湖南省常德市2023-2024学年高三年级上册期末检测数学试题含答案解析

常德市2023-2024学年度上学期高三检测考试

数学（试题卷））

本试卷满分150分，考试时间120分钟

命题人：

注意事项：

1.所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答.

2.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A=,6={x|—2WxW2},则A]B=

A.[0,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.0

2.已知复数z满足z（l+i）=3+i,则|z|=

A.5B.V5C.V2D.1

cos0

3.已知向量a=（cosasin。），=（3,-1）,若。_16,则----------的值为

'）'）sin9+cos。

4.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部

署.某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计2023年人均交增加1000元收入，以后

每年将在此基础上以10%的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过3000元的年

份大约是

（参考数据：111371.10,InlO«2.30,Inll®2.40）

A.2030年B.2032年C.2033年D.2035

年

5.某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布N（89,13?）,

若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是

(附：P(〃-crWXW〃+cr)u0.6827,0(/z—2crWXW〃+2cr卜0.9545,

P(〃—3bWXW〃+3o■卜0.9973)

A.第18名B.第127名C.第245名D.第

546名

6.已知等差数列｛4｝与各项为正的等比数列｛q+d｝满足：％=4=1,%=3,

4+4=19,则

A.b.=14B.a=17C.b4—50

D.d=54

7.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是

官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用.图

1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥

组成的几何体；如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3：1,且该几何体的顶点均

在体积为36二的球的表面上，则该几何体的表面积为

图1图2

A.48+16后B.64+160C.48+32万

D.64+32亚

8.已知函数〃x)=2Gsin尤cosx-2sin2%,若"％)在区间a三上是单调函数，则实

数。的取值范围是

71717171

6'312’312’3

6'3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5,7.8,7.8,7.8,8.0,8.0,

8.3,8.3,8.8,8.9,选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分

的平均数.则下列说法正确的是

A.剩下的8个评分的众数为7.8

B.原来的10个评分的80%分位数8.3

C.剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小

D.剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小

10.已知。＞。＞0,则下列不等式一定成立的是

ablaba2+b1

A.-------＞-------B.-------＜J-----------Ca+b+In(^ab)>2

a+lb+1a+b、2

1+lna1+lnZ?

11.设圆(％—2『+(y—4)2=16的圆心为M,双曲线C：?—2=1的左右焦点分别耳，

F2,已知圆M与双曲线C相交于A,8两点，且|4同=4攻，则下列说法正确的

A.双曲线C的焦距为2#

B.双曲线C的渐近线方程为＞=±岳

C.双曲线C的焦点到渐近线距离为2

D.过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是—8，—孝j

12.如图，在多面体尸中，以，平面四边形ABCD是正方形，S.DE//PA,

PA=AB=2DE=2,M,N分别是线段BC,PB的中点，。是线段CD上的一个动点，则

下列说法正确的是

A.存在点°,使得

B.存在点。，使得异面直线NQ与尸£所成的角为30°

12

C.三棱锥Q-4MN体积的取值范围为-,j

D.当点。运动到C。中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为如

6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=必+xlnx在x=l处的切线方程为

\6

14.2-\/x—~j=的展开式中V的系数是.（用数字作答）

I

15.已知定义域为R的函数“力满足：/（x+l）=/（l—x）,且函数/（x+2）为奇函数,

则/（2024）=

%y2

16.已知椭圆C：—-+=1（a>Z?>0）的左、右焦点分别为耳,点尸为椭圆C

ab2

上一点，线段耳尸与y轴交于点。，若|尸@=2|0解，且“耳鸟为等腰三角形，则椭圆C

的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列｛〃/的前〃项和为S“，点〃,j在直线丁=尤+2的图象上.

\n7

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若数列抄〃-4｝是首项为1且公比为2的等比数列，求数列抄“｝的前n项和7；.

18.（本小题满分12分）

在三棱台ABC—AlBlCi中，已知AA｛_L平面ABC,AB=AC=4,AA1==AlCl=2,

ZBAC=90°.

B

第18题图

(1)证明：平面ABC1，平面CBC]；

(2)若M,N分别为4c与AB的中点，直线MN与直线AG相交于点P,求平面ABC1

与平面ABP的夹角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且JO-asinC=JIccosA.

(1)求角C；

(2)若c=3,/ACS的平分线CD交A8于点。，且CD=2,求△ABC的面积.

20.(本小题满分12分)

已知点P为抛物线C：产=2X(p>。)的焦点，点尸(2,1),2(0,1),S.\PF\=\QF\.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若直线/过点。且与抛物线C相交于A,B两点，面积为4后，求直线/的方

程.

21.(本小题满分12分)

某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂.产品检验需要进行三项工序A、

8、C,三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不

合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两

项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”.每个产品检验A、B、C三项工序

工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p(0<p<l).

(1)记某产品被确定为“不合格”的概率为/(p),求的值；

(2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检

验费用为200元.除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预

算检验总费用(包含检验费用与其他费用)为10万元.试预测该企业检验总费用是否会超

过预算？并说明理由.

22.(本小题满分12分)

xl

e-1

设函数/(%)=-------Inx-1,=2^-1(x-l)-x.

x2

(1)讨论函数g(x)在区间(1,+x)上的单调性；

(2)若函数在区间(1,+co)上的极值点为〃且零点为Z?,求证：a]nb-blna>0.

（参考数据：111270.693,2.718）

常德市2023-2024学年度上学期高三检测考试

数学（参考答案）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案ABDDBCAA

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分

选对的得2分，有选错的得0分.

题号9101112

答案ACDABADACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

A/3-I

13.y=3x-214.6415.016.---------

2

四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解：

（1）••,点在直线y=x+2的图象上,

In）

.•.1=”+2,即S“=+2/7

n

当〃=1时，％=S[=3

当〃与2时，S,T=(n2+2n)-[(〃—l)2+2(n—1)]=2"+1

又％=3符合上式,

an=2n+l(〃wN*)

(2)由题设可知2-4=2〃T

则2=2〃+l+2"T

Tn=(3+5+7++(2〃+l))+(l+2+4++2〃一)

〃(3+(2〃+l))\-2n

21-2

=T+rr+2n-l

18.（本小题满分12分）

（1）证明：取AC的中点。，则AZ>〃4G且AD=AG，

四边形ADG4为平行四边形，则有AAnGDuZ,

又AD=CD=2,故NAC]C=90°,

.，.AQ±CQ

又ACLAB,"AC=A,AA；,ACu平面AC£4

AB，平面ACQA

又CGu平面ACC\A,

/.AB±CC]

又AG^CC],ACjAB^A,AC】，ABu平面ABC1

CQ_L平面ABCt

又CGu平面CBC[,

平面A3G，平面Cg

（问卷说明：（1）也可用向量方法证明）

（2）如图，以A为原点，48,AC,44]方向分别向尤轴、y轴、z轴建立直角坐标系A-孙z,

则5（4,0,0）,C（0,4,0）,4（2,0,2）,40,2,2）,M（1,2,1）,N（2,0,0）

因为尸在直线AC上，设尸（0,42）,则PM=（L2—4—1）,MN=（1-2-1）

由题意知P,M,N三点共线，可设PM=kMN,

l=k

则2—%=—2左，解得攵=1,2=4

—1二­k

故0(0,4,2).

设平面的法向量为m=（九,y,z）,AB=（4,0,0）,AP=（0,4,2）

4x=0

则，取y=l,则切=（0,1,-2）

4y+2z=0

由（i）知CG，平面ABG，取平面ABG的法向量为〃=gcG=（o，—1』）

设平面ABC,与平面ABP的夹角为。，

I一■Im,n

贝!Jcos0-cos<m,n>=-n--

m\\n

^|0-l-2|=3Vio

—7572—10

故平面ABC,与平面ABP的夹角的余弦值为千。

19.(本小题满分12分)

解：

(1)因为其—asinC=J^ccosA,由正弦定理可得

\/3sinB-sinAsinC=-73sinCeosA

即y/3sin(A+C)-sinAsinC=V3sinCcosA,

即s/3sinAcosC+^3cosAsinC-sinAsinC-^3sinCeosA,

所以6sinAcosC=sinAsinC

又Ae(0,»),所以sinA>0,

所以GcosC=sinC,则tanC=沟一=百，

cosC

又Cw（O,乃），所以

71

(2)解：由题意得NACD=ZBCO=—,

6

又SAABC=S/V1CD+S&BCD

LL1I17.1ci.兀1

所以一〃/?sm-=—x2psin——F—x2«sin—,

232626

即石。/?=2（。+匕）

由余弦定理得9=a2+b--2abeosg,即9=(a+匕了—3ab

=-3ab,

解得ab=6或ab=—2（舍）

而zc卜•C_3耶

所以SAABC=-absmC=~^-

20.（本小题满分12分）

解：

（1）由题设可知尸|尸目=|QF|

整理得2P-4=0,解得p=2.

所以抛物线C的标准方程为V=4%

（2）由题可知直线/与抛物线C交于A、8两点，故直线/的斜率存在且不为0,

可设直线/的方程为y=履+1（左00）,A（x，yJ、B（x2,y2）

联立直线I的方程y=kx+l与抛物线方程V=4%消>得

k2x2+（2k-4）x+l=0

由A=16(1—左)>0得左<1且左70

471+k2

2kl

点P到直线l的距离为d=.11

VFZi

,.•△小^面积为小巧,

12kl

•,^APAB=40

2X加+i

化简得2f+Z—l=0,

解得左=!或—1

2

直线I的方程为y=gx+l或y=—x+1

21.(本小题满分12分)

解：

(1)法一：

由题知，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为《p2。—p)+《p3

首次检验有且只有1项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为

C]p(l-p)2[l-(l-p)2]

则f(p)=C；p2(l-p)+Cfp3+C》(l—p)2]

=—3/+12/_]7p3+9/

法二：间接法

/(。)=1-(1--(I"PY^](1-PT

(2)设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120,200

由题知P(X=200)=夕(1—p)2

P(X=120)=1-C^p(l-p)2

：.E(X)=120+240p(l-p)2,/?e(O,l)

令g(x)=120+240x(l—x)2,%e(O,l),

则g")=240(3X_1)(%-1),

当0<x<g时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当;<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

/」(1400〜1400

则nlg(x)Wg[§J=-