湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题（含答案解析）

湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合&={引*=3〃+1,〃€?4,8={4,5,6,7},则集合AcB的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.若i（l+z）=l（i为虚数单位），则z+5=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.命题“VxeR,尤2-2X+3>。”的否定为（）

A.GR,%?—2尤+3>0B.£R,—2x+3K0

C.VXGR,x2-2x+3<QD.VXGR,x2-2x+3>0

4.若抛物线y2=2px（p>0）上一点到焦点的距离是5p,则P的值为（）

A.-B.-C.-D.-

4332

5.城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设

在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目

中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数

为（）

A.110B.144C.132D.156

6.已知向量。=«,2）力=（2,-1）.若a与b的夹角的余弦值为-半，则实数，的值为（）

553

A.-B.——C.-D.——

2222

7.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是060.7和0.5,

且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等

级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）

A."B,1C.17

D.

298829

8.已知。=10二,匕=9吗。=89,则a涉,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.

二、多选题

9.已知平面直角坐标系中，M（—2,0）,N（2,0）,动点尸（x,y）满足|PM=3|PN|,点P的

轨迹为曲线C,点尸到直线/：尤+y+6=0的距离的最小值为d,下列结论正确的有()

A.曲线C的方程为5-6)2+y=32B.d=2叵

C.曲线C的方程为(x+6)2+y2=32D.

10.下列命题中，说法正确的有()

A.设随机变量X,10，；］,则。(X)=5

B.成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数「越接近于1

C.决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

D.基于小概率值a的检验规则是：当时，我们就推断“。不成立，即认为X

和y不独立，该推断犯错误的概率不超过a；当/<x.时，我们没有充分证据推断

“()不成立，可以认为x和y独立

11.已知函数“X)与其导函数g(x)的定义域均为R,且/⑴-》与g(l-2x)均为偶函

数，则下列说法一定正确的有()

A./(x)关于x=l对称B."“关于点(0,1)对称

c.g(x+2)+g(x)=2D./(o)=l

12.如图所示，四边形A3CD是长方形，A3=3,3C=4,半圆面APD，平面ABCD

点尸为半圆弧4〃上一动点(点尸不与点4。重合).下列说法正确的有()

A.三棱锥尸的四个面都是直角三角形

B.三棱锥尸体积的最大值为4

C.异面直线出与BC的距离的取值范围为［4,5］

D.当直线总与平面ABCD所成角最大时，平面R4B截四棱锥尸-ABCD外接球的

15元

截面面积为下

4

三、填空题

13.已知数列｛4,｝的首项为1,4。用=3"("€川)，则/=.

试卷第2页，共4页

14.已矢口(1+=%+%X+%X2++,贝U2/+%+%+4+。8=.

15.已知\Z§sin°-V^cose=2sina,3sin℃os9=sin2,,则4cos22a—cos22£=.

16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点小尸2,它们的离心率分别为G，4,点尸为它们的

一个交点，且cos-EPB=-；.当3e；+《取最小值时,e；的值为.

四、解答题

17.甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上(含90

分)获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知

识竞赛成绩，整理得到如下数据(单位：分)：

甲：86,87,89,92,91,89,89,95,88,94.

乙：88,89,95,94,94,88.

丙：96,93,90,89.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.

(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；

(2)设X表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计X的数学

期望E(X).

18.在1aABC中，角A氏C所对的边分别为c,向量机=卜+4,向量

n=(c-b,也a+b),且加_L〃.

⑴求证：tanB=3tanA；

(2)延长BC至点。，使得ZM=O3.当ZD4c最大时，求tanP的值.

19.如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm,441,8月为圆台的两条不

同的母线.

⑴求证：\BXHAB；

(2)截面ABB.A,与下底面所成的夹角大小为60°,且截面截得圆台上底面圆的劣弧44的

长度为半，求截面的面积.

20.已知递增的等差数列｛q,｝(aeN*)满足：%+%+41=21,%,%，%成等比数歹!).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

q

⑵记s“为数列｛叫的前"项和，2=寸，求数列圾｝的前”项和7”.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵如图所示,点A是椭圆C的右顶点，过点(6,0)的直线/与椭圆C交于不同的两点E,F,

且都在x轴的上方，点尸的坐标为(：,()].证明：ZAPE^ZOPF.

22.已矢口函数/(x)=31nx+ox2—4x+Z?(a>0力wR).

⑴讨论函数八%)的单调性；

(2)当时，方程〃同=。有三个不相等的实数根，分别记为%[=1,2,3).

①求6的取值范围；

②证明上一丐|<4(i=1,2,3"=1,2,3).

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据题意求集合B,进而可得结果.

【详解】因为集合4=何》=3〃+1,〃€阴，B={4,5,6,7},

则AcB={4,7},所以集合AcB的元素个数为2.

故选：B.

2.A

【分析】根据复数的除法运算求解，即可得出z,根据共轨复数的概念得出I，进而得出答

案.

【详解】由已知可得，l+z=-=-i,

1

所以，z=—l—i,则z=-1+i，

所以，z+z=-2.

故选：A.

3.B

【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可.

【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，

命题“VXER,炉一2x+3>0”的否定为：R,x2—2x+3<0.

故选：B.

4.C

【分析】先求出准线方程，根据抛物线的定义得出3+§=5p,求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，抛物线的准线方程为x=-点，

根据抛物线的定义可得，点"（3,祖）到焦点的距离等于到准线的距离3+5,

所以，3+§=5p,解得p=；.

故选：C.

5.C

【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答

案.

【详解】添加节目后，共有12个节目，

答案第1页，共19页

因为保持原来10个节目的相对顺序不变,

则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，

所以，不同的排法种数为A；=12x11=132.

故选：C.

6.D

【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则求解.

【详解】由题意：a-b=2t-2,\a\=^4,\b\=45,

所以一亭=提粤n3

5J广+3矿2

故选：D

7.A

【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.

【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A民。，三人中恰有两人没有达到优秀

等级为事件。，

.-.P（A）=0.6,P（B）=0.7,尸（C）=0.5,

P（D）=P（ABC\JABC\JABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.4x0.3x0.5+0.4x0.7x0.5+0.6x0.3x0.5=0.29，

P（BD）=P（ABC）+P（ABC）=0.3x0.4x0.5+0.3x0.5x0.6=0.15,

P（BD）Q.1515

P(B\D)

P（D）-029-29,

故选：A.

8.D

【分析】根据题意可得lgQ=lg4-lgl0,lg/7=lg54g9,lgc=lg6」g8,构建函数

/(x)=lgx-lg(14-x),4<x<6,利用导数分析可知〃x)在［4,6］上单调递增，进而结合对数

函数单调性分析判断.

【详解】因为。=10.,b=9g,c=8院,

两边取对数得：修〃=lg4-IglOJg*=lg5-lg9,Ige=Ig61g8,

答案第2页，共19页

令/(x)=lgx/g(14-x),4WxW6,

则收制Jg("-x)Igx1(14-x)lg(14-x)-x.lgx

、xlnlO(14-x)In10InlOx-(14-x)

令g(x)=x-lgx,则g'(x)=xJ(lgx)+“(lgx)'=lgx+，^>0,xe(l,+8),

可知g(x)在(L+s)上单调递增，

因为44xV6,贝1］8V14-X410,可知14一恒成立，

贝Ug(14-x)>g(x),即g(14—x)-g(x)>0,可得用x)>。，

则/(x)=Igx•1g(14-x)在［4,6］上单调递增，可得“4)<〃5)<"6),

可得lg4-IglO<lg5lg9<lg6-lg8,即Iga<Igb<Ige,

又因为>在(0,+e)上单调递增，所以a<b<c.

故选：D.

【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数/(x)=lgx/g(14-x),4WxW6,利

用导数判断其单调性.

9.AB

【分析】根据已知得出/(尤+2『+、2=VLj(无_2『+y2,化简即可判断A、C项；求出圆

心到直线的距离，即可判断B、D.

【详解】对于A、C项，由己知可得，\PM\=^x+2)2+y2,\PM\=^x-2)2+y2.

则由|加|=0|尸M可得，.+2)»2=&小-2)»2,

平方整理可得，X2-Ux+y2+4=0,

化为标准方程可得，(尤-6)2+/=32,圆心为(6,0),半径7=4夜.故A正确，C错误;

对于B、D项，圆心(6,0)到直线/:x+y+6=0的距离为=6点,

双

所以，圆上点到直线，：x+y+6=0的最小距离〃=60-厂=2&.故B正确，D错误.

故选：AB.

10.CD

【分析】根据二项分布的方差公式，计算即可判断A；根据样本相关系数厂的意义，可判断

答案第3页，共19页

B；根据决定系数炉的公式，即可判断C；根据独立性检验思想，即可判断D.

【详解】对于A项，根据二项分布的方差公式可得，。(乂)=10><品(1-口告.故人错误；

对于B项，样本相关系数上|越接近于1,线性相关性越强.故B错误；

对于c项，决定系数炉=1-之4(…―二)2，残差平方和为£„(y-少)2,根据决定系数公式可

1=1

得，火2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.故C正确；

对于D项，根据独立性检验思想可知，D正确.

故选：CD.

11.BC

【分析】根据已知得出g(x)关于X=1对称.假设/(X)关于X=1对称，求导即可得出矛盾；

根据偶函数的性质，得出〃X)-/(T)=2X,两边同时除以X,即可判断B；根据已知，结

合导函数得出g(x)-l关于(0,0)对称，g(x)-1也关于x=l对称，即可得出g(r)+g(x)=2,

g(l+(x+l))=g(l-(x+l)),进而推得g(x+2)=2-g(x),即可得出C项;根据已知,无

法确定“0).

【详解】对于A项，因为g(l-2x)为偶函数，

所以g(x)关于x=l对称.

若/(X)关于X=1对称，则导函数g(X)关于点(1,0)对称,

这与g(x)关于x=l对称矛盾，所以A错误；

对于B项，因为为偶函数，

所以/(%)-%=/(-x)+x，即f(x)-f(-x)=2x,

所以““一正。=/区+止”=2,所以B正确；

XXX-X

对于C项，因为/(x)-x为偶函数，

所以/'(%)-*'=g(x)T为奇函数，

答案第4页，共19页

所以g(x)-l关于(0,0)对称,g(x)关于(0,1)对称,所以g(-x)+g(x)=2.

又g(x)关于X=1对称，所以g(l+(x+l))=g(l-(x+l)).

所以，g(x+2)=g(l+(x+l))=g(l-(x+l))=g(-x)=2-g(x),

所以g(x+2)+g(x)=2,故C正确；

对于D项，由A知，g(x)关于点(0,1)对称,g(O)=l.

但/(。)=1无法确定.故D错误.

故选：BC.

12.ABD

【分析】根据已知可知EW,区4。为直角三角形，根据面面垂直以及线面垂直的性质定

理可推得△出「为直角三角形，根据边长关系推得92+即2=班)2,即可得出△比>£»为直

角三角形.进而判断A项；设△APD底边AD边上的高为/Z,由已知可推得

%一.0=!'4?、4。./2.根据已知得出/2的最大值，即可求出体积最大值；根据已知得出异面

直线丛与8c的公垂线段，即可得出距离；过点尸作PAD于点/，根据面面垂直的性

质推得ZPBF为直线依与平面ABCD所成角.设|"|=x,根据已知结合三角形的性质得出

得出相关线段长度，表示出sin2/PBP=生三.设〃x)="二二(0<x<4),求导根据导函

数得出函数的最大值为g,进而得出PB=/,易知截面为以尸3为直径的&E4s的外接圆，

根据圆的面积公式，求解即可得出答案.

【详解】对于A项，因为AD是圆的直径，所以八4£)为直角三角形，AP2+PD2=AD2.

由已知四边形ABC。是长方形，所以一为直角三角形，且AB1+AD1=BD1-

因为半圆面APD_L平面ABCD,半圆面APD1平面ABCD=M>,ABu平面ABCD,

所以，A52平面APD

又平面AP。，所以AB_LAP,ABYDP,

所以，△B4P为直角三角形，PB2=AB2+AP2.

所以，PB2+PD2=AB2+AP2+PD1AB2+AD2=BD2，

所以，△8PD为直角三角形.

所以，三棱锥尸-ABD的四个面都是直角三角形.故A正确；

答案第5页，共19页

对于B项，由A知，Afil平面APD.

设△AP。底边AD边上的高为〃，

贝=-xABx-ADh=-xABxADh.

F-ABD326

显然，当〃最大时，体积最大.

当点尸为半圆弧AO上的中点时，〃最大为

所以，体积最大值为"人孙:4。="><4><4=4.故8正确；

o212

对于C项，由A知Z1B_LAP,又BCLAB,

所以，线段A8为异面直线AP与3c的公垂线段，

所以，异面直线AP与BC的距离为|他卜3,故C错误;

对于D项，过点P作尸产J_AD于点歹，

因为半圆面AP£>,平面A3CD,半圆面AP。|平面ABCD=AD,尸尸u平面APQ,所以,

PF_L平面ABCD,

所以，/P忙为直线PB与平面ABCD所成角.

设AF=x,则。尸=4一x,PF=dx(4-x),PD=2y/4-x.

易知3。=5,PB2^BD2-PD2^9+4X,

PF24x-x2

所以,sin2ZPBF=

9+4x

设〃x)=某言(0<x<4),

-4X2-18%+36-2(尤+6)(2x-3)

(9+4"(9+4x)2

当时，/'(x)〉0,〃x)单调递增；当xegf时，/(“<0,

/(元)单调递减;

所以，Ax"-=/[£]=；，sin/形/的最大值为'此时NP3尸最大，

PB=^9+4x|=715.

易知尸3为RtB43的斜边,

又平面R4B截四棱锥P-ABCD的外接球的截面为的的外接圆,

答案第6页，共19页

所以，截面圆的直径为总，S=TIX［于J=亍，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：由点尸向交线做垂线,根据面面垂直的性质，得出线面角NPBF.设AF=x,

进而根据三角形的性质以及已知条件，表示出sin一刊超的关系式.求导根据导函数得出函数

的单调性，求出最大值时x的值.进而判断得出截面的形状，即可求出答案.

13.81

【分析】由a"4M=3"(〃eN*)得&R=3("eN*),进而判断｛4｝中各个偶数项。2，%，%L构

an

成首项为3,公比为3的等比数列，即可得到小.

ol

【详解】由q,%=3"(〃eN*)得**=3向(〃eN*),a2=-=3,

于是小2=9="=3伍eN*),即9=3(〃eN*).

anan+lan

所以数列｛“〃｝中，各个奇数项％，4,%L构成首项为1,公比为3的等比数列，

同理，各个偶数项％S.gL也构成首项为3,公比为3的等比数列，即q=434=3羡

所以％=34=81.

故答案为：81.

14.129

【分析】分别令％=1和联立方程组求得为+〃2+。4+"6+〃8=2’=128,再令元=0,

求得%=1,即导2%+。2+。4+。6+“8的彳直.

28

［详解］由(1+x)8=%+a1x+a2x++tz8x,

令X=1,可得/+〃］+〃2++。8=2*,

即(％+%+%+)+(4+/+%+%)=28

令x=—1,可得4—q+4—/+L+/=0,

即(Q。+6?2+Q4+〃6+〃8)-(〃1+〃3+〃5+%)=0，

答案第7页，共19页

联立方程组，求得为+%+〃4+〃6+〃8=2,=128,

再令x=0,可得4=1,

Jpfy以2ao+%+%+4+4=1+128=129.

故答案为：129.

15.0

【分析】将条件石sin°-Gcos9=2sina两边平方化简得3-3sin20=4sin2a,再将所求式子

利用二倍角余弦公式化简运算得解.

【详解】QA/3sin(p-^3cos夕=2sina,

/.^A/3sincp-^3cos(p^=4sin2a,化简得3-3sin2°=4sin2。,

.23

又sin分=3sin夕cos夕=/sin20，

.\4cos22tr—cos22(3=(2cos2a+cos2/?)(2cos2a—cos2/?)

=12(l-2sin2cr)+1—2sin?/?jx^2(l-2sin2cr)-l+2sin2尸］

=(3-4sin2a-2sin2;0^1-4sin2«+2sin2£)

=(3—3+3sin2^?—3sin2夕)(1—3+3sin20+3sin2°)=0.

故答案为：0.

16.史亚

8

53

【分析】根据椭圆、双曲线的定义用4,出表示|尸盟，|时|，结合余弦定理可得4=彳+彳，

再利用“1”的灵活运用以及基本不等式分析求解.

2222

【详解】设椭圆方程为T+今=l(q>4>0),双曲线方程为：二-夫=1(火>0/>0).

axbxa2b2

不妨设点尸为第一象限的交点,

答案第8页，共19页

PF】+PF2=2q尸耳=q+%

由题意知:则

PF】-PF2=2a2PF?

由余弦定理得：4c2=1尸耳尸耳HPR|.COS上空E，

即4c2=(q+4)+—“2)—2(q+%),(q—“2)，

S353

整理得4/=5吊+5婿，则4=彳+窈，

当且仅当|£=等时取等号，

y/Sef=3e；厂

可得2_9+3近，解得£；=三好・

+4=———o

故答案为：-5.

8

【点睛】方法点睛：1.椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法

求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或

不等关系，然后把。用a,c代换，求e的值.

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结

合起来.

17.（1）|

【分析】（1）根据古典概型及对立事件计算概率；

（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.

【详解】（1）甲在以往参加的10次知识竞赛中有4次成绩获得优秀等级.

记事件A为“甲在本次知识竞赛中获得优秀等级”，

答案第9页，共19页

42

则尸（A）=历

5

3

所以甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率为1-尸（力=不

（2）X的所有可能取值为0」,2,3.

记事件B为“乙在本次知识竞赛中获得优胜等级”,

事件C为“丙在本次知识竞赛中获得优胜等级”,

313?

则/⑻=7=2,尸(c)="由⑴知/(A)=M

则P(X=0)=P(A)P(B)P(C)

1-|13

2440

P(X=1)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

21131131314

=—X—X——|——X—X——|——X—X—=——

52452452440

P(X=2)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

21121331317

—X—X——F—X—X—+—X—X—

52452452440

尸（X=3）=P（A）尸（3）尸（C）

2136

=——x—x—=—

52440

所以其分布列为:

X0123

314176

P

40404040

/.E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=—

4040404020

18.（1）证明见解析

⑵tanD=A/3

【分析】（1）由已知可推得°2=262-2/.结合余弦定理得出c=4acos3,根据正弦定

理边化角，化简可得cosAsittB=3sinAcos3,即可得出证明;

（2）设/BAC=a0<a<],推得-C4r）=3—<z.根据两角差的正切公式，得出

答案第10页，共19页

1,然后根据基本不等式，得出正切值的最大值时，。满足的条件.

--------F3tanor

tan<7

进而推得△钳7）为等边三角形，即可得出答案.

【详解】（1）因为机_L〃，

所以力〃=（0+人）（0一人）+（后〃一5）（忘〃+人）=0,

即。2=2〃_2/.

又甘=a?+。2_2accos5，

以，c?+2a2=2H—2a2+2c?—A-ciccosB•

整理可得c=4acosB.

再由正弦定理得：sinC=4sinAcosB,

结合sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

可得，sinAcosB+cosAsiaB=4sinAcosB.

即cosAsinB=3sinAcosB.

显然cosAcosBw0,

sin/?cir）2i

两边同时除以cosAcos》可得，——=3——,即tanB=3tanA.

cosBcosA

（2）如图：设/5AC=a[0<a<,则tanB=3tana（tana>。）.

因为=所以B=/B4D=a+/C4D,

则NC4T>=5—a.

tanB-tancr

故tanZCAD=tan（B-a）=

1+tanBtana

2tan<7_2

l+3tan%-I+3tan&-

tancr

因为―--I-Stance>2J---x3tana=2y/3,

tancrVtana

答案第n页，共19页

当且仅当一^=3tana,即tana==火时取等号.

tana36

所以，tan/CAD〈斗=也.

2A/33

此时tanB=g,

所以8=1,故△ABD为等边三角形，即tanD=g.

19.（1）证明见解析

⑵1O^cm2

【分析】（1）根据台体的结构特征可知AA，2用四点共面，结合面面平行的性质定理分析

证明；

（2）解法一：建系，利用空间向量结合面面夹角可得Qoj=6,进而求截面面积；解法二：

分别取AB,AB,的中点为C,C,,分析可知NOCG为截面ABB^与底面所成夹角，可得

|cq|=2,进而求截面面积.

【详解】（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母

线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

可知母线AA与母线B片的延长线必交于一点，即A,4,8,用四点共面，

又因为圆面。1〃圆面。，且平面-圆面O]=4耳，平面A331Al圆面O=

所以A耳〃A瓦

⑵解法一：因为劣弧A耳的长度为A三ir，则〃04=耳2兀

由.AOigsAOB,可得ZAQ5="2.

如图，建立空间直角坐标系。-孙z,设|00j=t（r>0）,

答案第12页，共19页

则4(6,0,0),网一3,3石,0),4(4,0,。，

可得招=(-2,0j),=卜9,3石,0),

n・=-2x+/z=0

设平面的一个法向量为4=(x,y,z),则＜

n•AB=-9x+y=0

令x=l,则y="z=],可得先

由题意可知：底面的一个法向量为=(O,OJ),

因为截面与下底面所成的夹角大小为60,

360。=卜05〈％,%》=

解得"百，即|。«|=百，可得理=万，

在等腰梯形ABBIA中，44=4后,钻=66，

可得等腰梯形ABB,A的高/?=2,

所以S梯/网&=g(4百+6⑹・2=10限mL

解法二：如图，分别取A8,44的中点为CG，连结OG，cc_0C,

由题意可得：OC，A8,CG，A8,

所以ZOCC,为截面ABB^与底面所成夹角，即ZOCC,=60,

答案第13页，共19页

过点G作G。，。。于点。，由QG=2,OC=3,得8=1,

则|CG|=2（即梯形的高）,

所以S梯切班4=）（4/+64）々TOgcn?.

20.⑴。〃=2〃—1,〃GN

〃2+4〃+6

(2)7；=6-£N*

2〃

【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出即可;

（2）错位相减后得到结果，再用错位相减法进行计算，即可求解.

【详解】（1）设a〃=q+（〃一l）d,d>0,

3a4=213(q+3d)=21BJa,=1=7

由题意得(q+d)2=q(%+4d)'解侍［d=2或［d=0（舍去）

。2=。5

an=2〃-1,几wN*.

(2)由(1)可得S“「(4+&)=1,

2

贝=区=土,［=优+历+4++bn=-+^-+^-++—,①

〃2〃2〃n125n22〃

可得:6*+*+*++票+,,②

①-②可得:5臼+会+?++±*,

设K“咤+墨+墨++果.③

底“=华+与+与++如+4,④

22223242"2"+1

③-④可得：

答案第14页，共19页

1

112222n-l42n-l32〃+3

2^=2+2r+2r+"+2?"

2n+12"+122"+1

2

2九+3

则K，=3—

T

.,.口=『3=3-2n+3n2

T2,,+1

n2+4n+6

,〃£N”.

T

2L⑴小。1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知列出关于。力,。的方程组，求解得出"c的值，即可得出答案；

(2)根据已知设直线/方程为y=6),%彳0,与椭圆方程联立，得出一元二次方程.设

E&,%),/(%,%)，根据韦达定理得出坐标之间的关系，进而表示出心「怎E，求和化简推

得kpF+kpE=°,转化为角之间的关系，即可得出证明.

1b=2y/3

【详解】(1)依题意得"C=l

a2=b2+c2

a=2

解得6=君，

C=1

22

所以，椭圆C的标准方程为工+匕=1.

43

22

(2)由已知，直线/过点(6,0),与椭圆C:3+q=l交与不同的两点及八且都在x轴上

方可得，直线/的斜率存在且不为0,

设直线/方程为产可计6卜心0.

y=%（冗一6）

联立方程尤2/,可得（3+4%2）/_48左2工+144/-12=0.

143

计算△=（一48/j2-4x（3+4F）（144公_12）=-48（32公一3）＞0,

答案第15页，共19页

可得邛小％且b0.

设Ea，%),/71,%)，

48左2

%+々=百

由韦达定理可得

144/一12

又呜,。,

所以，kpp+kpE

2

国•巧一£%2

=k---------------

20288F-242048r。

2X|X-----(%]+/)+8-------5X--------+S

2，，

=k—7————k3+4333+43

2%1-t%2-t

3

288/一242048廿+8288左2-24-320/+8(3+4/)

因为------9--------X--------=0,

3+4公33+4K3+4左2

—k

月f以，kpF+kPE=°，kpFAPE•

kPF=tan(兀一/OPF)=-tanZOPF,kPE=tan/APE,

所以，tanZAPE=tanNOPb,ZAPE=ZOPF.

22.(1)答案见解析

715)

___3ln3i.②证明见解析

【分析】(1)应用导数讨论函数的单调性，分AW0与A>0讨论即可;

⑵①结合函数的极值点即可求解；②构造函数/心)=〃"-〃2-x)(0<x<l)与

e(x)=/(x)-7(6-x)(l<»<3)讨论即可.

2

【详解】(1)函数“X)的定义域为(O,+8)"'(x)=；+2ax-4=2ax-4x+3

X

又a>0,令/'(九)=0,得2加一4%+3=0,A=16-24〃.

答案第16页，共19页

2

当AW。，即时，2⑪2-4%+320在（。,+8）恒成立，/（无）“.

2

当A>0,即0<。<§时，方程2双2・