2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年江苏省常州市深阳市高二（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.设xeR,则“2*>4”是“X2+2X-3>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.等差数列｛飙｝的前〃项和为S”，若0=12,S5=90,则等差数列｛”“｝公差为（）

A.2B.—C.3D.4

2

3.若对于任意的放[0,2],不等式f-2x+a>0恒成立，则。的取值范围为（）

A.（-8,1）B.（1,+8）C.（0,+8）D.[1,+8）

4.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不

是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载

填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确

规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所

示，其中m,政，…，如表示这些半音的频率，它们满足

（2•）12=26=1,2,…，12）.若某一半音与C#的频率之比为我，则该半音为

a

5.已知在正方体ABC。-ABiCQi中，M,N分别为A。，AC上的点，且满足AQ=3MO,

AN=2NC,则异面直线MN与Ci。所成角的余弦值为（）

5

A.B.返C.D.返

5534

6.航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心

正好是椭圆的一个焦点H.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上

离地球表面最远的点）与地球表面的距离为二厂，近地点8与地球表面的距离为《厂，则地

48

球同步转移轨道的离心率为（）

22

7.设0为坐标原点，直线x=“与双曲线C：号-31（a>0,b>0）的两条渐近线分别

交于D,E两点，若△OQE的面积为8,则工建的最小值为（）

ab

A•第B.V2C.平D.272

8.如图，已知直三棱柱ABC-AiBiG中，P是底面ASC内一动点，直线PA和底面ABC

所成角是定值，则满足条件的点尸的轨迹是（)

A.直线的一部分B.圆的一部分

C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分

二、选择题（共4小题）.

9.下列结论正确的是（）

A.若Q>b>0,则

ab

B.若mb>0,4b+a=ab,则a+b的最小值为10

C.函数f（x）=一Z~+x的最小值是3

x-1

D.若a+b+c=0,则。>」一

a-cb-c

10.如图，正方体4。。。-4囱。］2的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）

A.直线BC与平面A3G。所成的角等于二

4

B.点。到面A3G2的距离为返

2

1T

C.两条异面直线DC和5G所成的角为丁

D.二面角C-BG-Q的平面角的余弦值为「巨

3

11.已知曲线c：（）

mn

A.若根>〃>0,则C是焦点在x轴上的椭圆

B.若"?=2〃（n>0）,则C是椭圆，且其离心率为乂员

2

c.若〃?〃vo,则c是双曲线，其渐近线方程为/工=0

mn

D.若/=-2〃，则C是双曲线，其离心率为后喙

12.已知等比数列｛内｝的公比@=总,等差数列｛乩｝的首项仇=公,若制>仇且的>的，则

以下结论正确的有（）

A.。8>〃9B.〃8・〃9<0C.hg>hsD./?io<O

三、填空题（共4小题）・

13.已知点A（1,2,3）,8（0,1,2）,^p=pg,则|至|=.

14.已知双曲线C过点（3,加）且渐近线为y=土爽■x，则双曲线C的标准方程为____

3

15.某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场

馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长

为米.

16.如图，已知直线/：y=x与曲线C：y'°gj_x,设P为曲线c上纵坐标为1的点，过

2

Pi作y轴的平行线交/于。2,过。2作y轴的垂线交曲线C于尸2；再过P2作y轴的平行

线交/于点。3，过。3作y轴的垂线交曲线C于R；……，设点外，巳，鼻，…，匕的

横坐标分别为4],。2，。3，…斯.若。2019=九则。2020=用/表示）.

四、解答题（共6小题）・

17.在①斯+i-斯=-②斯+]=〃“+〃-8,■二金"这三个条件中任选一个，补充下

312

面的问题：设S〃是数列｛斯｝的前〃项和，且q=4,，补充完后.

(1)求｛〃"｝的通项公式；

(2)判断也是否存在最大值(说明理由).

18.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABCQ是边长为4的正方形，SC平面ABC。，E,

F分别为ASSC的中点.

(1)证明：EFLCD.

(2)若必=8,求直线EF与平面ABC。所成角的正弦值.

19.已知数列｛斯｝的前〃项和S,满足&=J=+2(n>2,nGN),且,“=4.

(1)求数列｛斯｝的前〃项和及通项公式如

16

(2)记为=---------,7；为｛与｝的前〃项和，求

anarH-l

20.如图，在四棱锥S-ABC。中，ABCQ为直角梯形，AD//BC,BCLCD,平面SCC平

®ABCD,△SCO是以C£>为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E为线段8S

上一点，BE=XES.

(1)若入=2,证明：SQ〃平面ACE；

(2)若二面角S-AC-E的余弦值为求人的值.

B

21.圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个

焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点

处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览,

其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线G和一

个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于x轴

对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F”用为椭圆G的焦点，同时Fi也为

抛物线G的焦点，其中椭圆的短轴长为2百，在B处放置一个光源，其中一条光线经

过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8.由尸2照射的某些光线经椭圆反射后穿过

小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.

（1）求抛物线C1的方程；

（2）若由B发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点

Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QQ的长;

（3）在（2）的条件下，求线段P。的长.

22.己知椭圆C：¥/^-l（a>b>0）的右焦点尸的坐标为（1,0）,左焦点为F',且

abz

椭圆C上的点与两个焦点F,尸所构成的三角形的面积的最大值为我.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，已知尸，。两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF,。尸的斜率之

和为0,试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请

说明理由.

参考答案

一、选择题(共8小题).

1.设xeR,贝I」“2*>4”是“x，2x-3>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：由2*>4nx>2,

由丁+2%-3>0=(x-1)(x+3)>0,解得：x<-3或x>l,

由x>2,能够推出¥+级-3>0,

故“2”>4”是ux+2x-3>0M的充分条件，

由xV-3或x>l,不能够推出2*>4,

故“2*>4”是“f+M-sxr的不必要条件.

故选：A.

2.等差数列｛&｝的前"项和为S,”若m=12,55=90,则等差数列｛斯｝公差为()

A.2B.—C.3D.4

2

解：—$5=90,

.".5X12+524d=90,

解得d=3.

故选：C.

3.若对于任意的彳曰0,2],不等式，-2x+a>0恒成立，则。的取值范围为()

A.(-8,1)B.(1,+8)C.(0,+8)D.[1,+8)

解：不等式x2-2x+a>0,转化为a>-x2+2x,

设f(x)=-x+2x,x£[0,2],则f(x)=-(x-1)2+l,

当x=l时，f(x)取得最大值为/(x)⑴=1,

所以实数a的取值范围是(1,+8).

故选：B.

4.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不

是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载

填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确

规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所

示，其中0，“2，…，S3表示这些半音的频率，它们满足

（二旦）12=26=1,2,12）.若某一半音与力#的频率之比为相，则该半音为

ai

解：(±±L)12=26=1,2,…，12),

ai

1

li±L=2H,

ai

数列｛斯｝是公比q=2+的等比数列,

1

04=D#,a84_

a4q-D#x(212)4=DSX郎却'

：•%=烟,

Ds

故选：B.

5.已知在正方体ABC。-AiBCQi中，M,N分别为A。，AC上的点，且满足

AN=2NC,则异面直线MN与CB所成角的余弦值为（）

A.B.返C.D.返

5534

解：取线段A。上一点E,使AE=2ED,连接ME、NE,如图所示：

因为A|O=3MD,AN=2NC,

E,MDCNDE1

"以A]DACAD3

所以NE〃CD,ME//AA\,XCD//C\DX,

所以NMNE为异面直线MN与GA所成角,

设正方体的棱长为3a,

91

贝I硒=^D=2a，皿若AAi=a，

00

所以在RtAWE中，MN=7ME2+EN2=Va2+(2a)2：::V5a)

所以cosNMNE=%，^匠

MN5

6.航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心

正好是椭圆的一个焦点Q.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上

离地球表面最远的点）与地球表面的距离为二厂，近地点8与地球表面的距离为《厂，则地

48

球同步转移轨道的离心率为（）

11

C.D.

1719

解：由题意可得：|AF1|=a+c='T+rh^r，

联立解得：“=¥r,c=-Vr

1616

所以椭圆的离心率为—

a19

故选：D.

22

7.设0为坐标原点，直线与双曲线C：号-4-l（a>0,b>0）的两条渐近线分别

交于D,E两点，若△OQE的面积为8,则工展的最小值为（）

ab

A•器B.&C.乎D.2V2

解：双曲线C的渐近线方程为丫=±与，

a

AD（。，b）,£*（〃，-h）,

・••△OOE的面积为8,

:.—・。・2/?=8,即ab=Sf

2

冬叵=丝叵=&,当且仅当工=±即尸&"=4业h

ababab8ab

等号成立，

**•—■的最小值为

ab

故选：B.

8.如图，己知直三棱柱ABC-A避］G中，尸是底面48G内一动点，直线尸A和底面ABC

所成角是定值，则满足条件的点尸的轨迹是（）

A.直线的一部分B.圆的一部分

C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分

解：设点P在平面A3C上的投影为P,

因为直线PA和底面ABC所成角是定值，

所以/P4P'为定值，即tan/PAP为定值，

因为PP为定值，所以AP也为定值，

设AP'=a,所以点P到点A的距离恒为定值m

又因为P为点P在平面ABC的投影，

所以点P到点4的距离恒为“，

由圆的定义可知，点尸的轨迹为圆的一部分.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.下列结论正确的是()

A.若a>b>0,则上<2

ab

B.若。，Z?>0,4b+a=ab,则a+b的最小值为10

C.函数f(x)=一三~+x的最小值是3

x-1

D.若4>b>c,a+6+c=0,则>一〉」一

a-cb-c

解：对于4,由。>b>0,则0V1<2-,故］<2正确，故A正确，

abab

对于B,由a,b>0,4>+a=〃/?=>'+，°=i,a+b=(a+b)(ML)=5+-4?+殳25+4

ababab

=9,故8错误，

对于C,当xVO时，/(x)<0,故C错误，

对于£),由〃>b>c=a-c>0,h-c>0,a-c>b-c,所以---<—--,由〃>b>c,

a-cb-c

a+h+c=O=>c<O所以-。故D正确.

fa-cb-c

故选：AD.

10.如图，正方体AOCO-AiSGn的棱长为1,则下列四个命题正确的是()

Cl

o

IT

A.直线BC与平面ABCQi所成的角等于与

4

B.点C到面A8GQ的距离为返

2

IT

C.两条异面直线。C和8G所成的角为;

D.二面角C-BG-Z)的平面角的余弦值为二区

3

解：如图，取BCi的中点〃，连接C”，易证CHL平面ABC。”

所以NGBC是直线8c与平面ABG口所成的角，为？，故A正确；

点C到平面ABGS的距离为C4的长度，为除，故B正确；

易证BC\//AD\,所以异面直线。《和BJ所成的角为ZADiC或其补角，

TT

因为△ACQ为等边三角形，所以两条异面直线QC和BG所成的角为g,故C错误;

o

连接OH,由BO=Z)G,所以DHLBG,又CHLBG,

所以/CH。为二面角C-8G-£>的平面角，

易求得£>〃=返，又CD=\,CH=叵,

22

由余弦定理可得COSNCH£>=JH*.H3ZCD1=返,故D错误.

2DH-CH3

11.已知曲线C：且1工=1，（）

mn

A.若加>〃>0,则C是焦点在x轴上的椭圆

B.若根=2〃（n>0）,则C是椭圆，且其离心率为返

2

C.若〃m<0,则C是双曲线，其渐近线方程为上工=（）

mn

D.若〃?=-2〃，则C是双曲线，其离心率为J现乎

22

解：曲线C：二上=1，

mn

若相>〃>0,则。是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；

若机=2〃（n>0）,则C是椭圆，且e=£=烽三=返,故8错误;

aV2n2

22

若加〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为三-+2_=O,故C正确；

mn

若加=-2%则。是双曲线，当〃>0,可得双曲线的焦点在y轴上,

可得《=虫警_=愿，当"V0,可得双曲线的焦点在x轴上,

Vn

可得，=^^=亭故。正确•

故选：ACD.

12.己知等比数列｛斯｝的公比q=—，，等差数列｛儿｝的首项6=18,若痣>也且。9>加，则

以下结论正确的有（）

A.。8>。9B.恁加9VoC.bg>bgD./?］（）V0

解：因为等比数列｛斯｝的公比q=-^,所以〃8加9<0,B正确；

设等差数列｛”,｝的公差为"，所以aI（蒋）7〉18+7d,a】（4）8〉18+8d,

显然aiWO,若0>0,则18+7d<0,即d<0,所以匕9-仇=d〈0,"o=18+9d=18+7d+2d

<0,〃8<〃9，

若0<0,则18+8J<0,即dVO,所以与-加=d<0,6o=18+9d=18+8d+dVO,as>

所以A无法确定，C错误，。正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点A(1,2,3),B(0,1,2),族=而，贝IJ|而|=_

解：设P(X,y,z),AP=(x-l,y-2,z-3),而=(-x,1-y,2-z)，且正,

(x-1,y-2,z-3)=(-x,1-y,2-z),

二薪=(4'9,4)'•,•同寿•

故答案为：返.

2_

14.已知双曲线C过点(3,&)且渐近线为y=土返X，

则双曲线C的标准方程为

J213

-y=1-_

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为丫=土返X，

3

22

设双曲线方程为三-_匚=入(入W0),

93

•.•双曲线C过点(3,加),

2八

所求双曲线方程为&--y2=1.

3丫

2八

2

故答案为：A__y=1.

15.某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场

馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长

为320我米.

解：由题意可知,2a=200,26=120,即4=100,6=60,

22

所以椭圆方程为：」—一^—=1，

100003600

(x=100cos8

即椭圆的参数方程为：\,

ly=60sine

所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为：(x=i0°co：e,ee(o,二)，

ly=60sin62

根据对称性可知矩形的长为2x,宽为2y,

TT

所以矩形的面积S=4xy=12000sin2e,当且仅当0时，面积S取到最大值，

4

此时，矩形的周长为4(x+y)=4X(100cos6+60sin9)=4X(lOOX^+ggx^-)=

320加，

故答案为：32072.

16.如图，已知直线/：y=x与曲线"7=10Sd,x,设修为曲线C上纵坐标为1的点，过

2

P作y轴的平行线交/于Q2,过。2作y轴的垂线交曲线C于尸2；再过尸2作y轴的平行

线交/于点。3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于R；……，设点P,尸2,P3，…,尸”的

横坐标分别为41，。2,。3’…斯・若〃2019=九则。2020=2'用£表示).

解：因为P为曲线c：y=log」/上纵坐标为1的点，所以点Q的横坐标

22

由题意可得点Q“+i与点P,,的横坐标相等，点。“+|与点P.+i的纵坐标相等，

因为点。用在直线y=x上，所以它的横纵坐标相等，都是出,

从而得到点P„+i的纵坐标是a,.,

点P,,+i在曲线C：y=l°g尹上，由纵坐标得到它的横坐标为%,

即斯+i=)",

若〃2019=八则"2020=(_^_)t=2

故答案为：2T.

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①4"+1-斯=-《，②。“+1=斯+"-8,=金■这三个条件中任选一个，补充下

3an2

面的问题：设S”是数列｛斯｝的前〃项和，且0=4,,补充完后.

(1)求｛"”｝的通项公式；

(2)判断S”是否存在最大值(说明理由).

解：选①时，(1)由于«„+,--X所以数列｛«』是以4为首项，—J为公差的等

00

差数列，

所以a

n33

(2)由一由0,解得〃W13.

oo

所以S[3或S]2最大，

由于"Q=13X4+^建2x(凸)=26，故最大值为26。

选②时，

(1)an+\=an+n-8,

所以斯+i-斯=〃-8,an-an-\=n-9,•,,,ai-a\=-7,

所有的式子相加得：a_@产包上汕二丈=/皿至，

anal22

整理得a=匚4皿应+4，

n2

(2)当〃216时，数列的前〃项和不存在最大值.

选③时，

(1)二幽=4，数列｛斯｝的首项为4,公比为的等比数列.

an22

所以a『4X(总尸=(得产2.

n

4[1_(_A)]

(2)当〃为奇数时，S=-------------=1-X(1+—)-

n1432n

由于蒋X(I©7)随着“的增大而减小，所以S”的最大值为&=4,

32n

81o

当〃为偶数时，Sn^X(1-)<±<4,

所以S"存在最大值，且最大值为4.

18.如图，在四棱锥S-A8C。中，底面A3CD是边长为4的正方形，平面ABC。，E,

E分别为A8,SC的中点.

(1)证明：EFVCD.

(2)若SO=8,求直线EF与平面ABCQ所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：因为SDJ_平面ABC。，且CDu平面ABC。，所以SDJ_C£>,

取C。中点0,连结E0,F0,

因为点E,尸分别为AB,SC的中点，底面4BCO是正方形，

所以E0〃A。，F0//SD,

所以EOLCD,F01,CD,又E0CF0=0,且E0,FOu平面0E凡

所以C£)_L平面OEF,又EFu平面OEF,

所以EFVCD-,

(2)解：因为SCJ_平面ABCQ,且AQ,COu平面A8CD4,

所以S£>_LAO,SDLCD,

由⑴可知,FO//SD,

所以尸O_LA£),FOYCD,AD,8是平面ABC。中的相交线，

所以尸0,平面ABCQ,

所以NFEO即为直线EF与平面ABCD所成的角，

在Rt△尸E0中，ZFOE=90°,EO=FO,

所以NFEO=45°,

所以直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为返.

p

B

AEB

19.已知数列｛斯｝的前〃项和S,满足后=J=+2(n>2,n€N),且苗=4.

(1)求数列｛斯｝的前〃项和S,及通项公式为

(2)记为=—普一，7；为｛〃“｝的前”项和，求

ananM

解：(1)数列｛电｝的前〃项和5.满足后=式3+2&>2,n£N),

整理得逐-昆［=2(常数)，

所以数列｛&｝是以2为首项，2为公差的等差数列；

所以肉=2+2(n-l)=2r),

所以Sn=4n4

所以an=Sn-S„-i=8/7-4.

当n=\时，0=4,

所以诙=8〃-4.

bn=，a=JT

⑵ann+l(2n-l)(2n+l)T^2n-l_2n+l

所以Tn—6+匕2+63+…+bn-(1^-+^—,+—门1,)=

23352n-l2n+l'

—(1---)=n.

2'2n+l'2n+l

20.如图，在四棱锥S-ABC。中，ABC。为直角梯形，AD//BC,BC±CD,平面SC。，平

ffiABCD,△SCO是以CO为斜边的等腰直角三角形，8c=24。=2c0=4,E为线段BS

上一点，BE=XES.

(1)若入=2,证明：S。〃平面ACE；

（2）若二面角S-AC-E的余弦值为义，求人的值.

O

【解答】（1）证明：：BC_LC£）,平面SC£）J_平面ABC，平面SCOC1平面A8CD=CD,

BCu平面ABCD,

，BC_L平面SCD,

以C为原点，CD,CB所在直线分别为y,z轴，作Cx_L平面4BC£）,建立如图所示的空

间直角坐标系,

则A(0,2,2),8(0,0,4),。(0,2,0),S(1,1,0),

，以=(0,2,2),而=(-1,1,0),

994—►99A

当人=2时，E(3—,—3,—3),”CE=(—3，3—>3—)>

J*~CK-A2y+2z=0

设平面ACE的一个法向量为!=(x,y,z),则抄=°,即'224，

p-CE=0［石x?y+yz=0

令z=-l,则x=y=l,.*.p=(1,1,-1),

p=-1X1+1X1=0,

•*,SD-1-p，

又SDC平面ACE,〃平面ACE.

入

(2)解：由8(0,0,4),S(1,1,0),及前=入育口，E(4

1+X.1+入1+X

.­►_/:14、

“CE-1+入'1+入'1+X'

设平面ACE的一个法向量为7=（X，y，Z）,则门“上=°，即

m*CE=0

'2y+2z=0

,XX4，

44一4

6z=1,贝!jx=1—--,y=~1＞汗=（1-，）-,-1,1）»

同理可得，平面SAC的一个法向量为扇=（1,-1,1）,

设二面角S-4C-E的平面角大小为。，则cos。"，

O

4+1+1

・・|cos<jp口>尸卜l=cos8=—，

%)2+1+1x

解得人=2或彳，

O

当人=2时，7=（-1，-1，1），惹=（1，-1.1）,

此时■^向二面角S-AC-E的内部，［指向二面角S-AC-E的外部，

.•.6与＜JP。＞相等，cos0=cos＜jp,门＞=一：，］=GX历=•

ImHInlV3XV33

当人：=（-5,-1,1）,p=（1,-1,1）,

此时7指向二面角S-AC-E的内部，［指向二面角S-AC-E的外部,

-5+1.+]i不合题

.*.0与〈:，；>相等，COS0=COS<^,二〉=—_"IL

nKnImHInlWW3

意,

综上所述，入=2.

21.圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个

焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点

处出发的光线照射