广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高三年级上册1月期末数学试题含答案

广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高三上学

期1月期末

2023-2024学年度第一学期期末质量检测

高三数学

2024.01

注意事项：

1.本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.

3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.

4.非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.

5.考试结束后，考生上交答题卡.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={x|04x44},6={x|(x+3)a-2)<0},则4nB=()

A.[0,1)B.(-1,3]C.[0,2)D.(2,3]

2.已知复数z满足z(i-l)=2i,则z的共扼复数为()

A.1—iB.1+iC.-1—iD.-1+i

22

3.双曲线J=l(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为110°,则离心率为()

a'b'

A.——-——B.——-——C.2sin70°D.2cos20°

cos70°sin70°

4.已知48是平面cr上的点，4，片是平面夕上的点，且则是“a〃尸”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设等比数列{《,}的前〃项和为S,,,已知5,用=3S.+2,〃eN*,则S4=()

A.80B.160C.121D.242

6.已知4是边长为2的正六边形444444的一个顶点，则而的取值范围是()

A.[-8,8]B.[-4,8]C.[-4,12]D.[-8,12]

7.若函数/(x)=cos"+V)(<y>0)在(0,?)有最小值，没有最大值，则o的取值范围是()

4161016(1022

B.C.

33

8.已知曲线E:y=e'与y轴交于点〃，设E经过原点的切线为/,设E上一点5横坐标为〃«〃?工0）,若

直线48〃/,则〃?所在的区间为（）

A.-l<m<0B.0<m<1C.\<m<—D.—<m<2

22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在正方体中，用垂直于的平面截此正方体，则所得截面可能是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

10.已知wR',直线/|:x+（4—2）_v+1=0,4-2bx+y—2.=0,且《_L4，则（）

，，一一.4

A.ab的最大值是B.的最小值是一

5

1?

C.20+4〃的最小值是4D.——+一的最小值是3

<2+1b

11.已知直线/：y=X与圆「：。一2%）2+8-4+1）2=1,下列说法正确的是（）

A.所有圆「均不经过点（1,1）

B.若「关于/对称，则％=—1

C.若/与「相交于48且43=则左=—2

D.存在圆『与x轴与y轴均相切

12.定义在R上的函数/*)满足2/(3-x)-/(x)=——12x+18J'(x)是函数/(x)的导函数，则

()

A./(0)+/'(0)=。

B.曲线y=/（x）在点（1J。））处的切线方程为2x—y-1=0

C./（x）—/'（x）Nm在R上恒成立，则〃zW-2

D,一二"7一

ev

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在(x+2)5(l—y)的展开式中，/y的系数为.(用数字作答)

14.某同学收集了变量羽y的相关数据如下：

X0.5233.545

y15

乂y2为y4ys

为了研究的相关关系，他由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为/=%+17,经验证回归直线正

5

好经过样本点(2,15),则£必=

/=1

15.已知抛物线「：/=2⑷(p〉0)的顶点为。，焦点为产，准线为/,过/的直线与「在y轴右侧交于点

E.若E在/上的射影为。且尸0|=4|尸。],则直线纸的斜率为.

16.将正方形Z8CD延对角线8。折起，当ZC=2百时，三棱锥/一38的体积为竺已，则该三棱锥外

3

接球的体积为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知数列｛6,｝满足％=1,%+]=、口型■4“.

Vn

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)求数列1—1—\的前n项和S,,.

18.(12分)

正四棱锥P—/BCD的底面48co是边长为6的正方形，高为4,点",N分别在线段PC,Z5上，且

AN=2NB,PC=4PM,E为PC的中点.

(1)求证：BE〃平面DMN；

(2)求直线ZC与平面DW所成角的正弦值.

19.(12分)

△ABC的内角4优C所对的边分别为a,b,c,4ABC的面积为S,

从条件①bcos4+Qcos8-2ccosC=0；

条件②2ccos4+。=2b；

条件③4s=+〃一,2)中选择一个作为已知，并解答下列问题.

(1)求角。的大小；

(2)点。是△NBC外一点，DC=3,D4=1,若446c=60°,求四边形Z8C。面积的最大值.

20.(12分)

在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病(血液样本化验呈阳性)的概率为

p(0<p<l).根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优.现对

每组的3个样本给出下面两种化验方法：

方法1：逐个化验；

方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验。若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本

呈阴性，则判断这3个样本均为阴性。

(1)若p=0.4,用随机变量丫表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出丫的分布列并计算E(Y).

(2)若p=0.25,现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？

(3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求p的取值范围.

21.(12分)

已知函数/(x)=eA-aln(x+l)(aGR).

(1)若/(x)的最值为。，求实数a的值；

(2)当。时，证明：f(x)2(〃+l)a.

e

22.(12分)

在平面直角坐标系中，已知片(-1,0),工(1,0),0为动点，且|£。|=4,线段的垂直平分线交线段居0

于点P,设P的轨迹是曲线C,射线尸耳，尸月分别与C交于48两点.

(1)求C的方程；

(2)若尸耳=4耳4尸6=,求证：4+4为定值.

参考答案

一、单项选择题

题号12345678

答案CBABACDD

二、多项选择题

题号9101112

答案ADBCABABD

三、填空题

7332万

13.-1014.6915.----16.------

33

四、解答题

17.解：（1）解法一、由。

由累乘法得乙，胃黄高，.乎X鲁…X磊=〃.

解法二、由a

是各项为1的常数列,所以务=1,即a“=G.

y/n

(2)由⑴得-------=—7=■―11=J〃+l-，

a„+an+}yJn+yln+\

所以s,=（血_1）+（6—8）+…+（v^i_〃）=v^n_i.

18.证明：（1）方法一、在线段CD上取点尸，使得CF=2DF,连接ER、BF,

因为儿为尸C的中点，所以CE=2ME,所以EF〃DM,

又EE仁平面DMN,0Mq平面DMN,所以EE〃平面Z）MN,

在平行四边形Z3CD中，因为/N=2N8,CF=2DF,所以DF=NB,旦DF〃NB、

所以四边形DE8N是平行四边形，所以DN〃FB,

又3尸仁平面DMN,£W三平面DMN,所以8尸〃平面DMN,

又平面EFB,且8bnEE=E，所以平面EF6〃平面,

又BE三平面EFB,所以AE〃平面

方法二、延长C6、ON交于点G,连接MG,

在平行四边形48。中，因为AN=2NB,由三角形相似，易证6C=2G8,

因为PC=4/"7,E为PC的中点，所以CE=2"E,所以EB〃MG,

又BE仁平面平面。MN,所以8E〃平面。MN.

方法三、坐标法（略）

（2）连接8。交ZC于点。，连接尸O,

因为正四棱锥尸—ABCD的底面ABCD是正方形，所以尸。，平面ABCD,

且。故以。为坐标原点，0405,0。所在直线依次为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示,

(A5、

由己知可得/(3及,0,0),8(0,30,0),。(一3&,0,0),。(0,-3a,0),河—-—,0,3,"(女,2&,0),

I4)

所以，AC=(-672,0,0),DN=(V2,5V2,0),DM平,303,

设平面。脑V的一个法向量为万=（x,y,z）,

\/2x+5\[2y-0

DMn^Q

由得'3、历I—

DN-ii=0-半x+3⑶+3z=0

9J2

取x=5,则＞=一1*=周一，所以历

设直线ZC与平面。的夹角为。，则

1072

sin6=cos〈4C•万〉

17

19.解：（1）选①，方法一（射影定理），因为6COS/+QCOS8-2CCOSC=0

由射影定理c=acos8+ccos4得c-2ccosC=0,即cosC=—,

TT

因为0<C<〃，所以。=一，

3

方法二(边化角)因为bcos4+acos6-2ccosC=0,

由正弦定理得sincos力+sin4cos8-2sinCeosC=0,

即sin(4+8)-2sinCcosC=0,

因为4+8+C=〃，所以4+8=万一。，

所以sin(4+8)-2sinCcosC=sin(^-C)-2sinCcosC=sinC-2sinCcosC=0,

,11

因为0<C<乃，所以sinC>0,cosC=5,所以。=§.

方法三(角化边)因为bcos4+〃cos8-2ccosC=0,由余弦定理得

121222222

,b+c-aa+c-b~a+b-c,2

b----------------ba-----------------2c---------------=0,即Rnq~2+6f~2―/=7,

2bc2ac2ab

所以cosC=

lab2

71

因为0<C<乃，所以c=—.

3

力2+4_2

选②，方法一（角化边）因为2ccos/+a=2b,由余弦定理得2c------二+Q=26,

2bc

HPa2-\-h~-c2-ah,所以cosC”———,

2ab2

TT

因为所以。二上.

3

方法二（边化角）因为2ccos/+a=2b,由正弦定理得2sinCcos/+sin4=2sin6,

因为4+8+。=〃，所以夕="一（/+。），

所以2sinCcos4+sin/=2sin［乃一（4+C）］=2sin（J+C）=2sinCcos4+2sin/cosC,

因为sin4>0,所以cosC='，

2

TT

因为0<C<%,所以C=2.

3

选③，因为4s=6（。2+62_。2）,由S=gqbsinC得2a从由0二百（小+〃一°2）,

由余弦定理得，sinC=石."+'———=V3cosC,即tanC=包二=,

2ahcosC

因为0<C（乃，所以C=2.

3

TT

（2）在△Z8C,NC84=60°,C=§,所以△ABC为等边三角形，设/C=x,x>0,

在△NC。中，由余弦定理可得NO?=4）2+82-24）.8（：05。，

由于D4=1,Z）C=3,代入上式可得f=10-6cos。，

所以四边形46C。的面积歹=5八4叱+528=|x-xsin|+|xlx3sinZ）=^x2+|sinZ）

A/33f5A/3

=—（10-6cosZ））+—sinZ）=3sinl£>-y1+-^—,

TTTT24

因为0<。<乃，所以一一一一<——,

333

所以当时，四边形/BCD的面积取最大值，最大值为％8+3.

62

20.解：⑴丫的分布列为:

Y0123

p

2754368

125茂115125

£(Y)=|

(2)采用方法1,3个样本需要试验次数为3次，或采用方法2,以实验次数为随机变量X,则X的可能取

2737

值为1或4,且p(X=l)=打p(X=4)=l-

64

所以£(X)=上175

64

因为E(X)=一17二5<3,所以方法2更优.

64

(3)采用方法2,设3个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量X,

则X的可能取值为1或4,且p(X=l)=(l—p)3,p(X=4)=l—(l—p)3,

由已知得(1一0)3+4口一(1—p)3]<3

1

解之得，0<°<1-3万.

所以"的取值范围为0<P<1—33.

a_(x+l)e'v-a

21.解：(1)易知/(x)的定义域为(一1,+oo),且/'(x)=e

x+1x+1

①若则/'(x)>0,

.•./(X)为单调递增函数，无最值;

②若Q>0,令函数g(x)=(x+l)e”-Q,则g'(x)=(x+2)e",

当X£(-1,+oo)时，g'(x)>0,g(x)为单调递增函数，

又g(-l)=_Q<O,g(a)=(a+l)e0-a>(a+l)-tz=l>0,

g(x)在区间(-l,a)上存在唯一零点，不妨设其为玉,,

A

则g('o)=O，B|J(x0+l)e°-a=0(*),

，当xe(-Lx。)时，g(x)<0,B|Jf'(x)<0,

/(X)在区间(-1,X0)上单调递减;

二当xe(须),+00)时，g(x)>0,即/''(x)>0,

/(X)在区间(%,+8)上单调递增,

.•./(X)存在唯一的最值(最小值)，且最小值为/(xo)=exo-aln(xo+l),

由题意可知，e%-aln(xo+l)=a(**),

a

,.,(工0+l)e&—a=0,...e"二1，代入(**),得------t/ln(x0+l)=a,

x。+1

又a>0,/.------ln(x0+1)=1,

%+1