2020-2021学年上海师大附中高一（下）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年上海师大附中高一（下）期末数学试卷

一、填空题（共12小题）.

2.若1+i（z.是虚数单位）是关于x的实系数方程尤2+川+4=0的根，则网=.

31加3"、2nL

n

n-83+l

4.已知等差数列｛斯｝的各项不为零，且仅、S3、。63成等比数列，则公比是.

5.已知向量；=（1,2），b=（m,-3）.若向量（Z-2%）〃E，则实数m

6.某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学

生都做作业的可能情形有种（用数字作答）.

7.（1+-^―+―--+....H----------）=.

n-81+21+2+31+2+3+…+n------

8.2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事

翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余

三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.

9.在无穷等比数列｛。〃｝中，若lim（aj+a2+--+an）^-,则a\的取值范围

n-8*678*11

是.

10.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车,

则恰好有5个连续空座位的候车方式共有种.（用数字作答）

11.5名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩

手，则不同的分派方法共有种（用数字作答）.

12.我们把一系列向量a1（i=l,2,n）按次序排成一列，称之为向量列，记作｛aj,

已知向量列｛aj满足=(1,1)

an=（Xn，yj节（Xn-i-ymJXmi+ynT）（n>2），设。"表示向量与a^i的

2不等式后+庶…舟*a。

夹角'若儿=等8n对任意正整数小

-2a)恒成立，则实数a的取值范围是.

二、选择题(共4小题).

13.在用数学归纳法证明(〃+1)(«+2)•♦•5+〃)=2"・1・2・3••…(2〃-1)(weN*)时,

从左到Z+1,左端需要增加的代数式是()

A.2k+lB.2(2K1)C.D.

k+1k+1

14.从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有()

555

AcAA种

75

10

5555

种

中

CC矛DCA

c1O771O

15.复数z满足|z-3i|=2(i为虚数单位)，则复数z-4模的取值范围是()

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不对

16.设｛斯｝是各项为正数的无穷数列，4是边长为3跖+1的矩形的周长(z=l,2,…)，

则“数列｛4｝为等差数列”的充要条件是()

A.｛斯｝是等差数列

B.ai,。3,a2n-l,…或02,04,a2n,…是等差数列

C.ai,。3,…，a2n-l,…和。2,。4,…，“2",…都是等差数列

D.a\,。3,…,。2"一1,…和。2,04,…,。2”,…都是等差数列，且公差相同

三、解答题

17.已知O为直角坐标系原点，0A=(3,1),QB=(-1,2),根与瓦垂直，前与正平

行.

(1)求向量赢在向量标上的投影；

(2)求前的坐标.

18.已知/(z)=z-1,且/(zi-Z2)=4+4。若zi=2-2i.

(1)求复数zi=2-2i的三角形式，并且复数zi的辐角主值argzi；

Z1-Z9

⑵求I—_-I.

zl+z2

19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将

“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.

(1)如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共

有基站多少万个.(精确到0.1万个)；

(2)如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后

新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成

计划？(精确到1万个)

20.已知数列｛诙｝的首项为x为6R),前”顶和为列.

(1)若S,=〃斯QIN,n>l),求数列｛诙｝的通项公式；

S

(2)在(1)的条件下，是否存在x(xGR),使得对任意weN,恒有三n上=/(其

32n

中上是与正整数"无关的常数)，若存在，求出尤与女的值，若不存在，说明理由；

(3)若｛斯｝是无穷等比数列，且公比#-1,计算三次各二

n32n

21.设数列｛a”｝(”eN*)中前两项ai,z给定，若对于每个正整数均存在正整数上

(AWkWn-l)使得小=上_5=2------里巴，则称数列｛雨｝为“。数列”.

k

(1)若数列｛a”｝(“eN*)为ai—l,a2—-4■■的等比数列，当w23时,试问：。"与fnT_〜心

22

是否相等，并说明数列｛3｝("CN*)是否为“。数列”；

(2)讨论首项为可、公差为1的等差数列｛雨｝是否为“。数列”，并说明理由；

(3)已知数列｛念｝为“Q数列"，且。1=0,。2=1,记S(〃,k)=an-\+an-2+---+an-k,

"22,吒N*),其中正整数kW…,对于每个正整数G3,当正整数k分别取1、2、…、

Q/1\

〃-1时——~上~的最大值记为最小值记为侬.设瓦=几・,当正整数〃

k

满足3W〃W2020时，比较为与d+i的大小，并求出瓦的最大值.

参考答案

一、填空题(共12小题).

9

Ilim2n=2

.L83n2+i—3一.

22

解.lim_2n_=lim

廿83n2+in-83q3-

2

故答案为：—.

o

2.若1+i(，是虚数单位)是关于x的实系数方程N+px+9=0的根，则加=-4.

解：若1+i(，是虚数单位)是关于％的实系数方程N+px+q=0的根，

则1-，也是该方程的根，

所以(1+D+(1-z)=-p,解得p=-2；

(1+z)(1-z)=q,解得q=2；

所以pq=~4.

故答案为：-4.

n+1n

3lim3+2_3

・n-83n+1'

2

3+(；|1

解lim3"、2nLlimT_3+0_

肿・n-83n+10-8]+/^1+0-

故答案为：3.

4.已知等差数列｛斯｝的各项不为零，且。3、03、"63成等比数列，则公比是1或5

解：等差数列｛。〃｝的各项不为零，公差设为-

由43、。13、。63成等比数列，

可得〃3〃63=〃132,即(〃l+2d)(〃l+62d)=(4Z1+12J)2,

化为一=2。1",即d=0或d=2ai,

aiqa〔+l2d25al

可得等比数列的公比为1或」»==^=5,

a3a1+2dba1

故答案为：1或5.

5.已知向量Z=(l,2)，b=(m,-3)，若向量(1-2%)〃总则实数机=_一^一。

解：向量？=(1,2)，b=(m,-3)，

则之-2^=(1-2m,8),

又(a-2b)〃b，

贝!J-3(1-2m)-8m=0,

3

解得m=-

故答案为：-

6.某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学

生都做作业的可能情形有64种(用数字作答).

解：每一名学生做作业的情况有4种，

故在同一时刻3名学生都做作业的可能情形43=64种,

故答案为：64.

]im(1+_1_+-1—+...H------1-----)=2

n-81+21+2+31+2+3+…如-----

解：1no-----=_7一k=2(----，

1+2+3+…tnn(n+l)nn+1

lim(i+」-+—L_+……+----1------)=lim2—

n—8i+21+2+31+2+3+…tnn-822334

=%(2--^—)=2.

nn+1n_8n+i

故答案为：2.

8.2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事

翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余

三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36种.

解：由题意知本题需要分类，

若小张或小赵入选，则有选法C21c21A33=24；

若小张、小赵都入选，则有选法A22A33=12,

根据分类计数原理知共有选法24+12=36种

故答案为：36

9.在无穷等比数列｛斯｝中，若lim(+a+-+a)-Y，则m的取值范围是

n-8ai2n,

(0,马―.

oOo

解：在无穷等比数列｛斯｝中，lim(a1+b+…+an)q,

廿8J

a11

可知|切<1,-IVqVO或OVqVl则一L=A，

1-q3

ai~1(1-q)E(0,4I)U(I4,Q4).

3333

119

故答案为：(o,—)u(—,—).

ooo

10.市内某公共汽车站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车,

则恰好有5个连续空座位的候车方式共有480种.(用数字作答)

解：把四位乘客当作4个元素作全排列有A44种排法，

将一个空位和余下的5个空位作为一个元素插空有42种排法，

42

.•.A4M5=480；

故答案为480.

11.5名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩

手，则不同的分派方法共有150种(用数字作答).

解：根据题意，分2步进行分析：

①将5人分为3组，

若分为3、1、1的三组，有C53=10种分组方法，

r2r2

若分为2、2、1的三组，有一三上=15种分组方法，

4

则有10+15=25种分组方法，

②将分好的三组全排列，安排到三个地区，有A33=6种情况，

则有25X6=150种分派方法，

故答案为：150.

12.我们把一系列向量a1(i=l,2,…，M)按次序排成一列，称之为向量列，记作｛aj,

已知向量歹U｛aj满足=(11),

=(x

ann,yn)=2-(xn_1xn_1+yn_1)(n>2)>设表示向量与a.的

2不等式后痣…底*a。

夹角'若儿=等e。对任意正整数〃，

短)

-2a）恒成立，则实数a的取值范围是.(0,

o

an,arrl

解：由题意，计算cos6"=

l^lxlan-l

_1

(Xn-1-丫11-1)

xn2

把4代入,

1

yn-Xmi+y^P

4,J?

可求得COS0n=——

2

兀

所以0n=—；

4

22

22222

所以Cn+lCn>0；

2n+l2n+2n+12n+l2n+2

=

所以数列｛Cn｝是单调递增数列，且10ga（1-2fl）V(Cn)minC1—1;

由于1-2a>0,解得。<春,

，l-2a>0

所以l-2a>a,解得

0<a<l

所以。的取值范围是（0,1•）.

o

故答案为：（0,.

O

二、选择题

13.在用数学归纳法证明（n+1）（w+2）…（w+w）=2"・1・2・3.......(2M-1)(nGN*)时,

从上到4+l,左端需要增加的代数式是（）

2k+l

A.2k+\B.2⑵+1)C.

k+1D・簧

解：当力=%+1时，左端=...-(左+1)(Z+2)(k+k)(Z+A+l)(A+1+A+1),

k+1

所以左端增加的代数式为

(.k+k+1)(k+l+k+1)-^-=2(24+1),

k+1

故选：B.

14.从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（）

555

cAA种

75

10

5555

种

中

cc不cA

1o7D7

10

解：第一步，选出5人，共有〃种不同选法，

第二步，选出5个岗位，共有Cl（）5种不同选法，

第三步，将5人分配到5个岗位，共有45种不同选法，

依分步计数原理，知不同的选派方法有C75Go5A55=C75AH）5种.

故选：D.

15.复数z满足|z-3i|=2（i为虚数单位），则复数z-4模的取值范围是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不对

解：由|z-3力=2,可知复数z对应点的轨迹为以8（0,3）为圆心，以2为半径的圆上,

如图：

则复数z-4模的最小值为|42|-2=5-2=3,最大值为|4B|+2=5+2=7.

复数z-4模的取值范围是[3,7],

故选：A.

16.设｛痴｝是各项为正数的无穷数列，4是边长为如曲1的矩形的周长（i=l,2,­••）,

则“数列｛4｝为等差数列”的充要条件是（）

A.｛3｝是等差数列

B.的，Cl2n-1»…或〃2,44,…，〃2"，…是等差数列

C.ai,。3,…,…和〃2,。4,…，CL2n,…都是等差数列

D.a\,〃3,…，…和。2,04，…,。2〃，…都是等差数列，且公差相同

解：A,=2（诙+的+1）,

Az+i-Ai=2（〃计2+〃计1）-2（〃，+。计1）—2（勿+2一勿）,

若数列｛A〃｝为等差数列，则勿+2-勿为常数,可得：〃3,…，…和。2,〃4,…，

〃2〃，…都是等差数列，且公差相同.

反之也成立.

"数列｛4｝为等差数列”的充要条件是：ai,。3，…,Q2n-1，…和42,44,…，…

都是等差数列，且公差相同.

故选：D.

三、解答题

17.已知。为直角坐标系原点，0A=（3,1）,OB=（-1,2）,权与瓦垂直，反与赢平

行.

（1）求向量赢在向量屈上的投影；

（2）求正的坐标.

解：（1）因为赢=（3,1）,QB=（-1,2）,

所以标=而-赢=（T,1）,

计算水，祈=-12+1=-11,IABl=V（-4）2+l2=V17>

所以向量赢在向量标上的投影为：

OA'AB-1111V17

lOAlcose

IABI-Vl717

（2）设66=（%，y），因为反与连垂直，

所以京•羽=-x+2y=0,

又前=沃-丽=5+1，>-2）,且前与水平行,

所以3(y-2)-(x+1)=0,即x-3y+7=0,

J-x+2y=0x=14

,解得，

[x-3y+7=0y=7

所以羽=（14，7）；

所以"56的坐标为（14,7）.

18.已知/(z)=z-1,且/(zi-Z2)=4+4/,若zi=2-2i.

(1)求复数zi=2-2i的三角形式，并且复数zi的辐角主值argzi；

Z1-Z9

(2)求|」~~-I.

zl+z2

解：(1)zi=2-2z=2V2=2V2(cos-^-+isin-^—)>

7兀

则argzi=—^—；

(2)设Z2=x+yi(x,y€R),

Vzi=2-2z,，zi-z2=(2-x)-(y+2)z,

V/(z)=z-1,.*./(zi-Z2)=(1-x)+(y+2)i=4+4i,

fl-x=4

・〃，贝！Jx=-3,y=2,

ly+2=4

；.Z2=-3+2i,则一-----=^^=-5+4i，

Z1+Z2-1

Z1-Z2__

则|:"1=1-5+4/|=^41.

zl+z2

19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将

“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.

(1)如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共

有基站多少万个.(精确到0」万个)；

(2)如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后

新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成

计划？(精确到1万个)

解：(1)每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个.

12U

则计划2020年新建基站数为S19=12X3+^X0.2=49.2.

故2020年全国共有基站13+49.2=62.2万个；

(2)由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q(q>0).

9797

由60+60^+60^=800-13,得q+q'^-=0.

60

解得：q-3(q>0).

-1-2021年至少建60X3=180万个，2022年至少建60X9=540万个才能完成计划.

20.已知数列｛斯｝的首项为x(xeR),前〃顶和为

⑴若s="斯-n"l)(nEN,n>l),求数列｛斯｝的通项公式;

(2)在(1)的条件下，是否存在x(xeR),使得对任意"CN,nA,恒有三上=左(其

n2n

中左是与正整数"无关的常数)，若存在，求出x与左的值，若不存在，说明理由；

(3)若｛为｝是无穷等比数列，且公比qW-1,计算三次袅■

n32n

解：(1)由SnFan-R，1)，得

n(n+l)

Sn+l=(n+l)a

n+12

-

两式作差可得斯+1=〃斯+1+即+1nan-n,

即Cln+l~Ctn~~1,

J数列｛诙｝是首项为X,公差为1的等差数列,

贝！Jan=x+(〃-1)Xl=n+x-1；

(2)由不上=%,得Sn=kS2n,

32n

即g」~n(n-1)=k[2nx+n(2〃-1)],

整理得：(1-«)n-⑵-1)(2x-1)=0,

当％=4，时，该等式恒成立，

24

即当户方1时，产S=15；

/b2n4

(3)若｛斯｝是无穷等比数列，且公比qW-l,

-^-=—,贝UA.

当q=l时，S=nx,S2n=2nx,

nS2n2"n-8s2n2'

_x(1-q2n)

当qWl时，S=三止©

n1-q2nl-q

S1,0<q<1

n=1lim_ElL=lim^-=f

S11

2n1+q'n-8s2nn^1+qn|Q)㈤〉】

10<q<l

•limq=l

nb2n

0,|q|>l

21.设数列｛〃〃｝(neN*)中前两项〃I,。2给定，若对于每个正整数〃23,均存在正整数左

(iwzw-1)使得."纥1+*二2++'运,则称数列｛而为“。数列”.

k

(1)若数列｛a"｝(〃eN*)为ai=l,tZ2=-《的等比数列，当时,试问：与『“T_包工

22

是否相等，并说明数列｛3｝("6N*)是否为“。数列”；

(2)讨论首项为的、公差为1的等差数列｛斯｝是否为“。数列”，并说明理由；

(3)已知数列己〃｝为“。数列”，且〃1=0,〃2=1,记S(n,k)=an-\+an-2+---+an-k,

"N2,几EN*),其中正整数kWn-1,对于每个正整数及23,当正整数%分别取1、2、…、

n(1\

〃-1时—-----的最大值记为峪、最小值记为府.设瓦=〃•(M-m),当正整数〃

knn

满足3W〃W2020时，比较为与瓦+i的大小，并求出瓦的最大值.

解：(1)•.•数列｛。〃｝(〃eN*)为m=l,。2=-微■的等比数列，・•・〃〃=(-/)〃I

由于当G3时，均有&l+an-2=(蒋产2+(蒋尸=；.(_4)心=(_春)，

2--------g--------422

]=Qn,

...”“与盟止皿相等.

2

:对每个正整数〃23,均存在正整数上=2且1W2W〃-1,使得a.=上之2N,