2023年黑龙江省高高三考前热身数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ln(x+l),x>0

1.已知函数/(x)=h,八，若m<〃,且f(m)=/(n),则〃一加的取值范围为()

-x+l,x<0

12

A.[3-21n2,2)B.[3-21n2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2]

2.已知数列｛4｝是公比为2的正项等比数列，若明,、an满足2%<am<1024%,贝+〃的最小值为()

A.3B.5C.6D.1()

3.函数/(月=850与8(6=­一攵在[-6,8]上最多有〃个交点，交点分别为(x,y)㈠=1....〃)，则

豆(苍+%)=()

f=l

A.7B.8C.9D.10

4.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的。勿相继出世，其功能也是五花八门.某大学为

了调查在校大学生使用。〃〃的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如

图所示，现有如下说法：

①可以估计使用。加主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足10%的大学生使用。以主要玩游戏；

③可以估计使用。班主要找人聊天的大学生超过总数的；.

其中正确的个数为()

SS4n般人卿天

[445。I看ILK、新闻、资讯

厂e-I玩游戏

[-0”。-I升视狼、图片

[精I听苦乐

[)小—I找附近的人

[:坤)二I找共同兴趣的人

A.0B.1C.2D.3

5.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

-•包中6%

二Yl5岁攀幼京17«

-.>18”右波皇生4%

4H他玳反眄

从配人

fil2^

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

22

6.已知双曲线Cx:=v=1（。>0/>0）的左，右焦点分别为片，工，o为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的

ab」

点，直线尸。，P与分别交双曲线C的左，右支于另一点若归6|=3归用，且NgN=60,则双曲线的离

心率为（）

C2"

B.3

7.已知集合用={划一14》<5},'=卜|国<2},则Mp|N=()

A.{x|-lKx<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{X|0<X<2}

x+y<2

8.若变量乂儿满足，2x-3y<9,则f+炉的最大值为（)

x>0

八81

A.3B.2C.—D.10

13

9.已知数列｛4｝的通项公式是%=/sin|—贝！+。2+/+…+。12=<）

A.0B.55C.66D.78

10.2021年部分省市将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生

物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

c.21

62

11.AABC的内角A,且C的对边分别为q,b,c,已知a+2c=2/7cosA,则角B的大小为（）

12.设函数〃%）=£-/111尤+%+勺恰有两个极值点，则实数/的取值范围是（

)

1

B.—,+oo

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在四面体ABCD中，与她DC都是边长为2的等边三角形，且平面4?。，平面8DC,则该四面体外接

球的体积为.

/v2

14.在平面直角坐标系X。），中，双曲线二-2=1（4＞08＞0）的焦距为2c,若过右焦点且与X轴垂直的直线与两条渐

a-b-

近线围成的三角形面积为/,则双曲线的离心率为•

15.已知双曲线C：「一与=1（«＞（）,b＞。）,直线/：x=4。与双曲线。的两条渐近线分别交于A,B两点.

a2b2

若AQ钻（点。为坐标原点）的面积为32,且双曲线C的焦距为2石，则双曲线C的离心率为.

16.等边AABC的边长为2,则而在而方向上的投影为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AABC中，内角A&C的对边分别是a/,c,满足条件c=2＞一缶,C=色.

4

（1）求角A;

（2）若△ABC边A3上的高为百，求A3的长.

18.（12分）如图，三棱柱ABC-48©中，侧面BBQC为菱形，AC±AB,,ABBC.

B

（1）求证：BC|_L平面ABC；

（2）若AB_LB,C,NCBB]=60°,求二面角B,-A4,-0的余弦值.

19.（12分）一张边长为2m的正方形薄铝板ABC。（图甲），点E,尸分别在AB,BC上，且A£=CE=x（单

位：，"）.现将该薄铝板沿E尸裁开，再将A/ME沿DE折叠，AQCT沿。尸折叠，使D4,。。重合，且4。重合

于点制作成一个无盖的三棱锥形容器D—（图乙），记该容器的容积为V（单位：//），（注：薄铝板的厚

度忽略不计）

图甲

（1）若裁开的三角形薄铝板EEB恰好是该容器的盖，求x,V的值;

（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器。-MER的容积V最大.

x=2+tcosa

20.（12分）在直角坐标系x0y中，曲线G的参数方程为〈,。为参数，a为实数）.以坐标原点。为

y=2+tsin。

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为〃=8sin（9,曲线G与曲线G交于A6,两点,

线段AB的中点为".

（1）求线段A8长的最小值；

（2）求点M的轨迹方程.

21.（12分）已知a,h,c为正数，且出7c=1,证明：

（1）（267+1）（2^+1）（2C+1）＞27；

111,3

（2）------------------------------T---------------------T——

a（0+c）-0（a+c）~c（a+b）~4,

22.（10分）如图所示，已知AC,平面COE,BD//AC,AECD为等边三角形,F为边ED上的中点，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求证：CFP面A3E；

(II)求证：平面ABE，平面BDE;

(HI)求该几何体E-ABDC的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

分析：作出函数/(力的图象，利用消元法转化为关于〃的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单

调性与最值，即可得到结论.

详解：作出函数“X)的图象，如图所示，若根<〃，且“加)=/(〃)，

则当ln(x+l)=l时，得x+l=e,即x=e—1,

则满足()<〃<<?-1,-2<777<0,

贝！Jln(〃+l)=4m+l,即加=ln(〃+1)—2,则〃一相=〃+2-21n(〃+1),

2

设〃⑺="+2—21n(〃+l),0<“«e—l,则〃，(“)=]+一]=?—j->

当〃(")〉0,解得l<〃We—1,当〃'(〃)<0,解得()<〃<1,

当〃=1时，函数〃(〃)取得最小值〃⑴=l+2-21n(l+l)=3—21n2,

当〃=0时，A(0)=2-21nl=2；

当〃=e-l时，〃(e-l)=e—1+2—21n(e-1+1)=e-l<2,

所以3-21n2〈力（〃）<2,即〃一机的取值范围是［3—21n2,2）,故选A.

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解

答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于

中档试题.

2.B

【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幕的运算法则、指数函数的单调性求得1<m-〃<1。再根据此范围求（〃Liy+〃的

最小值.

【详解】

数列｛a,,｝是公比为2的正项等比数列，a,n、%满足2%<%,<1024。“，

由等比数列的通项公式得2a,-2'-'<2m-'<1024a,-2"-',即2"<<2,,+9，

.­.2<2,n','<2|0»可得1<加一九<10,且加、"都是正整数，

求（〃Liy+〃的最小值即求在1<加-〃<10,且加、〃都是正整数范围下求m-1最小值和〃的最小值，讨论山、”

取值.

,当加=3且〃=1时，（m—if+〃的最小值为（3—1）2+1=5.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数第的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思

想，是中等题.

3.C

【解析】

根据直线g（x）过定点（1,0）,采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.

【详解】

由题可知：直线g(x)=^-太过定点(1,0)

且/(x)=cos•^在［-6,8］是关于(1,0)对称

如图

通过图像可知：直线g(x)与“X)最多有9个交点

同时点(1,0)左、右边各四个交点关于(1,0)对称

所以Z&+%)=2x4+1=9

/=!

故选:c

【点睛】

本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数y=cosx的性质，属难题.

4.C

【解析】

根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用

“〃〃主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用。〃〃主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③

的正误.综合得出结论.

【详解】

使用社〃主要听音乐的人数为5380,使用主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,所以①正确；

Q13()

使用物主要玩游戏的人数为8130,而调查的总人数为56290,〜上20.14,故超过10%的大学生使用。印主

56290

要玩游戏，所以②错误；

使用主要找人聊天的大学生人数为16540,因为所以③正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

5.D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

6.D

【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可.

【详解】

结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO,而「。="。，结合四边形对角线平分，可得四边形P耳MF?为

平行四边形，结合NM&N=60°,故❷=60°

对三角形片Mg运用余弦定理，得到，RM?+F2M°-F1Fj=2•MF1••cos"MF]

而结合上用=3|「用，可得|A闺=4眼用=3匹后鸟=2c,代入上式子中，得到

a2+9a2-4c2=3a2，结合离心率满足e=',即可得出6=£=也，故选D.

aa2

【点睛】

本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难.

7.A

【解析】

考虑既属于M又属于N的集合，即得.

【详解】

:N={x|-2<x<2},二A/cN={x|-1Wx<2}.

故选：A

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于基础题.

8.D

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.

【详解】

\+y<2

解：画出满足条件2x-3y«9的平面区域，如图示：

x>0

如图点坐标分别为A（0,-3）,B（3,-l）,C（0,2）,

目标函数9+产的几何意义为，可行域内点（x,y）与坐标原点（0,0）的距离的平方，由图可知8（3,-1）到原点的距离

最大，故任+严、=32+（T）2=]o.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题.

9.D

【解析】

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin（爸!■）］的值，可进一步得到数列｛%｝的通项公式，然后代入

4+%+%+…+42转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当"为奇数时，sinF乃）=sin（〃7+'）=sin^+y'|=sin^=-l,

所以当〃为奇数时，4=-〃②；当〃为偶数时，4=/,

所以4+%+。3■1-----弓2

=-12+22-32+42-------112+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

10.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P=—=：,

124

故选B.

11.A

【解析】

先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解A

【详解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sin3cosA,即sinA+2sin(A+8)=2sin5cosA,即有sinA(1+2cos8)=0,

12万

因为sinA>0,贝！JcosB=——，而8e(0,»),所以8=—.

23

故选:A

【点睛】

此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.

12.C

【解析】

/(“恰有两个极值点，则户«)=0恰有两个不同的解，求出力")可确定x=l是它的一个解，另一个解由方程

xex

—e—-f=0确定，令g(x)=J(犬>0)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.

xI2xI2

【详解】

由题意知函数.“X)的定义域为(0,+?),r(x)=(f_peT仕+]_与

\'x\xX)

(xT)[e-(x+2)](x-l)(x+2)

因为/(x)恰有两个极值点，所以/々0=()恰有两个不同的解，显然x=l是它的一个解，另一个解由方程

E—'二°确定'且这个解不等于1•

x+l)ev

令g(x)=上一(尤>0),则g'(x)―^->0,所以函数g(x)在(。,+?)上单调递增，从而gG)〉g@=g，

x+2"+2)一

p1P/(》)=三-(lnx+x+彳]恰有两个极值点，即实数/的取值范围是

且g(i)=••所以，当且时,

Nr

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.■

27

【解析】

先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.

【详解】

取的外心为。I，设。为球心，连接。则。平面BDC,取80的中点M,连接AM,0.M,过。

做OGL4W于点G,易知四边形。QMG为矩形，连接0C,设。4=R,=MG=/i.连接MC,则0-

M,C三点共线，易知MA=MC=g,所以0G=M0]=¥，CQ=羊.在R/A4Go和心八。。1。中,

+/=R2,所以。=正，R25

GA2+GO2=,QC2+GO?=

33

z=7154八320V15

得Rn=-----•所fiC以hIKlzJJC=-7TR=---------71•

3球0327

D

/.........1/•••»A\

【点睛】

本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半

径；二是利用熟悉的模型求解半径，比如长方体外接球半径是其对角线的一半.

14.V2

【解析】

利用SMOB=；x|£0||A8=即可建立关于4b,c的方程•

【详解】

设双曲线右焦点为压,过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A8两点，

behe*1hr*

则A(c,—),B(c,一一),由已知，S=-X|F,O\\AB\=C2,即一•c=c2,

aa2MOBa

所以。=8，离心率e=J+(,)2=JL

故答案为：V2

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立。力,c的方程或不等式，是一道容易题.

15.6或1

【解析】

用。力表示出603的面积，求得〃等量关系，联立焦距的大小，以及片+尸=。2,即可容易求得a,匕，则离心

率得解.

【详解】

x=4a,

联立《b解得y=4〃.

y=­x

a

所以公。45的面积5=、4。・昉=16"=32,所以必=2.

2

而由双曲线C的焦距为2逐知，c=逐，所以/+从=5.

a—\,{a=2,

联立解得，c或，，

b=2m=1,

故双曲线C的离心率为右或立.

2

故答案为：逐或好.

2

【点睛】

本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.

16.-1

【解析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB在前方向上的投影即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：A(0,0),5(2,0),C(l,百)，

则：AB=(2,0),=AB.BC^-2

且网=2,函=屈，

.BC-2

据此可知福在肥方向上的投影为=彳=T.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(2)26-2

【解析】

(1)利用正弦定理的边角互化可得sinC=2sin8—0sinA，再根据87T-A-C=+利用两角和的

正弦公式即可求解.

(2)已知CO=J5,由A=。知A£>=1,在ABAC中，解出BO即可.

【详解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-V2sinA

71

由己知C=,而8=万—A—C=zr—+i

4

也=2sin(A+7)-V2sinA

V

cosA+^-sinA-5/2sinA

2

=>/2cosA

“兀

:.cosA=-A=—

293

(2)已知cr)=G，

冗

则由A=一知AO=1

3

CD

B=K-A-C^—7T,DB

12tanB

先求sin^/r=sin7171；(夜+向

43

57171

COS—71=-COS一+一T迷一扬

1243

5(#+3)^

：.tan—7t=、=——=2+J3

12(V6-V2)

/o

/.DB=^-^=2y/3-3

2+V3

，AB=AD+=1+26-3=26-2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.

18.(1)见解析(2)-

7

【解析】

(1)根据菱形性质可知BQ±B,C,结合AC1A用可得0A=0C=。4，进而可证明ABOA三ABOC,即

BQ10A,即可由线面垂直的判定定理证明BG1平面AB,C；

(2)结合(1)可证明。4。5,。4两两互相垂直.即以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，|砺|为单位长度,

建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面耳A4和平面GA41的法向量，即可求得二面角与-的

余弦值.

【详解】

(1)证明：设BGn4c=。，连接。4,如下图所示：

侧面8BCC为菱形，

：.BCXVByC,且。为耳。及Bq的中点,

又AC1AM，则AC4B1为直角三角形，

/.0A=0C=OB1,

又AB=BC,

:.MOA=ABOC,(SSS)

:.OA±OB,即BCJOA,

而OA,B©为平面AB,C内的两条相交直线，

/.Bq，平面ABC.

⑵：AB1BC，BQ±B[C,ABcBC】=B

4c_L平面ABO,

QAOu平面ABO,

：.B^CLAO,即QA_LO31,

从而04,。氏。与两两互相垂直.

以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，|而|为单位长度，建立如图的空间直角坐标系。-孙z

•/ZCBB,=60°,

•••ACB⑸为等边三角形,

•：AB=BC,

A(0,0,^^

,0),C(0,-芋0),

,()］石=/=0，-卓-

，例=阴=-1,手

：.AB}

*(y_z)=O

ntAB=0

设平面4AA的法向量为％=(x,y,z),则V1即

in-AAj=0

T+争=0

**•可取n=(1,V3,V3)，

设平面£然的法向量为嬴则《/力.三AC二—。0

同理可取〃?=(i,G,-G)

---n-m1_1

vcos<n,m>=T——1

叫叫V7X5/7|7

由图示可知二面角耳-AA-£为锐二面角，

...二面角的余弦值为L.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线,

属于中档题.

19.(1)x=l,V=|；(2)当x值为逐-1时，无盖三棱锥容器O—ME厂的容积V最大.

【解析】

(1)由已知求得x=l,求得三角形包印的面积，再由已知得到MD_L平面代入三棱锥体积公式求V的值;

4(%

(2)由题意知，在等腰三角形Affi尸中，ME=MF=x,则EF=VJ(2-x),cosZEMF=；0,写出三角形面积,

X'

求其平方导数的最值，则答案可求.

【详解】

解：(1)由题意，八七阳为等腰直角三角形，又AE=CF=x,

BE=BF=2-x(0<x<2),

•••AEFB恰好是该零件的盖，；.x=l,贝

由图甲知，AD±AE,CDA.AF,

则在图乙中，MDA.ME,MDA.MF,ME[}MF=M,

又ME,平面项/，平面EM/,

•■'V=^5'AEWF，M£>=^5EBF，W£)=^X^X2=|；

(2)由题意知，在等腰三角形M律中，ME=MF=x,

则£F=夜(2-x),cosNEMF=火.”,

x

S—十sinN丽

令/(x)=(S码干尸=J，-16(x—1尸］,

f\x)=x3-8(x-1)=(x-2)(x24-2x-4),

*/0<x<2,:.X=45-1・

可得：当xw(0,百一1)时，/x(x)>0,当xw(布-1,2)时，r(x)<0,

二当x=J?—1时，S^EMF有最大值.

由(1)知，“。_1平面£/0~，

，该三棱锥容积的最大值为V=；5蛇叱〃。，且M£>=2.

:•当x=6-l时，/(x)取得最大值，无盖三棱锥容器。-AffiF的容积V最大.

答：当x值为近-1时，无盖三棱锥容器。-ME/7的容积V最大.

【点睛】

本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题.

20.(1)4X/2(2)(x-l)2+(y-3)2=2.

【解析】

(1)将曲线G的方程化成直角坐标方程为/+产=8',当PGLA8时，线段AB取得最小值，利用几何法求弦

长即可.

(2)当点M与点尸不重合时，设M(x,y),由利用向量的数量积等于0可求解，最后验证当点”