2024年上海市杨浦区九年级中考一模数学试题（含答案解析）

2024年上海市杨浦区九年级中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列根式中，石的同类二次根式是)

A.y/6B.V30C.V12D.V18

2.已知a>b,下列不等式成立的是（

A.—a>—bB.2—a<2—C.2a<2bD.a-b<0

3.当左<0,b<0时，一次函数尸fcx+6的图像不经.（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知一组数据a,2,4,1,6的中位数是4,那么。可以是)

A.0B.2C.3D.5

5.下列命题中，真命题的是（）

A.四条边相等的四边形是正方形B.四个内角相等的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形

6.如图，在AA8C中，AB^AC,ZBAC=120°,将。3c绕点C逆时针旋转，点/、

8分别落在点。、E处,如果点N、D、E在同一直线上，那么下列结论错误的是（）

A.ZADC=60°B.ZACD=60°C.NBCD=NECD

D.NBAD=NBCE

二、填空题

7.计算：.

8.在实数范围内因式分解/-3=

9.函数了=7占的定义域是.

10.若关于x的方程£-6》+«=0有两个实数根，则上的取值范围是.

11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1,2,3,4,

5,如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是.

试卷第1页，共4页

12.已知反比例函数＞=—的图象在每一个象限内，V都随x的增大而减小，则上的

取值范围是.

13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的

地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x,根

据题意可列方程.

14.如图，在平行四边形48CD中，£是边/。的中点，CE与对角线相交于点尸，

设向量森工，向量z=人那么向量而=.（用含£、石的式子表示）

15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影.已

知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份.据统计，3

月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%,18元的卖出40份,

其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是元.

16.如图，在Rt^ABC中，NC=90。，48的垂直平分线交边3C于点D,如果3。=4CD,

那么tanB=.

17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为

一个正八边形，那么这个正八边形的边长是_____厘米.

18.已知矩形中，AB=5,以/。为半径的圆/和以为半径的圆C相交于点

D、£,如果点£到直线8C的距离不超过3,设的长度为加，则加的取值范围是.

三、解答题

19.计算：（6-275+|l-V3|.

试卷第2页，共4页

fx+2y=12

20.解方程组：\....

[x-24xy+4y2-4=n0

21.如图，已知在。8C中，48=/C=9,cos3=@，点G是“8C的重心，延长/G

3

交边BC于点。，以G为圆心，GN为半径的圆分别交边NB、NC于点E、F.

(1)求/G的长；

(2)求3E的长.

22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度

匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速.如图，

这是她们离目的地的路程》(千米)与所用时间x(小时)的函数图像.

y(f

%

!!?X>

O\2^5TA、时)

根据图像提供的信息回答下列问题：

(1)图中的。=,b=；

(2)求提速后了关于x的函数解析式(不用写出定义域)；

(3)她们能否在中午12:30之前到达目的地？请说明理由.

23.已知：如图，在梯形48co中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,ND2C的平分

线交4D延长线于点£,交CD于点F.

(1)求证：四边形BCED是菱形；

⑵连接ZC交3产于点G,如果求证：AB2=AG-AC.

24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与己

试卷第3页，共4页

知直线的点切圆.如图1,已知直线/外有一点〃，圆。经过点〃且与直线/相切，则

称圆。是点X与直线/的点切圆.阅读以上材料，解决问题：

已知直线3外有一点尸，PALOA,OA=4,AP=2,圆M是点尸与直线。4的点切

圆.

⑴如果圆心M在线段O尸上，那么圆"的半径长是(直接写出答案).

(2)如图2,以。为坐标原点、CM为x轴的正半轴建立平面直角坐标系x(方，点P在第

一象限，设圆心M的坐标是(x,y).

①求y关于x的函数解析式；

②点8是①中所求函数图象上的一点，连接BP并延长交此函数图象于另一点C如果

尸=1:4,求点8的坐标.

25.己知以为直径的半圆。上有一点C,CD1OA,垂足为点。，点E是半径。。上

一点(不与点。、。重合)，作EFLOC交弧3C于点尸，连接0户.

图2

(1)如图1,当EE的延长线经过点A时，求-下的值;

(2)如图2,作FGJ.AB,垂足为点G,连接EG.

①试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论;

4OF

②当AEFG是等腰三角形，且sin/COZ)=M，求历的值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】此题考查同类二次根式，解题关键在于先化简.化简各选项后根据同类二次根式

的定义判断.

【详解】解：A.旗与V3被开方数不同，故不是同类二次根式；

B.回与否被开方数不同，故不是同类二次根式；

C.疝=26与百被开方数相同，故是同类二次根式；

D.展=3也与g被开方数不同，故不是同类二次根式.

故选C.

2.B

【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3,不等式两边同时乘以

或除以同一个负数，不等号的方向改变.不等式性质：基本性质1.不等式两边同时加上或

减去同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2.不等式两边同时乘以或除以同一个正数,

不等号的方向不变.基本性质3.不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改

变.根据性质逐一分析即可.

【详解】解：A.,:a>b,

：.-a<-b,故不符合题意；

B.,:a>b,

••一a<—b,

/.2-a<2-b,故符合题意;

C.,：a>b,

2a>2b,故不符合题意；

D.,:a>b,

a-b>0,故不符合题意.

故选：B.

3.A

【分析】先根据人判断是经过一三象限还是二四象限，然后再根据b的值判断在y轴的哪半

轴，从而得出结果.

【详解】解：：后<0,

答案第1页，共19页

•••函数图像经过第二四象限，

'：b<0,

图像与了轴负半轴相交，

.••图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是根据一次函数的解析式判断其经过的象

限.

4.D

【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键.根

据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可.

【详解】解：根据题意，。的位置按照从小到大的排列是：1,2,4,a,6或1,2,4,6,

a；

a>4.

**.D符合题意

故选D.

5.D

【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；

B、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；

D、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；

故选：D.

6.C

【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识,

解题关键是熟练运用旋转的性质.由旋转的性质可得△8/C四△EDC,ZACD=NBCE,再

结合已知条件逐一分析判断即可.

【详解】解：A.由旋转的性质可知，ZEDC=ZBAC=120°,

二当点/、D、£在同一条直线上时，ZADC=180°-ZEDC=60°,

答案第2页，共19页

故选项A不符合题意；

B.由旋转的性质可知，△B48AEDC,

/.ZBCA=ZECD,CA=CD,

由•/NADC=60°,

.•.ANCA为等边三角形，

ZACD=60°,

故选项B不符合题意；

C、ZBCA=ZECD,ZACD=60°,

.••由旋转的性质可得：2BCE=ZACD=60°,

当N8CD=NECD时，

AZACB=ZBCD=ZECD=30°,与题干条件矛盾，

二选项C符合题意

D.=△/a)为等边三角形，

ZDAC=60°,

ABAC=110°,

ZBAE=ABAC-ADAC=120°-60°=60°,

ZBCE=60°,

：.ZBAD=NBCE,

故选项D不符合题意；

故选：C.

7.3Q

【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键.

根据单项式除以单项式的运算法则计算即可.

【详解】解：6a34-2^2=3a,

故答案为：3a.

8.卜+君石)/卜-百)卜+抬')

【分析】根据平方差公式分解因式即可.

【详解】解：X2-3=(X+V3)(x-V3).

故答案是：(x+>/3)(x-V3).

答案第3页，共19页

【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握/-〃=（。+6）（。-6）是解题的关键.

9.x>l

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可.

【详解】解：根据题意可得，X-l>0,

解得，尤>1,

故答案为：X>1.

【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟练运用相关性质列不等式,

确定自变量的取值范围.

10.k<9

【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解.

【详解】解：由题意得：\=b2-4ac=36-4k>0,

解得：k<9；

故答案为左V9.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题

的关键.

1

11.一

5

【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其

中事件/出现机种结果，那么事件/的概率「（/）='.求出事件全部结果数及摸出的小球

n

所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案.

【详解】解：：共五个数，合数为4,共1个，

从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为g,

故答案为：—.

12.k>\H<k

【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数上>0时，它图象所在的每个

象限内y随x的增大而减小.

【详解】解：：在每个象限内，了随着x的增大而减小，

...左一1>0,即左>1,

故答案为：k>\.

答案第4页，共19页

【点睛】本题主要考查反比例函数y=丘的性质，对于反比例函数d),(1)k>o,

反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随X的增大而减小；⑵左<0,反比例函

数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随X的增大而增大.

13.4.32(l+x)2=4.72

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键.

根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得

解.

【详解】解：依题意得:4.32(1+X)2=4.72.

故答案为:4.32(1+x)2=4.72.

2-2-

14.—b—a

33

【分析】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，相似三角形的性质解题是关

2

键.利用平行四边形的性质可先证明砥助，然后用三角形法则表示出前，即可得到

BF-

【详解】解：,・•四边形/BCD是平行四边形，

ADC//AB,DC=AB,AD//BC,AD=BC,

••BC-AD-b，/\DEF/\BCF,

・・・E是边4D的中点，

.DE_DF

BC~BF~29

：.BF=-BD,

3

BD=BA+AD=BA+BC=b-a

...而二而=匕一匕，

333

，一?-

故答案为：§'一］。

15.17.5

【分析】本题考查的是加权平均数的含义，用各自的单价乘以各自的权重即可得到答案.

【详解】解：・.・40+160=25%,

.二20元的占比1—40%-25%=35%,

答案第5页，共19页

食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是

15x40%+18x25%+20x35%=17.5（元），

故答案为：17.5

16.—

5

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图,

连接40,设CZ>=x,可得4D=BD=4x,AC=AD2-CD2=415x>再利用正切的

定义可得答案.

【详解】解：如图，连接ND,

BD=4x,

,/AB的垂直平分线交边8C于点D,

AD=BD=4x,

ZC=90°,

；•AC=ylAD2-CD2=V15x,

ACA/15X_适

tanB=

BCx+4x5

故答案为平.

17.672-6

【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的

边长列出方程是解题的关键.

设正八边形的边长为x,表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出

方程求解即可.

【详解】解：如图

答案第6页，共19页

设正八边形的边长为无，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为也X,

2

•••正方形的边长为6,

$+x+g=6,

22

解得x=+]=6亚6,

故答案为：6^/2-6.

5

18.-<m<10

2

【分析】如图，当£在/5的左侧时，连接/C,AE,CE,过E作£7?_1_3。于&,作£5_148

于S,如图，当月在45的右侧时，连接ZC,AECE,过E作EH上BC于H,交/。于

。，再分别求解加的值，从而可得答案.

【详解】解：如图，当E在的左侧时，连接4(「，AE,CE,过£作ER_LBC于R,作

£S_L/B于S,

•・•矩形/BCD,AB=5,AD=m,

・•・四边形为矩形，AD=CB=m,AB=CD=5,

：.ES=BR,ER=BS=3,

：.ZS=5—3=2,

/、

9、

»A\D

出,；

:RBCi

\1

%9

\/

、9

\/

、/

\/

、✓

、、一—J

答案第7页，共19页

,:A,C为圆心，

AC是DE的垂直平分线，

/.AD=AE=nt,CD-CE=5,

,/ER=3,

CR=正-3?=4，

：.ES=BR=4-m,

在RM/ES中，m2=(4-m)2+22,

解得：«=|;

如图，当E在NB的右侧时，连接/C,AE,CE,过E作EHJ.BC于H,交于。,

:矩形/BCD,AB=5,AD=m,

：.AD=CB=m,AB=CD=5,四边形C。。灯为矩形，

QH=CD=5,

同理可得：

AD=AE=m,CD=CE=5,

•：EH=3,

•*.QD=CH=yJCE2-EH-=4，

AQ=m-4f

・.・EQ=5+3=8

在RL/E0中，m2=(m-4)2+82,

答案第8页，共19页

m=10,

综上：点£到直线8C的距离不超过3,则14%〈10；

2

故答案为：1<m<10

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直

平分线的性质，确定临界点是解本题的关键.

1Q13G

LJ7.--------------------------

22

【分析】本题考查的是分数指数幕的运算，二次根式的混合运算，整数指数幕的运算，掌握

运算法则是解本题的关键，先计算负整数指数累，零次塞，分数指数幕，化简绝对值，再合

并即可.

h1

+-+1-373+y/3-l

22

_13^3_

-2--2~,

x-5x=7

20.\7或《5

V=­V=—

【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化

答案第9页，共19页

Ix+2y=12[x+2y=12

为/cC或二。八，再解二元一次方程组即可.

[x—2y+2=0[x-2y-2=0

x+2y=12①

【详解】解:

x2-4xy+4y2-4=0②

由②得：（、-2y）—4=0,

-2y+2)(x-2)-2)-0,

x-2y+2=0^x-2y-2=0,

fx+2y=12、卜+2y=12

|x-2y+2=0^|x-2y-2=0

x=5x=7

解得：,7或＜5.

y=—y=—

22

21.(1)4

吗

[分析Xl)先证明8。=。，40工8C,=，结合cosB=t，可得CD=AD=36,

再利用勾股定理可得答案；

(2)过G作GH■，/3于反，可得EH=4H,证明乙B=N/GH,求解G〃=迪，可得

3

AH=^AG2-GH2=|,从而可得答案.

【详解】(1)解：VAB=AC=9,点G是》BC的重心，

2

:.BD=CD,AD1BC,AG^-AD,

3

.._V5

•cosRB=—，

3

.BD45

"AB~3，

CD=BD=3也,

•,AD=ylAB2—BD2=6，

：.AG=-AD=4；

3

(2)如图，过G作于//,

答案第10页，共19页

EH=AH,

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，重心性质,

等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

22.(1)3；320；

(2)提速后y关于x的函数解析式为了=-lOOx+620.

(3)能.理由见解析

【分析】(1)根据图象求出。的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的

路程”可计算b的数值；

(2)利用待定系数法求解即可；

(3)当y=0时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可.

【详解】(1)解：由题意可得：。=2+1=3,

Z)=480-80x2=320.

(2)设提速后y关于x的函数解析式为了=玄+占(k、6为常数，且存0).

将坐标(3,320)和(5,120)代入y=h+b,

答案第11页，共19页

3左+6=320

5左+6=120

提速后y关于x的函数解析式为V=-100x+620.

(3)能.理由如下：

当她们到达目的地时，y=0,得-100x+620=0,

解得x=6.2,

6.2小时=6时12分，

她们于⑵12分到达目的地.

23.⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先证明。8=可得DE=BC,纯合DE//BC,可得四边形D3CE是平行

四边形，从而可得结论，

(2)如图，连接NC交3F于点G,交.BD于K,证明梯形48c。是等腰梯形，证明

ZABG=ZACB=45°,结合/B4G=/C4B,可得△4BGs44CB,再利用相似三角形的性

质可得结论.

【详解】(1)证明：：4D〃8C,

NAEB=ZCBE,

•.•/D2C的平分线交4D延长线于点£,交CD于点F.

：.ZDBE=ZCBE,

ZAEB=ZDBE,

DB=DE,

,/BD=BC,

：.DE=BC,而DE〃BC,

.••四边形DBCE是平行四边形，

DB=DE,

四边形DBCE是菱形；

(2)如图，连接/C交8月于点G,交BD于K,

答案第12页，共19页

•・•在梯形48cD中，AD//BC,AB=CD,

・・・梯形48s是等腰梯形，

：・/ABC=/DCB,AC=BD,

,:菱形BCED,

：.BD//CE,BD=CE=DE,/DBC=/DEC,

：.AC=CE,NEDC=/ECD,

ACVCE,

：.ZCAE=ZCEA=45°,AC1BD,

：.ZDBC=ZDEC=ZACB=45°,ZEDC=NECD=67.5°,

・・・ZACD=90°-67.5°=22.5°,

・•・/ABD=NABC-45°=ZDCB-45°=22.5°,

,：BE平分NDBC,

：./DBF=ZCBF=22.5°,

NABG=NACB=45。,

・・•NBAG=NCAB,

：./\ABG^ACB,

.AB_AG

•・刀一下‘

・•・AB2=AG-AC.

【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键.

24.⑴丸卫

2

⑵①y=#_2x+5；②（8,5）或（0,5）

答案第13页，共19页

【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解

决本题的关键.

(1)过点M作必设圆M的半径为五，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求0P,

sinO=Y—=《

再利用同角三角函数值相等得:求解即可;

2V5-RV5

(2)①过点”作则MC=/N=|4_x|,MN=CA=y,则尸C=|2_y|,

对RSPCM运用勾股定理即可建立了关于x的函数关系式；

②设点C(xj),过点C、3作/P的垂线交于点。、E,构造相似三角形，用x,y的代数式

表示出8点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解.

【详解】(1)解：过点"作跖VLO4,设圆M的半径为尺,

PA1OA,04=4,AP=2

OP=yjo^+AP2=2石,

:圆M是点尸与直线CM的点切圆,

MN=R,

.八尺1

sinO=—『----=—j=,

2V5-AV5

解得：R=^H.

2

故答案为：1.

2

(2)解：①过点"作

由(1)得MN=PM=y,贝|爪=/双=|4_丁|,MN=CA=y,则尸C=|2_y|,

在RMPCM中，PM2=PC2+CM2n：/=|2-y『+|4-x『，化简得：y=^x2-2x+5.

答案第14页，共19页

②设点C(xj),过点C、5作/P的垂线交于点。、E,

：.ABEPsACDP,

,BE^EP_BP_

4贝!]CZ)=4—尤,3£=16—4尤,DP=2_y,PE=S-4y,

,,CDDPCP

.♦.点8(20-4弘10-4了)代入〉=；/一2》+5得：

解得：x=3或％=5,

.•.点8(8,5)或5(0,5).

CD1

25.(1)—=—

''AF2

⑵①或=叩理由见解析；②器的值为1或。或0

【分析】(1)利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；

(2)①延长FE交OO于点M,延长FG交。。于点N,延长CD交OO于点连接儿W,

OH,ON,OM,利用垂径定理，三角形的中位线定理得到EG=；MN,利用垂径定理得

到CD=DH=gCH,再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到4OC=/EFG,再

利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到CH="N则结论可得；

②利用分类讨论的方法分三种情况解答：I.当EF=EG时，利用全等三角形的判定与性质

和勾股定理解答即可；II.当FG=E厂时，过点E作于点H,利用直角三角形的边

角关系定理和勾股定理解答即可；III.当尸G=£G时，则尸G=4M连接FC,利用矩形的判

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定与性质和勾股定理解答即可.

【详解】(1)当短的延长线经过点A时,

EF1OC,

：.AE=FE=\AF,ZA+ZAOE=90°,

2

'：CDLOA,

：./C+ZAOE=90。,

・・・ZA=ZCf

在△4OE和△COD中，

ZA=ZC

<OA=OC,

/AOE=/COD

.・.△/t)£之△COD(ASA),

AE=CD,

：.CD=-AF,

2

.CD_1

••一；

AF2

(2)①EG与CD的大小关系为：EG=CD,

理由：延长用