平面向量的线性运算及基本定理（完整版讲）（原卷版）

10.1平面向量的线性运算及基本定理（精讲）一．向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量．4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．二．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：＋＝＋结合律：(＋)＋＝＋(＋)减法－＝＋(－)数乘|λ|＝|λ|||当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0λ(μ)＝(λμ)(λ＋μ)＝λ＋μλ(＋)＝λ＋λ三．向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ①向量共线定理中规定向量≠，因为如果＝，当＝时，＝λ，λ可以是任意实数；当≠时，b＝λ，λ值不存在．②当向量，同向时，λ>0，当向量，反向时，λ<0.四．平面向量基本定理条件，是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1＋λ2基底若，不共线，把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底五．平面向量的坐标运算1.设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)－＝(x1－x2，y1－y2)λ＝(λx1，λy1)||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)3．平面向量共线的坐标表示（1）设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0（2）已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))（3）已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))考点一平面向量的概念辨析【例11】（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例12】（2023·全国·高三对口高考）下列各命题中正确的命题是．①所有的单位向量都相等；②向量的模是一个正实数；③中，必有：④若均为非零向量，则与一定相等；⑤若与同向，且，则；⑥由于的方向不确定，故不与任何非零向量平行；⑦若，则存在唯一实数，使成立；⑧设是平面内两个已知向量，则对平面内的任意向量，存在唯一实数对x，y，使得，成立；⑨中，D，E，F分别是边的中点，则；【一隅三反】1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）①有向线段三要素是始点、方向、长度；

②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；

④在平行四边形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④考点二平面向量的线性运算及基本定理【例21】（2023秋·广东·高三统考阶段练习）已知的重心为，则向量（

）A． B．C． D．【例22】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在中，点D在边BC所在直线上，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（

）A． B． C． D．2．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，若，则（）A． B． C． D．3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在中，点是的中点，点在上，且，，则.考点三平面向量的共线定理【例31】（2023·全国·高三专题练习）已知，是不共线向量，且，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【例32】（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）已知向量​为平面向量的一组基底，且​，若​三点共线，则实数​应该满足的条件为（

）A．​ B．​C．​ D．​【例33】（2022秋·新疆巴音郭楞·高三八一中学校考阶段练习）已知向量，，，若与共线，则的值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）已知，，，则（

）A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线2．（2023·陕西榆林）在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（

）A．B．C．D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，，平面内三个不共线的向量满足，若点在同一条直线上，则.考点四平面向量的坐标运算【例41】（2023秋·黑龙江牡丹江）（多选）已知向量，则（

）A． B．C．可以作为平面向量的一个基底 D．【例42】（2023春·江西宜春）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角【一隅三反】1．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设，，若，则（

）A．5 B． C．20 D．252．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，且，则实数（

）A．1 B．0 C．1 D．任意实数3