利用等腰三角形的性质得/0/8=/。24=55。，再根据三角形内角和定理,

计算出//08=70。，然后根据圆周角定理求解.

【详解】：04=08,

试卷第6页，共28页

：./OAB=/OBA=55。,

：.ZAOB=1SQ°-55°x2=70°,

/4CB=-ZAOB=35°.

2

故答案为：35°.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的

关键.

C3

16.如图，在mZk/BC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为点，如果万'=一，4>8,

^ACDB2

那么CD的长是.

【分析】证明△4DCSACD2,根据相似三角形的性质求出CD、BD,根据勾股定理求

出BC.

【详解】解：•••/4CB=90。,

ZACD+ZBCD=90°,

"：CDLAB,

：.ZA+ZACD=90°,

：.ZA=ZBCD,又NADC=/CDB,

：.AADCsACDB,

,AD_CD

"'~CD~~DB'

C\ADC_4D

GCDBBD

.••丝J,即£、，

CD2CD2

解得，cr>=y,

故答案为：—

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定

理是解题的关键.

试卷第7页，共28页

17.如图，P（12,a）在反比例函数y=?的图象上，轴于点则sin/R9〃的

值_________.

【分析】

本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，求反比例函数值，先把点P坐标代入反比例

函数解析式中求出点P坐标，进而得到08=12,PH=5,再利用勾股定理求出

OP=y]OH2+PH1=13>最后根据正弦的定义求解即可.

【详解】解：・・・P（12,a）在反比例函数y=?的图象上，

._60__

••Q-]2-5，

二尸（12,5）,

:尸打上无轴于点打，

：.OH=12,PH=5,

OP=y!0H2+PH2=13>

sin/POH,

OP13

故答案为：—.

ATJ1

18.如图，在中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点、D为4B上一点,且一=-,

BD4

点E为NC上一动点，连接即，过点。作。尸，DE,交直线BC于点、F,点、G为EF

的中点，当点£从点/运动到点C,点G的运动路径长为.

【答案】3&6

【分析】

试卷第8页，共28页

连接CD,CG，DG,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点G在线段

CD的垂直平分线上运动，找到运动过程中的临界点：当点用与点A重合时，点耳在

的延长线上，当点用与点C重合时，点心在C8的延长线上，取C耳的中点R,则

F、R=CRG.R//AC,且回尺=；4。=3,过点。作ZW//C于N,DH工BC于H,则

DN//BC,DH//AC,四边形C7TON为矩形，易得CN=DH=g,AN=

BH=",DN=CH=l，,进而求得CD=JzW、+CN?=,AD=2,BD=3,再根

655

据。片J_Z)4，DF2LDE2可证得A45cs△耳弦)，ADCF2s丛HCD,可求得片5=10,

C耳=16,即可求得CR,CG2,再结合&G2=C&+CG2,利用G°2=而耳莪可即

可求得答案.

【详解】

解：如图，连接CD,CG,DG,

■：DFIDE,ZC=90°,

ZACB=ZEDF=90°,

■：EF的中点为G,

CG=DG=-EF,

2

…一冲2

如图，当点片与点A重合时，点耳在8C的延长线上,

试卷第9页，共28页

当点刍与点C重合时，点用在C2的延长线上，

取C片的中点出,则耶=C&,G.R^AC,且G|R=；4C=3,

过点。作DN//C于N,DH工BC于■H,

则DN〃BC,DH//AC,四边形CHDN为矩形,

.AN_AD\CHAD

"CW-&D-4;而一访一"

AC=6,BC=8,则=用+C=10,

小，6x42464x83232…88

CN=DH=---=——,AN=----BnrHr=---=——,BnHrr=——,DN=CH=---=—

4+154+14+1564+15

8回

CD=Vw2+CN2=

5

AD=yjAN2+DN2=2-BD=^DH2+BH2=8，

'：DFXLDEX,即_L/5,

/.ZBDF{=ZBCA=90°f

又•：/DBF、=/CBA,

ABBC108

“ABCs鸣BD,则第=而，即：用蓝,

：.F}B=10,贝!|片。=片3-5C=10-8=2,

则CE=1与C=l,

2

•/DF21DE2,即。％_LCB，

/.ZCDF2=ZCHD=90°f

又・；/DCF2=/HCD,

s.^DCF^^HCD,

则宗噬，即：

I：J=16-

o

5

・•.G?为E2F2的中点，则G?为C6的中点,

CG2=；x16=8,

/.RG2=CR+CG2=1+8=9,

试卷第10页，共28页

G&="G屋+RG；=A/32+92=3厢，

故答案为：3回.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股

定理，动点轨迹问题，平行线分线段成比例，找到动点轨迹的两个临界点，构造相似三

角形求得与8,5的长度是解决问题的关键.

三、解答题

19.计算与化简：

2

⑴计算：（-2）+|-V3|+2sin600-V12;

（2）化简：x（尤—2）+（尤+1）~.

【答案】（1）4

⑵2/+1

【分析】

本题考查实数的运算及整式的运算.

（1）根据实数的运算顺序，先算乘方，后算乘法，最后加减；

（2）先去括号，再合并同类项.

【详解】（1）解：原式=4+G+2X@-26

2

=4+6+3-26

=4；

（2）JM=x~-2x+x~+2x+l

=2X2+1.

20.解方程与不等式：

⑴7x（5x+2）=6（5x+2）；

（x-3）（x-2）<8

（2）解不等式组：，1\.

5—x>2%

I2

【答案】（l）XI=-g,X2=1

试卷第11页，共28页

5y/33

（2）---------<x<2

,22

【分析】

本题考查求解一元二次方程，不等式组，掌握求解方程及不等式的方法是解决问题的关

键.

（1）先移项，再利用因式分解法即可求解；

（2）首先分别解出各个不等式，然后利用“大取大小取小，大小小大中间找，大大小小

无解了“求解集即可.

【详解】（1）解：7x（5x+2）=6（5x+2）,即：7x（5x+2）-6（5x+2）=0,

（5尤+2）（7x-6）=0,

5x+2=0或7x—6=0,

(x-3)(x-2)<8©

⑵解：L1。，

5—x>2x(2)

12

由①得：x2-5x-2<0iBPX2-2X—x+--2--<0,

.•.1一|]_*0,即卜/孚卜一.孚卜0,

X--H———>0__

^224日5J335\33

贝1—，得——-一<%<-+-一，

5.m2222

x——-—<0

122

x---\———<0

或冷，止匕时无解，

X------->0

122

日口5而,/5底

即:-----«X«—1--------；

2222

由②得：10-x>4x,解得x<2；

・.•不等式组的解集为3-叵Vx<2.

22

21.如图，在中，点。在边BC上，CD=AB,DE〃AB,ZDCE=ZA.求证：DE=BC.

试卷第12页，共28页

【答案】证明见解析

【分析】利用角边角证明MDE2A4BC,即可证明DE=BC.

【详解】证明：•:DE〃AB,

：./EDC=/B.

又,：CD=AB,NDCE=/A,

：.4CDE沿AASC(ASA).

：.DE=BC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键.

22.以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发

展对人才的需求更加旺盛.某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类

专业的毕业生，现随机调查了加名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下

(1)m=,n=；

(2)请补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是；

(4)若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有名.

【答案】(1)50,10；(2)补全条形统计图见解析；(3)72°；(4)估计“总线”专业的

毕业生有180名.

【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的数据计算即可.

(2)先算出硬件专业的毕业生人数,再补充统计图即可.

(3)先算出软件专业的占比,再利用周角相乘即可算出圆心角.

试卷第13页，共28页

⑷用600与总线所占比相乘即可求出.

【详解】(1)由统计图可知加=照=50,

«=—=10%,n=10.

30%50

(2)硬件专业的毕业生为50x40%=20人，则统计图为

软件硬件总线测试专业类别

(3)软件专业的毕业生对应的占比为—xl00%=20%,所对的圆心角的度数为

20%x360°=72°.

(4)该公司新聘600名毕业生，“总线”专业的毕业生为600X30%=180名.

【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的画图和信息获取，关键在于通过图象获取

有用信息.

23.有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、-百，

乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1、-1、2,小丽先从甲袋中随机取出一

个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数

字为乃设点尸坐标为

(1)请用列表格或树状图列出点尸所有可能的坐标；

(2)求点尸在第二象限的概率.

【答案】⑴点尸的坐标可能为：(1,1),(1,-1),(1,2),(-A1),(-V3-1),(-73,2)

【分析】

本题考查了列表法或画树状图法求概率，象限内点的坐标特征，正确列出表格是解题关

键.

(1)先列出表格，再写出坐标即可；

(2)根据树状图求概率即可.

【详解】(1)解：列表表示所有等可能出现的结果如下：

1-12

试卷第14页，共28页

1（1」）(LT)（1，2）

-V3(-Ai)(-V3-1)(-73,2)

...点P的坐标可能为：(1,1),(1,-1),(1,2),(-A1),(-A-1),(-73,2)；

（2）解：由树状图可知，共有6种等可能出现的结果，其中点尸在第二象限的有2种,

21

...点P在第四象限的概率为：=

63

24.辘粉（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘的”，说

明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘护.如图2是从辘特抽象出来的几何模

型,在RtaABC中，ZACB=90°,。是/C边上一点，以。/为半径的。。与A5相交

于点P,已知CP=CB.

图1图2

（1）求证：直线CP是。。的切线.

Q)若NB=60。,BC=36,求的半径.

【答案】（1）证明见解析

（2）0。的半径为3

【分析】（1）连接。尸，根据。4=0尸可得44=乙4尸O,根据。=CB得=尸C,

再证AAPO+NBPC=90°可得到ZOPC=90。即可的结论；

（2）设。。的半径为r,在RhOPC中，根据勾股定理列方程，解方程即可解决问题.

【详解】（1）证明：连接。尸，

OA=OP,

ZA=ZAPO,

■：CP=CB,

试卷第15页，共28页

NB=ZBPC,

在RtZ\/BC中，44cB=90°,

:.ZA+ZB=90°,

：.ZAPO+ZBPC^90°,

ZOPC=180°-90°=90°,

OPVCP,

・・・直线CP是oo的切线；

(2)解：在RtZ\/3C中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=36，

...NC=8C-tan60P=36x6=9,PC=3百，

设。。的半径为r,在RtAOPC中，

r2+^373j=(9-r)2,

解得：r=3,

：.G＞。的半径为3.

【点睛】本题考查了切线的判定及勾股定理的应用，添加辅助线和利用方程完成图形计

算是解决问题关键.

25.某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部

门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg.如图，在销售过程中发现销量y(kg)

与售价x(元/kg)之间满足一次函数关系.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当该商品售价定为多少元/千克时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(l)y=-2x+6O0OWE8)

(2)当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元

【分析】

考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问

试卷第16页，共28页

题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错.

(1)根据一次函数过(12,36),(14,32)可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合

关系式，进而确定函数关系式，

(2)先求出总利润少与尤的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确

定何时获得最大利润.

【详解】(1)解：设〉与》的解析式为."=h+6,把(12,36),(17,26)代入，

,口J12左+6=36

得：1174+6=26,

[k=-2

解得：Am

・..y与X的之间的函数解析式为：y=-2x+60,

自变量x的取值范围为：10V尤V18；

(2)解：由题意可知总利润用=(x-10)(-2x+60)=-2,+80X-600

=-2(x-20)2+200

Va=-2<0,抛物线开口向下，对称轴为尤=20,

在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，

■■-10<x<18,

.,.当x=18时，/最大=-2(18-20)2+200=192(元)，

答：当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元.

26.给定一个函数：y=x+；+l(x>0),为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与

性质解决实际问题，进行如下探索：

(1)图象初探

①列表如下

②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.

试卷第17页，共28页

(2)性质再探

请结合函数的图象，写出当x=,y有最小值为,

⑶学以致用

某农户要建进一个如图所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知

底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.

设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元.

根据以上信息，请回答以下问题：

①写出y与x的函数关系式：,水池总造价的最低费用为千元;

②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？

【答案］⑴①f7y13;②见解析

⑵1,3

(3)@y—x-\---F3,5；②一VxV2

x2

【分析】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解

此题的关键.

(1)①把X=g和X=3分别代入解析式即可得出结论；

②把表格中x,V的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来；

(2)根据图形得出结论；

(3)①根据长方体的侧面面积，可得函数关系式，再结合(2)可得结论；

②令x+」+3W5.5,解不等式即可.

X

【详解】(1)

试卷第18页，共28页

①•「y=x+—+1(%>0),

x

11117

••・当X」时，片2+1+13

22

113

当x=3时，y=3+-+i=—,

-713

故答案为：—,--；

23

②如图：

由图象可得：当x=l时，歹的最小值为3,

故答案为：1,3；

（3）

①由题意可知,=（—|x2x0.5+3=xH----F3,

VxJx

由（2）可知，当x=l时，％+工+3的最小值为5,

「•水池总造价的最低费用为5千元，

故答案为：y=x-\—F3,5；

X

②由题意xH----F3<5.5,

,/x>0,

/.2x2-5x+2<0,即：（2x-l）（x-2）<0,

解得：1<x<2.

即：x的值应控制的范围为：1<x<2.

27.【定义学习】

过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形

称为“点足三角形”，在"点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角

试卷第19页，共28页

如图1,OA1\,OBLl2,垂足分别为4、2,则AO48为“点足三角形"，为“垂

角”.

【性质探究】

（1）两条直线相交且所夹锐角为a度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”

度数为度（用a表示）.

（2）如图2,点。为平面内一点，OALl,,0B11],垂足分别为/、B,将唾角”绕

着点。旋转一个角度，分别与4，4，相交于C、D,连接CD.

求证：AOABs^ocD.

【迁移运用】

3

（3）如图3,PN=a,点/在射线上，点3是射线PN上的点，且tane=—,

4

24

PA=4.则/MW的外部是否存在一点。使得“点足三角形。48”的面积为石，若存在，

求出此时总的长；若不存在，请说明理由.

OQ1a

【答案】（1）（180-0或a（2）见详解（3）的长为三或

【分析】（1）当两条直线所夹锐角为a度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当

定点。在两直线的同侧，且在直线4的下方时，点足三角形AO/B垂角度数为。度，根

据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点。在两直线的同侧，且在直线4的上方时,

点足三角形ACUB垂角度数为a度，根据垂直的性质和四边形内角和可推得当定点。在

直线4的下方，直线4的上方时，点足三角形AO/8垂角度数为（180-a）度，即可作答..

（2）根据旋转的性质可得N/OC=N2OD,根据余弦的定义可推器=器，根据相似

三角形的判定可得△CUBs^ocD；

（3）分类讨论：当定点。在两直线的同侧，且在PN的下方时，根据对顶角相等和等

角的余角相等可推得/P=NO=a,/尸=/"£>=£,根据正切的定义可推得=3,

试卷第20页，共28页

ED3

根据勾股定理可得产。=5,根据正切的定义可推得丁=:，设。£=3x,则/£=4x,

AE4

39123

根据勾股定理可求得x==，推得。E==，=，根据正切的定义可推得，

5554

4

设OB=x，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得x=（,推得

A4OO

0B=-,BD=g,即可求得尸3=；-；

433

当定点。在两直线的同侧，根据正切的定义可推得=ED-BE,AD=-OA

344f

44S-Q448-12r

OA=—AD,BE=----OA,设=则。4=—x,BE=--------,根据三角形的

325325

面积公式和割补法计算面积的方法求得x=3即可求得尸。==13,根据正切的定义推

得筹=:，设BD=3X,则必=4x,根据勾股定理可求得P2=g；

当定点。在尸M直线4的下方，PN直线4的上方时，根据正切的定义推得/。=3,根

据勾股定理可求得DP=5,根据正切的定义推得。5=，设BD=x，根据正切的定

343

义推BE=：PE,根据勾股定理求得尸E=4-匚x,BE=3—1X,根据三角形的面积公式

455

和割补法计算面积的方法得到方程式，进行求解即可.

【详解】解：（1）当两条直线所夹锐角为。度，即/C=a,

当定点。在两直线的同侧，且在直线4的下方时，令两直线交点为点GCM与4交于点

D,如图：

L

•：OA1AC,OB工BC,垂足分别为43,S.ZADC=ABDO,

：.ZC=NO,

即点足三角形垂角度数为a度；

当定点。在两直线的同侧，且在直线4的上方时，如图：

n

•：OA1AC,OB_LBC,垂足分别为45,1.ZBDC=ZADO,

试卷第21页，共28页

，zc=za

即点足三角形AONB垂角度数为a度；

当定点。在直线人的下方，直线4的上方时，如图:

，4+408=360°-90°-90°=180°,

/./N08=180°-NC=180-a度，

即点足三角形AOAB垂角度数为(180-a)a度度；

综上：点足三角形ACU5垂角度数为(180-0或a度

(2)：将“垂角”绕着点。旋转一个角度，分别与4,4,相交于C、D,

：.ZAOC=ZBOD,

,：OA1AC,OB1BD,

QA

...在RtZ\G4。中，cos/4OC=而，，

OR

在^tZ\DBO中，cos/BOD=,

OD

cosZAOC=cos/BOD,

即更=丝，

OCOD

又,:ZAOB=ZCOD,

"ABSAOCD.

(3)当定点。在两直线的同侧，且在尸N的下方时，令OA与PN交于点、D,过点4作

VOALPM,OB1PN,ZADP=ZBDO,

/P=Z.O=OL,

又,：AE1PN,OALPM,ZADP=ZADP,

试卷第22页，共28页

/尸=Z.EAD=a,

....AD3

在Rt△尸ZZ)中,tanZP==tana=—,PA=4,

AP4

3

AD=-AP=3,

4

PD=yjAP2+AD2=5

ED3

在Rt^EAD中，tan/"。=----=tana=—,

AD4

口/lsED3ED3

BPtan/£L4Z)-=tana——,R艮n|3——,

AE4AE4

设DE=3x,贝l」/£=4x,且/。=3,

在RtaEAD中,AD2=AE2+DE2，

即3?=(3x)2+(4x)2,

3

解得：尤=；,

912

故。£=《，AE=—,

BD3

在Rt^BOD中，tmZBOD==tana=—,

OB4

3

即AD=—08,

4

3

设OB=x,则BD=—x,

*/SOR—S+S=—xDBxAE+—xDBxOB=—xDBx(AE+OB),

^AUD&ADnRBL.Ln)nURD222\J

164

解得：玉=一《（舍去），=—,

43

故OB=—,BD=—,

328

.・.PB=PD+DB=5+-=—；

55

当定点。在两直线的同侧，且在PM的上方时，令CM与尸M交于点D,过点B作

BELPM于点E,如图：

u：OA1PM,OB1PN,且ZADO=/BDP,

：.ZP=ZO=a,

试卷第23页，共28页

又,：BEiPM,OB1PN,ZPDB=ZPDB,

：.ZP=ZEBD=a,

在RtAPBE中，

/nBE3

tanAP==tana=一,

PE4

4

^PE=-BE,

ED3

在RtA£BZ)中，tan4EBD==tana=-，

BE4

3

^ED=-BE,

4

AT)3

在RtAOAD中，Rt△440。-----tanex——,

OA4

34

即4。=—CM,OA=-AD,,

43

43

^AP=PE+DE+DA=-BE+-OA=4,

34

整理得：BE=48；,,

448-12x

设4。=x,则=BE=,

325

,**S△AUb=S△AADD。U+Se△ADABB——?xADxBE-\—?xADxOA=—2xADx(\BE+OA)/,

3

解得：演=-3(舍去)，x2=—,

3

故AD=—,

4

313

：.PD=AP-AD=A——=—；

44

3

在Rt△尸8。中，tanZP=BD：PB=tana=—,

4

故设5Q=3x,贝1J尸B=4x,

在Rt△尸中，DP2=BD2+PB\

即=(3X)2+(4"

1313

解得：玉二—茄（舍去），Z=不

・••依=4x巨上；

205

当定点。在HZ直线4的下方，7W直线，2的上方时，过点5作于点延长

AO交PN于点、D,如图:

试卷第24页，共28页

•・•在四边形中，OALPM,OBIPN,

・・・ZP+ZAOB=360°-90°—90。=180°，

：.ZP=ZBOD=af

4D3

在Rt△尸4。中，tanZP==tana=—,且AP=4，

PA4

・・・AD=3,

在R34D中'DP=ylAD2+PA2=万+42=5

BD3

在Rt^BOD中，tanZBOD=----=tancr=—,

OB4

4

即OB=-BD,

3

4

设=贝IJO5=—x,PB=PD-DB=5-x,

3

BE3

在Rt△尸£3中，tan/P==tana=—

PE4

3

^BE=-PE,

4

在Rt△尸助中，BP2=PE2+BE2，

即(5-x『=尸石？+[:尸,

4

整理得：PE=4--x

故5£=m一|x

,**S-OB=S&ADP~~S“AB—SADOB=5x"尸xAD—^xAPxBExBDxO1,

241,1<314

即nn：——=—x4x3——x4x3xx--x

25225J23

整理得：-50/+90x-72=0,

△=902-4x(-50)x(-72)=-6300<0,

故无解；

OQ1Q

综上，尸8的长为个或

试卷第25页，共28页

【点睛】本题考查了垂直的性质，四边形内角和，对顶角相等，等角