2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.空间向量万5-而+前=（）

A.ABB.CBC.OCD.BC

2.圆/+y212y-3=0的半径是（）

A.1B.2C.3D.4

3.抛物线/=8y的焦点到准线的距离是（）

A.1B.2C.4D.8

4.已知数列｛a.｝的前n项和又=层，则a?=（）

A.1B.2C.3D.4

5.若等差数列｛册｝满足。3=-1，。4=1，则其前兀项和的最小值为（）

A.—9B.—8C.—7D.—6

n

6.设｛即｝是各项不为0的无穷数列，"VnGAT,成+i=anan+2是“｛勾｝为等比数列”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.设尸1，尸2是椭圆C；曾+白1的两个焦点，点P在椭圆C上，仍&|=4,则仍尸2|=（）

A.1B.2C.3D.4

8.如图，在三棱柱4BC-41B1G中，CQJ■平面ABC,AB=

BC=V5,AC=AAt=2.D,E,F分别为A^,BB1的

中点，则直线EF与平面BCD的位置关系是（）

A.平行

B.垂直

C.直线在平面内

D.相交且不垂直

9.记％为等比数列｛总的前n项和.已知的=-4,a4=p则数列图｝（）

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，无最小项D.有最大项，有最小项

10.已知M是圆(x—l)2+y2=1上的动点，则M到直线y=kx+l(keR)距离的最大值为

()

A.2B.V2+1C.3D.2V2+1

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.3与7的等差中项为.

12.直线y=x+1关于y轴对称的直线的方程为.

2

13.己知双曲线a一丫2=19>0)的一条渐近线方程为％+2、=0,则。=.

14.能说明“若等比数列｛在｝满足的<a2,则等比数列｛5｝是递增数列”是假命题的一个等

比数列｛即｝的通项公式可以是.

15.平面内，动点M与点F(l,0)的距离和M到直线x=-1的距离的乘积等于2,动点M的轨迹

为曲线C.给出下列四个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于x轴对称；

③曲线C与x轴有2个交点；

④点M与点F(l,0)的距离都不小于e一1.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题14.0分)

己知点4(0,1)和点8(2,3)是圆C直径的两个端点.

(I)求线段AB的中点坐标和圆C的方程；

(11)过点4作圆。的切线/,求切线/的方程.

17.(本小题14.0分)

已知等差数列｛册｝满足的=1,a2+a3=5.

(I)求｛%3的通项公式；

(H)设｛bn｝是等比数列，瓦=2,b3=2b2,求数列｛册+%｝的前几项和％.

18.(本小题14.0分)

已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸.

(I)求尸的坐标和抛物线c的准线方程；

(n)过点F的直线/与抛物线C交于两个不同点4B,再从条件①、条件②这两个条件中选择

一个作为已知，求|4B|的长.

条件①：直线I的斜率为1；

条件②：线段AB的中点为M(3,2).

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

19.(本小题14.0分)

如图，在长方体48。。-418道1。1中，AB=AD=1,AAX=2,E是棱。。1的中点.

(I)求证：〃平面48隹；

(H)求平面与平面为B1GD1夹角的余弦值；

(DI)求点G到平面ZBiE的距离.

20.(本小题15.0分)

已知椭圆C；，+，=1(。>0,6>0)过点P(2,1),月。=2儿

(I)求椭圆C的方程和离心率；

(II)设。为原点，直线。尸与直线，平行，直线I与椭圆C交于不同的两点M,N,直线PM,PN分

别与x轴交于点E,F.当E,F都在y轴右侧时，求证:|OE|+|。用为定值.

21.(本小题14.0分)

已知｛厮｝为无穷递增数列，且对于给定的正整数鼠总存在i，j，使得七<k,aj>k,其中i<j.

令瓦为满足为<k的所有i中的最大值，以为满足q>k的所有/中的最小值.

(I)若无穷递增数列｛aj的前四项是1，2,3,5,求儿和C4的值；

(II)若｛即｝是无穷等比数列，%=1,公比q是大于1的整数，b3<b4=b3,c3=c4,求q的

值；

（皿）若｛厮｝是无穷等差数列，的=1,公差为'，其中m为常数，且m>1,meN*,求证：&,

b2,尻，…和R,C2,…，恁，…都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：空间向量65—赤+配=瓦？+元=5■乙

故选：D.

利用向量线性运算法则直接求解.

本题考查向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：圆/+y2一2y-3=0,即/+(y-l)2=4,

故它的半径为2,

故选：B.

由题意，把圆的一般方程化为标准方程，从而得到它的半径.

本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的概念及标准方程，属于基础题.

直接利用抛物线的概念及标准方程，可得p=4,写出结果即可.

【解答】

解：抛物线/=8y,所以p=4,抛物线M=8y的焦点到准线的距离是4.

故选：C.

4.【答案】C

2

【解析】解：Sn=n,

二当？1=1时，Qi=Si=l,

当？I=2时，$2=Qi+与=2?,解得g=3,

故选：C.

根据题意，分别令n=l,求出，n=2,即可得出答案.

本题考查数列的前n项和求数列的通项，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础

题.

5.【答案】A

【解析】解：设等差数列｛一｝的公差为d,

—

则d=a4—«3=1(-1)=2,

故a2=a3—d=—l—2=—3,=a2—d=—3—2=—5,

va3<0,a4>0,

其前n项和的最小值为的+a2+a3=-5-3-l=-9.

故选：A.

根据已知条件，先求出等差数列｛斯｝的公差为d,再结合a3<0,a4>0,即可求解.

本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：｛%«｝是各项不为0的无穷数列，

Vn6N*,成+i=anan+2,

则｛an｝为等比数列，充分性成立，

｛斯｝为等比数列，

则VnGN*,成+i=anan+2.必要性成立，

综上所述，“VneN*,a"1=即即+2”是“｛。工为等比数列”的充分必要条件.

故选：C.

根据已知条件，结合充分条件与必要条件的定义，即可求解.

本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：•••椭圆方程为《+。=1，点P在椭圆上，

94

/.|PF1|+|PF2|=2a=6,

|PFi|=4,

••|PF2I=2,

故选：B.

根据椭圆的定义可知|PFi|+\PF2\=2a=6,代入|PFI|的值可得IPF2I的值.

本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：如图，取4C中点M,连接EM,BM,

vAB=BC=V5.D,E,尸分别为力&,4如，BB】的中点，

:.MB1AC,

•••在三棱柱中，CG1平

•••EM/fCCi，

EMiTffiXBC,vAC,MBu平面ABC,EM_L4C,EM1MB,

22

vAC=AAr=2,•••AM=^AC=1,MB=>/AB+AM=2,

・•・以M为坐标原点，MA,MB,ME所成直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则8(0,2,0),C(-l,0,0),0(1,0,1),E(0,0,2),F(0,2,l),

设平面BCD的法向量为元=(x,y,z),

则E艺=x+2y=0令，得记=(2,一1，一4),

(n-BD=x-2y+z=0

vn-EF=2#：0.~EFDC=10,

•••直线EF与平面BCD相交，且不垂直于平面BCD.

故选：D.

根据图形位置关系证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面BCO的法向量，直线EF的

方向向量，判断平面BCD的法向量是否与直线EF的法向量垂直，判断直线“与直线C。是否垂直，

能得到直线与平面的位置关系.

本题考查线面垂直的判定与性质、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间

思维能力，是中档题.

9.【答案】D

【解析】解：设等比数列｛斯｝的公比为q.

因为由——4,所以q3=州=-2—=-1,所以q=-：,

8,81

所以％-3+3X（-2）nEN

1-Q-1-（-1）

若n为奇数，则方=-|-|x(y,

此时Si<53<..<Sn,Si=-4,

若n为偶数,贝％=—g+|x（扔,

O

此时S2>>..>Sn>——>

所以S1最小，S2最大.

故选：D.

由%=—4,a4=1,求出公比q,然后根据等比数列的前n项和公式求出右，再分n为奇数和n为

偶数两种情况求出土的最值.

本题考查等比数列的性质，考查了分类讨论思想，方程思想和转化思想，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：直线y=kx+l(keR)经过定点P(0,l),

由圆(%—1)2+y2=1,可得圆心C(l,0),半径r=l.

则圆心C到直线的距离取得最大值时，CP与直线垂直，

M到直线y=kx+l(kGR)距离的最大值=^/l2+(-1)2+r=V2+1.

故选：B.

直线y=kx+l(keR)经过定点P(O,1),由圆(x-+产=1,可得圆心C(1,O),半径r=1.可

得圆心C到直线的距离取得最大值时，CP与直线垂直，进而得出结论.

本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线距离公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

11.【答案】5

【解析】解：3与7的等差中项为岑=5.

故答案为：5.

根据已知条件，结合等差中项的定义，即可求解.

本题主要考查等差中项的定义，属于基础题.

12.【答案】y=-x+l

【解析】解：直线y=x+1关于y轴对称的直线的方程为y=-x+l.

故答案为：y=-x+l.

由已知结合直线关于直线对称的特点可求.

本题主要考查了直线关于直线的对称，属于基础题.

13.【答案】2

2

【解析】解：双曲线a一、2=19>0)的一条渐近线方程为》+2丫=0,

则a=2.

故答案为：2.

利用双曲线的渐近线方程求解即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.

14.【答案】an=(一1尸(答案不唯一)

【解析】解：例如等比数列厮=(-1尸满足的<。2,但等比数列｛即｝不是递增数列.

故答案为：an=(―1严(答案不唯一).

由已知结合等比数列的通项公式及数列单调性的性质即可求解.

本题主要考查了等比数列的性质及数列的单调性，属于基础题.

15.【答案】②③④

【解析】解：设动点的坐标为

因为曲线C是平面内与定点F(1,O)和定直线x=-1的距离的积等于2的点的轨迹，

所以J(x-l)2+y2..+1|=2，

因为当x=0时，y=0,7(0-l)2+02-|0+1|^2,所以曲线C不过坐标原点，故①错误；

因为将J(x—1尸+y2.|x+1|=2中的y用一y代入,该等式不变，所以曲线C关于x轴对称，故②

正确；

令y=0时，^x-iy+y2-|x+l|=2=>|x-l||x+l|=2=>%=±V3,故曲线。与％轴有2个

交点，故③正确；

因为—1)2+y2.氏+1|=2,所以f=厂三一(x-20,解得一

所以若点M在曲线C上，则|“用=J0-+y2=高2品=再一1,故④正确.

故答案为：②③④.

将所求点用(x,y)直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令x=0,y=0可判

断①；根据-y代入可判断②；令y=0可解x的值，进而可判断③；利用消元法，然后利用函数

的单调性求最值可判断④.

本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】解：(I)由题意可得4B的中点C(l,2),且圆心C(l,2),半径r=\AC\=y/l2+(_2-iy=

V2.

所以圆C的方程为:(x-l)2+(y-2)2=2；

(n)因为％0=言=1，所以过4定点的切线方程为y=—x+i，

即切线，的方程为：y=-x+l.

【解析】(I)由4B的坐标可得中点C的坐标，进而可得以4B为直径的圆的半径7•的大小，求出圆

的方程；

(n)由(I)可得直线AC的斜率，进而可得过4点的切线的斜率，求出过4点的切线方程.

本题考查圆的方程的求法及过一点与圆相切的直线方程的求法，属于基础题.

17.【答案】解：(I)•.•等差数列｛%｝满足的=1,a2+a3=5,

2%+3d=5,解得d=1,

•••an=1+(n—1)•1=n；

(II)•.•｛%｝是等比数列，瓦=2,b3=2b2,

•••2q2—2-2q,解得q=2,

1n

bn=2-2"-=2,

•••an+bn=n+2”,

；•〃=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)

_n(l+n)2(l-2n)

——2~+1-2

=等3+2"1一2.

【解析】(I)由题意解得d=l,代入等差数列的通项公式即可求解；

(11)由题意解得勺=2,代入等比数列的通项公式求得%=2%利用等差数列和等比数列的求和

公式即可求解.

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

18.【答案】解：(I)由抛物线C：y2=以的方程可得焦点尸(1,0),准线方程为％=-1；

(口)由(1)可得?(1,0),

若选条件①：直线I的斜率为1,则直线I的方程为y=%-1,设4(x1,yi)，8。2,%)，

联立整理可得：x2-6x-l=0,

显然/>0成立，且与+外=6,

由抛物线的性质可得=XI+%2+P=6+2=8；

若选条件②：线段AB的中点为M(3,2),设A(%i，%),8(%2，%)，

则”建=3,=2,即％1+冷=6,

因为直线2过焦点F的弦长|4B|=%i+%2+p=6+2=8,

所以弦长|4B|=8.

【解析】(I)由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程；

(□)若选条件①，可得直线I的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和，由抛物线的性质可得

弦长|4B|的值；若选条件②，由中点坐标，可得4B的横坐标之和，由抛物线的性质可得|4B|的

值.

本题考查抛物线的性质的应用及直线与平温馨的综合应用，属于中档题.

19.【答案】(I)证明：因为4BCD-&8传1。1是长方体，

所以为的=BC且BiQ〃BC,

可得四边形&C1BC是平行四边形，

所以GD〃2Bi，

又CiDC平面4B1E,

ABiu平面

所以GO〃平面

(口)解:建系如图，71(0,0,0),E(0,U),当(1,0,2),

AE=(0,1,1).福=(1,0,2),

令记=

因为荏•记=0,福•布=0，所以记是平面4/E的法向量，

平面为B1CW1的法向量是元=(0,0,1),

所以平面明芯与平面&BCD1夹角的余弦值为|韶|=4=容

(五)解：G(l,l,2),宿=(1,1,2),

点G到平面4B1E的距离d=且鬻=缺萨1=号

所以点G到平面ABiE的距离”

6

【解析】(I)利用线面平行的判定定理即可证明；

(n)用向量数量积计算两平面所成角余弦值；

(m)用向量数量积点G到平面力的距离.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，考查了直线与平面成角问题,

属于中档题.

20.【答案】解：（1）由椭圆。：★+胃=1（（1>0/>0）以及。=2匕，

.•.磊+，=1,又椭圆过点P（2,l）,

41

•••777+77=1,解得/=2,・•・M=8,・・•Q=2&,c=V6

4bb

椭圆C的方程为1+4=1，离心率e=多

822

（II）vk0P=又直线OP与直线［平行，.,.设直线，的方程为y=gx+m,例（勺,乃），2（上,力），

由丫一/+771,消去y得2/+4mx+4m2—8=0,

x2+4y2=8

・・.%i+x2=_2m,Axrx2=27n2-4,直线MP的方程为y-1=一2），

令y=0得T=2-

故点E（2一片,0）,同理可得F（2-冷,0）,

•••E,尸都在y轴右侧，

••.|四+|。尸|=|2-言|+|2—言|=2-需+2—言

__（2一巧）（1一、2）+（2-%2）（1-yp—A_（2_%］）（1一血一?2）+（2-%2）（1-血一扛1）

=（l-yi）（l-y2）=（l-yi）（l-y2）

_A_4（1_m）_（1_771）（勺+%2）-（%］+%2）+%1工2—A—4（1一7几）一（1一7九）（一2血）-2772+262-4一“牛】古、

一（1-力）（1-丫2）—4（1-%）（1-为）一世正值）.

【解析】（I）由已知可得磊+/=1,椭圆过点P（2,l）,可求b,进而可求椭圆C的方程和离心率；

（II）设直线2的方程为y=|x+zn,M（xi，yi）,做&方），联立方程组可得与+x2=-2m,■-x1x2=

2m2-4,直线MP的方程为y—1=芸（％-2）,可得E点的坐标，同理可得F的坐标，进而计算

可得|0E|+|0F|为定值.

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属

中档题.

21.【答案】解：（I）若无穷递增数列｛册｝的前四项是1,2,3,5,

由<4,a；>4,其中1<i<j<4,a3=3<4,a4=5>4,

则%-3,c4—4；

（口）若｛即｝是无穷等比数列，%=1，公比q是大于1的整数,

若q=2,则｛an｝：1,2,4,8,16,32,%为满足心<3的所有i中的最大值，即为坛=2,

同理可得/