2023-2024学年北京市中年级上册期末考试数学试卷含详解

2024北京人大附中高一（上）期末

数学2024.01

分说明：I卷满分100分、n卷满分50分、全卷满分150分，考试时间120分钟

共一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1,已知全集、={一2，-1，°，1，2},集合4={-2,-1,0},则”=（）

A.{1,2,3}B.{1,2}C,（0,2）D.（1,2）

2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的

需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中

抽取了（）

A.150人B.200人C.250人D.300人

3.命题+的否定是（）

A.3xeR,x+2>0B.3xeR,x+2<0

C.VXGR,X+2>0D.VxeR,x+2<0

x

4.在同一个坐标系中，a/（x）=logflX,g（X）=a,/i（x）=x"的部分图象可能是（）

一

X

TV

5.下列函数中，既是奇函数，又在（0,+8）上单调递减是（）

A./（x）=y[xB.f（x）=-x\x\

C'+iD/（X）=d

6.已知[二2°」,b=1082、石,。=1083血，则实数1）,C的大小关系是（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

7.已知函数〃无)=瓦]—微，贝U"a=l”是“为奇函数”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知函数/(x)=log2(x+l)+x—2,则不等式〃力<0解集为()

A(-co,l)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,+co)

9.科赫(Koch)曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一

段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“\”,将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得

到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比

为r的部分组成.若厂》=工，则称。为该图形的分形维数.那么科赫曲线的分形维数是()

N

D级

A.log23B.log32C.1D.210g32

•X+〃x〈a

10.已知函数〃x)=2'-，若存在非零实数％，使得/(—$)=—〃/)成立,则实数a的取值范围是()

x,x>a

A.0]B.卜00qC.[-4,0]D.-2,—

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.函数/(》)=lg(x—1)的定义域是.

12.农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽

取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图(单位：cm)：

_________

533213

9543478X9

987558

536

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a,b,则|a-切=

若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为S],$2,则邑§2(用“<，>或="

连接).

4

13.己知函数/(工)=无+——。没有零点，则。的一个取值为；a的取值范围是.

x

f2Xx>0

14.已知函数；—’则/⑺的单调递增区间为_________；满足|/(x)|<4xl()4的整数解的个数为

[-X,x<0,

.(参考数据：1g2。0.30)

15.共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具.通过调查发现人们在单车选择时，可以使用

a

x

“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=--------,xe[0,l],a>0(其中参数a表示市场外部

x+(1-%)

性强度，a越大表示外部性越强).给出下列四个结论：

①S(x)过定点；

②S(x)在[0,1]上单调递增；

③S(x)关于x对称；

2

④取定无，外部性强度a越大，S(x)越小.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单

位”)分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“R石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、石刻及

其他”、“自古遗址”、“E古墓葬”.北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：

行政区门类个数

A：革命遗址及革命纪念建筑物3

东城区

C：古建筑及历史纪念建筑物5

西城区C：古建筑及历史纪念建筑物2

丰台区A:革命遗址及革命纪念建筑物1

海淀区C：古建筑及历史纪念建筑物2

房山区C：古建筑及历史纪念建筑物1

E:古遗址1

C:古建筑及历史纪念建筑物1

昌平区

尸:古墓葬1

延庆区C：古建筑及历史纪念建筑物1

(1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历

史纪念建筑物”的概率；

(2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同

学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观.两人选择参观单位互不

影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；

(3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记

抽到海淀区的概率为耳，抽不到海淀区的概率记为鸟，试判断4和舄的大小(直接写出结论).

53

17.已知集合A=x—2<o),B=<xx—>—>.

1J[22

(1)求AB,A；

(2)记关于尤的不等式小一(27篦+4)X+加2+4加<。的解集为Af,若8M=R,求实数机的取值范围.

18.己知函数/(x)=ln(l-x)+左ln(l+x).请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问

题.

条件①：/(%)+/(-%)=0；

条件②：/«-/(-%)=0.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

(1)求实数4的值；

(2)设函数P(x)=(l-x)(l+x)3判断函数尸(x)在区间(0,1)上的单调性，并给出证明；

(3)设函数g(x)=/(x)+f+2|左|,指出函数g(x)在区间(—1,0)上的零点个数，并说明理由.

19.己知函数/。),8。),以无)的定义域均为R,给出下面两个定义：

①若存在唯一的xeR,使得/(g(x))=/z(/(x)),则称g(x)与关于/(x)唯一交换；

②若对任意的xeR,均有/(g(x))=/z(/(x)),则称g(x)与以X)关于了⑴任意交换.

(1)请判断函数g(x)=；v+l与〃(无)=%-1关于/(x)=f是唯一交换还是任意交换，并说明理由;

(2)设/(无)=。(尤?+2,a/O),g(无)=/+法一i,若存在函数〃(％),使得g(x)与/z(x)关于/⑺任意交换,

求b的值;

x-]

(3)在(2)的条件下，若g(X)与/(尤)关于vv(%)=-e------唯一交换，求〃的值.

ex+l

II卷

“3)-〃2)

20.从定义域及值域均为｛1,2,3｝的函数中随机选一个记为了(%),则>0的概率为(

42)-〃1)

21.{xwZ|91gx>%—1}为()

A.空集B.元素个数不超过10的非空集

C.元素个数超过10有限集D.无限集

22.已知函数/(x)=x2(x-3)eI-x+l的单调递增区间是(—8,0),(3—出,3+6),单调递减区间是

^0,3—A/3j,^3+A/3,+00),/■(工)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

23.2Z?-log4(2Z?)(6Z>0),贝ij()

A.2a<bB.2a>bC.2a<bD.2a>b

24.在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双自变量的函数，其表达式为：

Q=AL“Kj其中自变量L,K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值。表示产量，常数A是代

表生产技术水平的参数，常数名尸分别表示劳动和资本的产出弹性系数.在产量。不变的情况下，点(L,K)组合

构成一条曲线，称为等效产出曲线.如图，某企业Q=10,20,30时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点

(，,&),仁,冬卜％禺),若4=2,4=3,则4约为()

参考数据：log??h1.585,3婚x1.732,3°55y1.830,3°6"933

A.3.2B.3.4C.3.6D.3.8

二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分.请将结果填在答题纸上的相应位置.)

25.己知〃尤)=求'+葭.若"0)=3,则实数。=；若y=/(x)的图像关于原点对称，则实数。=

26.已知f(x)=x+--2，其中a>0.若Vxe(0,-H»),/(x)>0，则。的取值范围是;若

玉e[l,2],/(x)>2，则a的取值范围是.

27.为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次

数的统计结果如表所示.①从左右手拇指纹形同为“As”或同为“油”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概

率是；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是Lr”，另外2人左手拇指指纹都是

“麻”，右手拇指指纹都不是“麻”的概率是

拇指

纹形

左手右手左右手纹形相同

As2022

Lu,Lr279304250

Wr362

Wc322710

Wt30289

怖597934

Wd653718

Wp12178

总人数500500333

28.已知函数“X)的定义域为R,若对任意的正实数。，函数y=/(x+a)—/(%)在R上单调递增，则称函数

〃九)具有性质”，给出下列四个结论：

①〃龙)在R上单调递增，则〃尤)具有性质加；

@y=x2具有性质M,y^x3不具有性质M；

③y=2,具有性质M,y^2f不具有性质M；

④若函数具有性质M，且/(0)=0,则Vs/e(O,4w)J(/+s)>〃/)+〃$).

其中所有正确结论的序号是.

29.零件X「X2，X3，X4，X5分别先在机器A上加工，然后在机器8上加工，加工所需时间(单位：分钟)如表所

示.

①若加工顺序为Xi，X2,X3，X4，X5,则加工完所有零件所需时间最少为分钟；

②改变这5个零件的加工顺序，可以使得加工完所有零件所需时间更少，所需时间最少为分钟，共有

种排序方法使得所需时间最少.

机床

AB

零件

X15

X283

39

X3

X445

X576

2024北京人大附中高一（上）期末

数学2024.01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.已知全集“={2L°」，2},集合A={-2,-1,0},则婷=（）

A,{1,2,3}B.{1,2}C.（0,2）D.（1,2）

【答案】B

【分析】根据补集概念求解出结果.

【详解】因为U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,0},

所以e4={1,2},

故选：B.

2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的

需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中

抽取了（）

A150人B.200人C.250人D.300人

【答案】A

【分析】根据各层的抽样比相同求解出结果.

1001

【详解】因为初中学生1000人抽取了100人，所以抽样比为

1000—10'

所以高中生抽取1500x'=150人，

10

故选：A.

3.命题“mxeR,x+2<0”的否定是（）

A.eR,x+2>0B.3XGR,X+2<0

C.V%eR,%+2>0D.VxeR,x+2<0

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.

【详解】由题意可知：命题“mxwR,x+2<0”的否定是“V无eR,x+2>0”.

故选：C.

4.在同一个坐标系中，函数/（x）=logaX,g（x）=aT/（x）=x"的部分图象可能是（）

【分析】先根据/(x),g(x)的单调性相反排除AD,然后根据幕函数图象判断出。的范围，由此可知正确图象.

【详解】因为/(x)=log.x,g(x)=近在同一坐标系中，

所以/(x),g(x)的单调性一定相反，且/(x),g(x)图象均不过原点，故排除AD；

在BC选项中，过原点的图象为幕函数人(九)=X"的图象，由图象可知

所以〃x)=logaX单调递减，g(x)=a-、单调递增，故排除B,

故选：C.

5.下列函数中，既是奇函数，又在(0,+8)上单调递减的是()

A./(x)=4xB.f{x}=-x\x\

C.f(x)=D.f(x)=x3

X十L

【答案】B

【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.

【详解】对A、C：由/(%)=«,定义域为［0,+8),所以/(%)=«不是奇函数，故A错误；

/(%)=/；定义域为R,/(-%)=/；=所以=是偶函数，故C错误；

7X+1(-X)+1X+1'/X+1

对B、D：/(x)=-x|x|,定义域为R,/(-x)=-(-x)|-x|=%|%|=-/(%),所以/(%)为奇函数，

当x>0时，/(%)=-x2,且/(%)=—*在(o,+8)上单调递减，故B正确；

/(%)=丁，定义域为R,且/(_*)=(—无丫=一工3=—/(尤)，所以/(力=三为奇函数，且在定义域上为增函

数，故D错误;

故选：B.

6.已知Q=2°l,Z?=k)g2、々，。=logs，则实数"，b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.

【详解】因为人=log26=1log23,c=log3V2=1log32,

由y=2*在R上单调递增，可得2。」>2°=1，即。>1;

由y=log2X在(0,+“)内单调递增，可得I=log22<log23<log24=2,即；<Z?<1；

由y=k»g3X在(0,+8)内单调递增，可得Iog32<log33=l,即c<；；

综上所述：a>b>c.

故选：D.

7.已知函数=2*+]一'贝是"『(%)为奇函数”的()

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据“a=1”与“/(力为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.

【详解】当a=l时，/(%)=—^——定义域为R且关于原点对称，

所以工」=2^」,_，=_小)，

、'2-x+l21+2"21+2、221+2、、'

所以/(%)为奇函数；

当“X)为奇函数时，显然定义域为R且关于原点对称，所以/(-%)=-/(%),

1a1a/2Xa、1a

所以/(-尤)+/(%)=

X+X=1—。=0,

21122+1~2(1+2%22+1~2

所以a=l,

由上可知，“a=1”是“/(%)为奇函数”的充要条件，

故选：C.

8.已知函数y(x)=log2(x+l)+x—2,则不等式〃x)<0的解集为()

A.(-co,l)B.(-1,1)C.(0,1)D,

【答案】B

【分析】先求出〃%)的定义域，然后分析的单调性，再根据〃x)<0o/(£)</"⑴求解出不等式解集.

【详解】/a)=log2(x+l)+x—2的定义域为(―1,+8),

因为y=log2(x+1),y=x-2均在(-1,+0。)上单调递增，

所以/(£)=1。82(%+1)+%—2在(—1,+8)上单调递增，

又因为/(l)=log22+l—2=。，所以/(x)<0o/(x)</(l),

所以不等式解集为xe(-U),

故选：B.

9.科赫(Koch)曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一

段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“△”,将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得

到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比

为r的部分组成.若厂°=工，则称。为该图形的分形维数.那么科赫曲线的分形维数是()

N

〃=0级

A.log23B.log32C.1D.210g32

【答案】D

【分析】根据题意得出Koch曲线是由把全体缩小g的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果.

【详解】由题意Koch曲线是由把全体缩小g的4个相似图形构成的，

因为=]'即3。=4，则。=log34=21og32,

所以分形维数是。=21og32.

故选：D.

%+〃xWa

10.已知函数/(%)=2'~，若存在非零实数%，使得/(一%)=—/(5)成立，则实数a的取值范围是()

X.JC>CL

7,0]—00—c.[TO]

4

【答案】D

【分析】利用赋值和排除法可得结果

XH--,XV-

【详解】取。=—1,则〃/力、=<4,-4

4、1

X2,x>—

4

“由〃—不)=—/(%)，得焉=

解得%()=—/<—W，符合条件，排除选项A、C,

/、1—4,x4—4

取a=T,则/(%)=2/，

若/<-4时,一两24,由/(-%)=—/(%),得x；=—(%—4),

解得x0=T［而,或毛=自铲7,都不符合条件,

即一4</<4,由/(一*0)=_/(%)，

得焉=-焉，即/=0,不符合条件，

x>—4

若<一4'—’由/(一飞)=一/(飞),

得—%—4=-X：,解得/=1±^亘，或/=匕普，都不符合条件,

综上，awT,排除B,选D

故选：D

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.函数f(x)=lg(x-l)的定义域是..

【答案】。，+⑹

【分析】利用真数大于零列不等式求解即可.

【详解】要使函数/(x)=lg(x-l)有意义,

则x—1>0,解得龙〉1,

即函数/（x）=lg（x—1）的定义域是（1，+⑹，

故答案为：（1,+°0）.

【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题.

12.农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽

取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm）：

甲乙

5332137

9543434557889

98755244$8

5360

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a,b,贝Ha-切=,

若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为S”$2,则/§2（用“<，>或="

连接）.

【答案】①.3②.>

【分析】空①根据题意分别求出甲乙环境下的15个高度数据，从而求出中位数，即可求解；空②利用标准差公

式分别求出跖,$2,从而求解.

【详解】对空①：由题意得甲环境的幼苗高度为：31,32,33,33,35,43,44,45,49,55,57,58,59,63,65,其中位

数a=45,

乙环境的幼苗高度为：37,43,44,45,45,47,48,48,49,52,54,54,55,58,60,其中位数6=48,

所以,甘=|45—48|=3；

对空②：甲环境下的幼苗平均高度为：

31+32+33+33+35+43+44+45+49+55+57+58+59+63+65”。

----------------------------------------------------------------------------------------=46.8,

15

月斤以F3246为2+33-沁.8+36跖843跖844旄.845I+2-+2-+2-+2-+2-+2-+-+|-=

心生37+43+44+45+45+47+48+48+49+52+54+54+55+58+60739

甲环境下的幼苗平均图度为：----------------------------------------------------------------=—

所以

所以电>邑・

故答案为：3；>.

4

13.已知函数/(%)=]+――q没有零点，则〃的一个取值为；〃的取值范围是.

%

【答案】①.0(〃«—4,4)即可)②.-4<a<4

4

【分析】根据题意分析可知函数〃尤)没有零点，等价于y=%+—与y=a没有交点，结合对勾函数图象分析求解.

X

44

【详解】令/(%)=x----a=0,则％H—=a,

XX

4

若函数了(九)没有零点，等价于y=%+—与丁=。没有交点,

x

x

故答案为：0(ae(-4,4)即可)；-4<a<4.

f2X>0

14.已知函数；%—'则73的单调递增区间为___________；满足|/(x)|<4xl()4的整数解的个数为

-%,^<0,

.(参考数据：1g2。0.30)

【答案】①.(―。,+。)②.215

【分析】第一个空，作出了(X)的图象，由图可知/(%)的单调递增区间；第二个空，分x20和x<0两种情况解

不等式.

【详解】作出〃龙)的图象，由图可知，/(尤)的单调递增区间为+8),

当x20时，|/(x)|=|2"=2x<4xl04,解得x<log2(4x104),即x<2+上处15.3,

所以0<x<15.3,

当x<0时，，(耳|=卜》2]=£<4*104,解得一200<x<0,

故满足I/(x)|<4xl04的整数解的个数为215.

故答案为：(一00,+00);215.

y，

15.共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具.通过调查发现人们在单车选择时，可以使用

xa

“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=,xe[0,l],tz>0(其中参数a表示市场外部

xa+(l-x)a

性强度，a越大表示外部性越强).给出下列四个结论:

①S(x)过定点段I

②S(x)在[0,1]上单调递增；

③S(x)关于x=L对称；

2

④取定尤，外部性强度a越大，S(x)越小.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②

【分析】对于①令x=g即可求得定点可判断①的正误；对于②对S(x)求导，判断导函数在xe[0,l]时的正负即

可判断②的正误；对于③由②即可判断正误；对于④以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可判断正误.

]_

【详解】对于①，在S(x)中，令％=工，则S过定点,故①正确;

22ri

〃[%(1-%)y1

对于②,S'(x)=「~|2当S'(九)20,则S(x)为单调递增，故②正确;

p+(l-x)fl

对于③，由②知S(x)为单调递增，故不存在对称性，故③错误;

「X(1-X)T

对于④，以。为自变量，设S(x)为T(a),则T'(a)=/--------%In

+(1-%)°

国—>0

a>0,故FT'(a)的正负取决于In户

xfl+(l-x)a\—X

当十<1,即0<x<；时，r(a)<0,随着。的增大，S(x)减小；

五1

当——>1,即5<X<1时，r(a)>0,随着。的增大，S(x)增大，故④错误.

1—JC2

故答案为：①②.

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单

位”)分为六大类.其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“£>:石刻及

其他”、“E:古遗址”、“正古墓葬”.北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：

行政区门类个数

A：革命遗址及革命纪念建筑物3

东城区

C:古建筑及历史纪念建筑物5

西城区C：古建筑及历史纪念建筑物2

丰台区A:革命遗址及革命纪念建筑物1

海淀区C:古建筑及历史纪念建筑物2

C：古建筑及历史纪念建筑物1

房山区

E:古遗址1

C：古建筑及历史纪念建筑物1

昌平区

丘古墓葬1

延庆区C:古建筑及历史纪念建筑物1

(1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历

史纪念建筑物”的概率；

(2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同

学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观.两人选择参观单位互不

影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；

(3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记

抽到海淀区的概率为A,抽不到海淀区的概率记为鸟，试判断《和鸟的大小(直接写出结论).

【答案】16.—

3

5

17.—

16

18.PX<P2

【分析】(1)由题意知总样本数为18,C：古建筑及历史纪念建筑物共有12,利用古典概率从而求解.

(2)由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有

东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解.

(3)利用分类讨论求出相应的抽到海淀区的概率6和抽不到海淀区的概率鸟，从而求解.

【小问1详解】

设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件A,

由题意知总共有18,“C:古建筑及历史纪念建筑物”有12,

所以尸(A)=R=T

103

【小问2详解】

设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B,由题意可知小王参观A革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观

C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，

35

所以小王参观东城区景区的概率为一，小张参观东城区景区的概率为一，

412

355

所以P(3)=—x—=一.

V741216

【小问3详解】

当抽到的2个都是海淀区的概率为2x'='，

121166

当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为2义3=12=2，

12116633

所以4=2+2=:，2=1—?=

oo33ooo

所以

17.已知集合A=上一％一2<。:,3=4%

(1)求A[B,A\；

(2)记关于x的不等式(2加+4)%+/+4加工。的解集为河，若BM=Rf求实数机的取值范围.

【答案】(1){%|x<2或x>4},An^B=1x|l<x<2}

(2)1m|O<m<lj

【分析】(1)先求解出一元二次不等式、绝对值不等式的解集为集合A,3,然后根据并集概念求解出AuB，再根

据交集和补集概念求解出Ac为3；

(2)根据不等式先求解出M,然后根据5M=R列出关于冽的不等式组，由此求解出结果.

【小问1详解】

因为J—%-2<0，解得T<x<2，所以A=｛,—l<x<2｝，

53

又因为X—525,解得X"或xWl,所以3=同％«1或x»4｝，

所以AD5=｛无N<2或X»4｝；

又因为为5=｛尤[1<尤<4｝,

所以Aca3=｛x|l<无<2｝.

【小问2详解】

因为f-(2m+4)x+m2<0,

所以〃,

m<l

若5M=R,则“,解得0W机W1,

ZM+4>4

所以机的取值范围是｛77z|OKmKl｝.

18.已知函数/(x)=ln(l—x)+左ln(l+x).请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问

题.

条件①：/(%)+/(—%)=0;

条件②：/«-/(-x)=0.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

(1)求实数左的值；

(2)设函数E(x)=(l—x)(l+x)3判断函数月(%)在区间(0,1)上的单调性，并给出证明；

(3)设函数g(x)=/(x)+x*+2k],指出函数g(x)在区间(—1,0)上的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)/(处在区间(0,1)上单调递减，证明见解析

(3)g(x)在(-1,0)内有且仅有一个零点，理由见解析

【分析】(1)根据题意结合奇偶性的定义分析求解;

(2)根据单调性的定义分析证明；

(3)根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断g(x)在区间(-1,0)上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断.

【小问1详解】

令l+x>0，解得—1<X<L所以函数了。)的定义域为(—1,1)，

若选①：因为/(%)+/(—幻=。，即〃幻为奇函数，

则ln(l—％)+左ln(l+%)+ln(l+x)+kIn(l-x)=0,

整理得f)=。，

注意到对任意xe(—1,1)上式均成立，可得1+左=0,解得左=—1；

若选②：因为/(X)-F(T)=。，即/⑺为偶函数，

则ln(l-x)+左ln(l+x)—[ln(l+x)+左ln(l-x)]=0,

整理得(1—左)也\^=0，

注意到对任意xe(—1,1)上式均成立，可得1—Z=0,解得左=1.

【小问2详解】

1_Y2

若选①：则％=—1,可得尸(x)=(l—x)(l+x)T=——=------1,

l+x1+X

可知函数E(x)在区间(0,1)上单调递减，证明如下：

对任意不，W«°，1)，且为<》2，

则尸(药)一斤(%)=------1----------1=-------------=,:,

(1+玉)11+%2J1+再1+%2(1+再)(1+%2)

因为0VxiV/〈I，则1+玉>0,1+工2>°，％2一再>0，

可得尸(玉)一尸(犬2)>。，即尸(九1)>厂(％2)，

所以函数厂(%)在区间(0,D上单调递减；

若选②：则％=1,可得P(x)=(l—x)(l+x)=l—x2,

可知函数尸(X)在区间(0,1)上单调递减，证明如下：

对任意再，%e(0,1),且石<龙2,

则网玉)-"%)=(1—X；)—(1—第)=~X1=(%+龙2)(工2-%1)，

因为0<%<工2<1,则%+々〉0,々一石〉0,

可得尸(石)一厂(％2)〉0,即/(西)〉/(々)，

所以函数尸(X)在区间(0,1)上单调递减.

【小问3详解】

11_y1

若选①：则％=—1,则g(x)=〃x)+—+2=ln--+-+2,

x1+xX

由(2)可知/(x)=上2在(0,1)内单调递减，且y=lnx在定义域内单调递增,

A十JC

可知/(x)=ln(l-x)-ln(l+x)=ln-―^在