江苏省专转本高等数学第六章级数核心知识点例题讲解(含答案)

第六章级数本章主要知识点级数收敛定义及性质正项级数敛散判别方法一般项级数敛散判别方法幂级数一、级数收敛的定义及性质定义：收敛〔有限〕(+)性质：①必要条件②与收敛，那么收敛③收敛，发散，必发散④发散，发散，不能确定⑤＝⑥收敛，当例6.1．计算解：例6.2．计算〔〕解：所以二、正项级数敛散性判别法1.比值判别法如果例6.3．解：所以由比值判别法知原级数收敛。例6.4．解：收敛例6.5．判别级数的敛散性解：，收敛2.比拟判别法比拟判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。囿级数法：如果0〔对充分大〕成立且收敛，那么收敛；如果，发散，那么发散。极限式：如果〔有限数〕，同敛散；特别地，假设且收敛，那么收敛；假设且发散，那么发散。等价无穷小式：，，p>1，收敛，，发散。例6.6．解：，而收敛，由比拟判别法知收敛。例6.7．解：，而收敛，由比拟判别法知原级数收敛。例6.8．收敛〔〕，证明也收敛。证明：因为收敛，故，所以对充分大的n成立：，因此，收敛，由比拟判别法知收敛。例6.9．正项级数，收敛，证明：收敛。证明：，由上题的结论可知，,收敛，，收敛，由比拟判别法知：收敛。例6.10．解：因为，而发散，由比拟判别法知发散。例6.11．解：因为，，所以原级数发散。例6.12．解：，考虑极限，收敛，所以由比拟判别法知原级数收敛例6.13．解：收敛，故由比拟判别法知，原级数收敛。例6.14．sin解：因为sin收敛，由比拟判别法知收敛。三、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。定义1：绝对收敛收敛。原级数绝对收敛必收敛。定义2：条件收敛发散，而收敛研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，假设绝对发散那么研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数〔〕。交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数假设〔1〕，即级数是交错的，〔2〕单调下降，〔3〕那么收敛。例6.15．解：先考虑级数因为而收敛，所以收敛即原级数绝对收敛。例6.16．解：对于，因为，所以发散，原级数绝对发散。而是交错级数，单调下降，且由莱伯尼判别法知，原级数是条件收敛。例6.17．研究级数敛散性解：〔〕=1，与同敛散，故当时，原级数绝对收敛；当时，原级数绝对发散；当时，不存在，所以原级数发散；当时，为交错级数，且单调下降，且，故由莱伯尼兹判别法知，原级数条件收敛。四、幂级数1．收敛半径和收敛区间称为幂级数，对于幂级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。收敛半径R：R=收敛区间:；对于和端点处特别考虑。例6.18．求的收敛半径和收敛区间解：，当时，原级数=收敛；当时，原级数=收敛；所以，收敛区间为。例6.19．求的收敛半径和收敛区间。解：令，原级数，，。对于，原级数收敛；当时，，原级数发散，故收敛区间为。2．函数展开为幂级数几个常用的幂级数形式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例6.20．展开为的幂级数。2〕展开为的幂级数。解：1〕2〕例6.21．展开为的幂级数。解：。例6.22．展开为x的幂级数解：例6.23．求的幂级数展开式解：在区间上，两边积分，利用幂级数逐项可积性得，。例6.24．求和函数。解：设，利用幂级数逐项可积性得，求导得：。例6.25．求的和函数。解：令，，所以。单元练习题61．是级数收敛〔〕A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件2．正项级数收敛的()是前n项局部和数列有界A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．无关条件3．以下级数中收敛的是()A．B．C．D．4．以下级数中条件收敛的是()A．B．C．D．5．以下级数中绝对收敛的是()A．B．C．D．6．以下级数发散的是()A．B．C．D．7．幂级数的收敛域是〔〕A．B．C．D．8．级数，当时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛；当时，级数发散。9．幂级数的和函数，=，。10．判别以下级数的收敛性〔1〕〔2〕，〔〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕11．求以下幂级数的收敛半径和收敛域：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕12．将展开为的幂级数。13．将展开为的幂级数。14．将函数〔1〕展开为的幂级数，〔2〕展开为的幂级数。15．求的和函数。历年真考题1．〔2003〕以下正确的选项是〔〕A.收敛B.收敛C.绝对收敛D.收敛2．〔2003〕将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间〔不考虑区间端点〕。3．〔2004〕幂级数的收敛区间为__________。4．〔2004〕把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间。5．〔2005〕设有正项级数〔1〕与〔2〕，那么以下说法中正确的选项是〔〕A．假设〔1〕发散那么〔2〕必发散。B.假设〔2〕收敛，那么〔1〕必收敛。C.假设〔1〕发散，那么〔2〕可能发散也可能收敛。D.〔1〕，〔2〕敛散性一致。6．〔2005〕幂级数的收敛域为_____________.7．〔2005〕将函数展开为x的幂级数，并指出收敛区间。.章节测试题1．级数的敛散性：当时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛；当时，级数发散。2．，展开为的幂级数为。3．以下级数条件收敛的是〔〕A．B．C．D．4．以下级数发散的是〔〕A．B．C．D．5.()展开为的幂函数是〔〕A．B．C．D．6．的收敛半径〔〕A.1B．3C．D．7．在的和函数=〔〕A．B．C．D．8.幂函数的收敛半径是〔〕A．2B．C．D．39．以下级数中条件收敛的是〔〕A．B．C．D．10．判断的敛散性。11．求幂级数的收敛半径和收敛区间。12．设，讨论为何值时，级数收敛。13．展开为的幂级数，并求出收敛范围。14．讨论在,和三种条件下的敛散性。单元练习题6答案1．Ａ2．Ｃ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ7．Ｄ8．9．10．〔１〕绝对收敛。因为，而收敛。〔２〕当时，发散；当时，收敛。〔３〕，而收敛，故原级数绝对收敛。〔４〕发散。因为收敛，发散。〔５〕收敛。，所以，而收敛，所以原级数收敛。〔６〕，所以原级数收敛。〔７〕，所以原级数收敛。〔８〕，而收敛，所以原级数收敛〔９〕发散，而为交错级数，且单调下降趋于零，故条件收敛。〔10〕而，故绝对发散。而为交错级数。且单调下降趋于0。故条件收敛。11．〔1〕解：，当时，收敛；当时，收敛，收敛区间为〔2〕令收敛区间为〔3〕令，原级数当，原级数=，条件收敛收敛区间为〔４〕令，原级数，。当发散；当，收敛，故的收敛区间为，相应的的收敛区间为。12．解：令，，积分得，13．解：，。14．〔1〕解：，。(2)解：，。15．。本章测试答案1.；；2.3．Ａ4.Ｂ5.Ｃ6.Ｃ7.Ａ