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文档简介

广东省深圳市南山区南头中学2024届高一下数学期末调研试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.在1和19之间插入个数,使这个数成等差数列,若这个数中第一个为,第个为,当取最小值时,的值是()A.4 B.5 C.6 D.72.函数图象的一条对称轴在内,则满足此条件的一个值为()A. B. C. D.3.已知,,则()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A.命题“若,则.”的否命题是“若,则.”B.是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C.D.若命题,则5.从A,B,C三个同学中选2名代表,则A被选中的概率为()A. B. C. D.6.如图:样本A和B分别取自两个不同的总体,他们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为和,则()A.B.C.D.7.在某次测量中得到样本数据如下:,若样本数据恰好是样本每个数都增加得到,则、两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数 B.中位数 C.方差 D.平均数8.若直线经过点,则此直线的倾斜角是()A. B. C. D.9.若数列{an}前8项的值各异,且an+8=an对任意n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为()A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1}10.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.在数列中,,,若,则的前项和取得最大值时的值为__________.12.在数列中,若,(),则________13.等比数列的首项为,公比为,记,则数列的最大项是第___________项.14.若,且,则=_______.15.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,则=___________.16.已知等边三角形的边长为2,点P在边上,点Q在边的延长线上,若,则的最小值为______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等比数列的公比,前项和为,且满足.,,分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和;(3)若,的前项和为,且对任意的满足,求实数的取值范围.18.正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,为中点.(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成角的余弦值.19.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD,,,,M为线段AD上一点,,N为PC的中点.(1)证明:平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的余弦值.20.在平面直角坐标系中,已知向量,,.(1)若,求的值;(2)若与的夹角为,求的值.21.如图,在处有一港口,两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行,海轮的航行速度为20海里/小时,海轮的航行速度大于海轮.在港口北偏东60°方向上的处有一观测站,1小时后在处测得与海轮的距离为30海里,且处对两艘海轮,的视角为30°.(1)求观测站到港口的距离;(2)求海轮的航行速度.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

设等差数列公差为,可得,再利用基本不等式求最值,从而求出答案.【详解】设等差数列公差为,则,从而,此时,故,所以,即,当且仅当,即时取“=”,又,解得,所以,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.2、A【解析】

求出函数的对称轴方程,使得满足在内,解不等式即可求出满足此条件的一个φ值.【详解】解:函数图象的对称轴方程为:xk∈Z,函数图象的一条对称轴在内,所以当k=0时,φ故选A.【点睛】本题是基础题,考查三角函数的基本性质,不等式的解法,考查计算能力,能够充分利用基本函数的性质解题是学好数学的前提.3、A【解析】

由,代入运算即可得解.【详解】解:因为,,所以.故选:A.【点睛】本题考查了两角差的正切公式,属基础题.4、D【解析】“若p则q”的否命题是“若则”,所以A错。在定义上并不是单调递增函数,所以B错。不存在,C错。全称性命题的否定是特称性命题,D对,选D.5、D【解析】

先求出基本事件总数,被选中包含的基本事件个数,由此能求出被选中的概率.【详解】从,,三个同学中选2名代表,基本事件总数为:,共个,被选中包含的基本事件为:,共2个,被选中的概率.故选:D.【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法和运算求解能力,是基础题.6、B【解析】

从图形中可以看出样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,由此得到结论.【详解】∵样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,,由图可知A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,.故选B.7、C【解析】

分别计算出、两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数,再进行判断。【详解】样本的数据为:、、、、,没有众数,中位数为,平均数为,方差为,样本的数据为:、、、、,没有众数,中位数为,平均数为,方差为,因此,两个样本数据的方差没变,故选:D。【点睛】本题考查样本的数据特征,考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解,熟练利用相关公式计算这些数据,是解本题的关键,属于中等题。8、D【解析】

先通过求出两点的斜率,再通过求出倾斜角的值。【详解】,选D.【点睛】先通过求出两点的斜率,再通过求出倾斜角的值。需要注意的是斜率不存在的情况。9、B【解析】

数列是周期为8的数列;,;故选B10、A【解析】,向左平移个单位得到函数=,故二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】

解法一:利用数列的递推公式,化简得,得到数列为等差数列,求得数列的通项公式,得到,,得出所以,,,,进而得到结论;解法二:化简得,令,求得,进而求得,再由,解得或,即可得到结论.【详解】解法一:因为①所以②,①②,得即,所以数列为等差数列.在①中,取,得即,又,则,所以.因此,所以,,,所以,又,所以时,取得最大值.解法二:由,得,令,则,则,即,代入得,取,得,解得,又,则,故所以,于是.由,得,解得或,又因为,,所以时,取得最大值.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用,以及数列的最值问题的求解,此类题目是数列问题中的常见题型,对考生计算能力要求较高,解答中确定通项公式是基础,合理利用数列的性质是关键,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等,属于中档试题.12、【解析】

由题意,得到数列表示首项为1,公差为2的等差数列,结合等差数列的通项公式,即可求解.【详解】由题意,数列中,满足,(),即(),所以数列表示首项为1,公差为2的等差数列,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用,其中解答中熟记等差数列的定义,合理利用数列的通项公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.13、【解析】

求得,则可将问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值,利用二次函数的基本性质求解即可.【详解】由等比数列的通项公式可得,,则问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值,,当时,取得最大值,此时为偶数.因此,的最大项是第项.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列前项积最值的计算,将问题进行转化是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.14、【解析】

由的值及,可得的值,计算可得的值.【详解】解:由,且,由,可得,故,故答案为:.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系,熟练掌握其基本关系是解题的关键.15、【解析】试题分析:因为和关于轴对称,所以,那么,(或),所以.【考点】同角三角函数,诱导公式,两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含:若与的终边关于轴对称,则,若与的终边关于轴对称,则,若与的终边关于原点对称,则.16、【解析】

以为轴建立平面直角坐标系,设,用t表示,求其最小值即可得到本题答案.【详解】过点A作BC的垂线,垂足为O,以为轴建立平面直角坐标系.作PM垂直BC交于点M,QH垂直y轴交于点H,CN垂直HQ交于点N.设,则,故有所以,,当时,取最小值.故答案为:【点睛】本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的取值范围问题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2);(3)【解析】

(1)利用等比数列通项公式以及求和公式化简,得到,由,,分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项,利用等差数列的定义可得,化简即可求出,从而得到数列的通项公式.(2)由(1)可得,利用错位相减,求出数列的前项和即可;(3)结合(1)可得,利用裂项相消法,即可得到的前项和,求出的最大值,即可解得实数的取值范围【详解】(1)由得,所以,由,,分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项,得,即,即,即,因为,所以,所以.(2)由于,所以,所以,,两式相减得,,所以(3)由知,∴,∴,解得或.即实数的取值范围是【点睛】本题考查等比数列通项公式与前项和,等差数列的定义,以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和,考查学生的计算能力,有一定综合性.18、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)连接交于,连接,再证明即可.(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.【详解】(1)连接交于,连接.则为中点因为分别为中点,故为中位线,故.又面,面.故平面.(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,设正四棱锥的各边长均为2,则,,.因为,故.则.即异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.19、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)如图所示,为中点,连接,证明为平行四边形得到答案.(2)分别以为轴建立直角坐标系,平面的法向量为,计算向量夹角得到答案.【详解】(1)如图所示,为中点,连接.为中点,N为PC的中点,故,,,故,且,故为平行四边形.故,平面,故平面PAB.(2)中点为,,故,故,底面ABCD,故,.分别以为轴建立直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量为,则,即,取得到,故,故直线AN与平面PMN所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行,线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20、(1)1(2)【解析】

(1).若,则,结合三角函数的关系式即可求的值;

(2).若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求的值.【详解】(1)由,则即,所以所以(2),又与的夹角为,则即即由,则所以,即【点睛】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.21

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