2020-2021学年新余市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年新余市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24,

现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3,则抽取最大编号为（）

A.15B.18C.21D.24

2.如图执行的程序的功能是（）INPUTm,n

DO

A.求两个正整数的最大公约数

r=mMODn

B.求两个正整数的最大值m=n

n=r

C.求两个正整数的最小值LOOPNUTILr=0

PRINTm

D.求圆周率的不足近似值END

3.某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙

三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三个中至少有一人达

标的概率为（）

A.0.015B,0.005C.0.985D.0.995

4.在叵］中，0,则此三角形解的情况是（）

A.一解B.两解C.一解或两解D.无解

5.设m=10,n=20,则可以实现m、zi的值互换的程序是（

A.m=10n=20n—mm=n

B.m=10n=20s=mn=s

C.m=10n=20s=mm=nn=s

D.m=10n=20s=mt=nn=sm=n

6.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，•>J

其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，

以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五

.

个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（）•::J_*<'

A.卷B.方C,D.2

7.已知随机变量X的分布列为尸（X=i）=：-（i=L2,3）,则尸（尤=2）=（）

8.在A/BC中，Q,b,c分别是角4B,C的对边，以下四个结论中，错误的一个是（）

A.若Q>b>c,则sinA>sinB>sinC

B.若A>B>C,则sinA>sinB>sinC

C.acosB+bcosA=c

D.若。2+/>。2,则△ABC是锐角三角形

9.将长为1的小捧随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（）

7B.1C.iD.1

10.一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭有一个是女孩，则此时另

一个小孩是男孩得概率为（）

A.B.之C.[D.&

11.宿州市某登山爱好者为了解山高y（百米）与气温双久）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的

气温，并制作了对照表，由表中数据，得到线性回归方程为y=-2x+a,由此估计山高为72（百

米）处的气温为（）

气温x(°C)181310-1

山高y（百米）24343864

A.-10B.-8C.-6D.-4

12.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,

则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）

A.0.42B.0.28C.0.18D.0.12

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.一个容量为40的样本，分成若干组，在它的频率分布直方图中，某一组相应的小长方形的面积

为0.4,则该组的频数是.

14.关于某设备的使用年限寓与所支出的维修费用般（万元）有如下统计资料，若由资料知/对富呈

16.(12)如图，在矩形可8中，AB=2,AD=\,。为工8中点，抛

物线的一部分在矩形内，点。为抛物线顶点，点C,D在抛物线上,

在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

n2n

17.已知(2x-l)=a0+axx+a2x4--卜anx(nGN+,n为常数).

(I)求劭++a2+—Qn；

(n)我们知道二项式(1+x)71的展开式(1+x)n=eg+C\x+C^X2+•••+C^xn,若

等式两边同时对x求导便得n(l+x)"T=&+2金x+3c"2+…+nC""T,

令久=1得&+2箴+3"+…+nd=n•2n-r.

利用此方法解答下列问题：

(J)求1即+2a2+3a3+…+nan；

22

②求12al+22a2+3a3■1---1-nan.

18.△ABC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,角4、B、C成等差数列

(1)求&

(11)若6=2,求△4BC面积的最大值.

19.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流

量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量"单位：M)的数据，其频率

分布直方图如图.

流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠

加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会

被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所

需月费用.若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？

(I)求a的值；

(H)从该企业的100位员工中随机抽取1人,求手机月平均使用流量不超过900M的概率；(/〃)据了解,

某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下:

套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)

A20700

B301000

20.己知函数/(%)=gs出4s讥％+cos2%(%£R),其中4、B、C是△48C的三个内角，且满足cos(4+

£)=_乌46

“1042

(1)求sinA的值；

(2)若/⑻=|,且"=5,求8C的值.

21.某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在［45,75)的为优质品,

从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：

分组[25,35)[35,45)[4,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95)

甲厂频数1040115165120455

乙厂频数56011016090705

(1)根据以上统计数据完成下面2x2列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的

产品的质量有差异”？

(2)求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数x(同一组数据用该区间的中点

值作代表)

(3)经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s2=142,乙分厂的500件差评质量指标

值的样本方差s2=162,可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X服从正态分布N302),

其中4近似为样本平均数X，/近似为样本方差s2,由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为

该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%?

附注:

参考数据：V140«11.92.V162«12.73

参考公式：H=…黑黑

PQt—2。V%V4+2a)=0.9544,PQi—3。Vx<4+3a)=0.9974.

P(k2>k)0.050.010.001

h3.8416.63510.828

22.甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取

6个零件进行检验.

(1)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙

车床加工的零件；

(2)从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X,求X的分布列和期望.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：24个班分为4组，抽取间隔为24+4=6.

设抽到的最大编号为》,根据最小编号的和为3,

可得：x—3=(4—1)x6,

解得：%=21,

故选：C

求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最大编号为X,根据最小编号的和为3,求x即可.

本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键.

2.答案：4

解析：解：由算法程序可知，用辗转相除法求小，n两数的最大公约数，

输出的数为m、n的最大公约数.

故选：A.

由算法程序可知，用辗转相除法求m,n两数的最大公约数，由此可得答案.

本题考查了直到型循环结构的程序框图，考查了算法案例辗转相除法求皿，n两数的最大公约数，读

懂程序语言是关键.

3.答案：D

解析：解：三人都不达标的概率是：

(1-0.9)x(1-0.8)x(1-0.75)=0.005,

所以三人中至少有一人达标的概率是：

1-0.005=0.995.

故选：D.

利用相互独立事件的概率乘法公式，求出三人都不达标的概率，再用对立事件的概率得出所求.

本题考查了相互独立事件概率的乘法公式应用问题，解题的关键是把问题转化为对立事件求概率，

是基础题.

4.答案：B

解析:试题分析：由正弦定理叵］，得回，因为叵］，所以此三角形有两角(或者由叵］，即国，

可知此三角形有两角).

考点：1.正弦定理；2.三角形的解.

5.答案：C

解析：解：对于C：此程序运行的结果是：m,n的值分别为：20,10,

能够实现瓶、几的值互换，

其它选项均不能实现加、n的值互换.

故选：C.

分析各选项中程序中各变量、各语句的作用，得出C选项中程序的作用是实现m、ri的值互换.

本题主要考查了根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果的应用问题，是基础题.

6.答案：C

解析：解：阴数为：2,4,6,8,阳数为：1,3,5,7,9,

各选一个数，其和能被5整除的分别为：2,3；4,1；6,9；8,7.

所以能被5整除的概率P=2=：，

4x55

故选：C.

列举出阴数和阳数，利用列举法求出各选一个数，其和能被5整除的所有情况，由此能求出从四个阴

数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.答案：C

解析：

本小题主要考查随机变量分布列的性质的应用，解决本小题的关键是首先根据随机变量分布列的性

质求出a.

解：因为随机变量就•的分布列为,冤翳=噌=—,/=nn言，

竺士^==.=曰=.1

故选C.

8.答案：D

解析：

本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题.

由于a>b>c,结合正弦定理号=-4=$=2R,可判断4由4>8>C,由大边对大角定理

sinAsinBstnC

可知，可判断a>b>c,然后由正弦定理三=々=三=2R,可判断B；根据正弦定理对acosB+

bCOSA进行化简即可判断C对于0,由a2+b2>c2结合余弦定理定理可得：3%>。,然

后结合ce(0,7T),可判断C的范围，进而可判断；

解：对于4由于a>b>c,由正弦定理"二=一々=一。=2R,可得：sinA>sinB>sinC,故A

sm4sinBstnC

正确；

对于B,A>B>Cj由大边对大角定理可知，则a>b>c,由正弦定理J：==2R,可

sinAsinBsinC

得：sinA>sinB>sinC,故8正确；

对于C,根据正弦定理可得：acosB+bcosA=2R(sinAcosB+sinBcosA)=2Rsin(B+4)=

2Rsin(n—C)=2RsinC=c.故C正确；

对于D,a2+b2>c2,由余弦定理可得：必上=/+丁>0,由(76(0,〃)，可得C是锐角，故A

2ab

或8可能为钝角，故错误；

故选D

9.答案：C

解析：解：设三段长分别为x,y,1-x-y,

0<x<1

则总样本空间为0<y<1,

,x+y<1

其面积为：，

%4-y>1—x—y

能构成三角形的事件的空间为卜+1-％-y>y,

y+1—x—y>x

其面积为3

则所求概率为1=;

2

故选C.

先设木棒其中两段的长度分别为X、y.分别表示出木棒随机地折成3段的x,y的约束条件和3段构成

三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率.

本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比

例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

10.答案:A

解析：解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：｛男，男｝,｛男，女｝,｛女，男｝,｛女，女｝.

记事件4为“其中一个是女孩”，事件B为“其中一个是男孩”，

则4={(男，女)，(女，男)，(女，女)}，

B={(男，女)，(女，男)，(男，男)},

4B={(男，女)，(女，男)}.

于是可知PPQ4)=：,P(AB)=；.

问题是求在事件4发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A),由条件概率公式，得

2

-

4

PB4)3

一4

故选：A.

记事件z为“其中一个是女孩”，事件B为“其中一个是男孩”，分别求出4、B的结果个数，问题是

求在事件4发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|4),由条件概率公式求解即可

本题主要考查条件概率的计算公式：P(B|4)=弁，等可能事件的概率的求解公式：尸(“)=?(其

中n为试验的所有结果，m为基本事件的结果)

11.答案：C

解析：解：根据表中数据，计算元=[x(18+13+10—l)=10,

歹=[x(24+34+38+64)=40,

代入线性回归方程y=—2%+a中，求得a=40+2x10=60；

.,.线性回归方程为y=-2x+60；

当y=72时，x=(72-60)+(-2)=-6,

由此估计山高为72(百米)处的气温为-6。。.

故选：C.

根据表中数据计算求歹，代入线性回归方程中求得a的值，写出线性回归方程，计算y=72时》的值.

本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题.

12.答案：D

解析：解：•••甲、乙同时参加某次法语考试，

甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立，

.•・甲、乙两人都未达到优秀的概率为：

p=(l-0.6)(l-0.7)=0.12.

故选：D.

利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式直接求解.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

13.答案：16

解析：解：•.・小长方形的面积为0.4,

••.这一组的频率为0.4,

二该组的频数为40x0.4=16.

故答案为：16.

根据频率=小矩形的面积得这一组的频率，再根据频数=样本容量X频率计算.

本题考查频率分布直方图的知识，在频率分布直方图中频率=775与=小矩形的面积.

14.答案：-

解析：试题分析：由表中数据可知潟=-------------=&岁=--------------=煦，,••线性回归方

___工褪

程恒过点（或金），.,煦=至鲁二，.•・愚=二

考点：本题主要考查了回归直线方程的性质。

点评：线性回归直线方程恒过点（看金）是常考知识点。

15.答案：4

解析：解：nr（）rn2r

Tr+1=-x--i=C；-x-.

••・展开式中的第3项为常数项，

n—4=0,得n=4.

故答案为:4.

写出二项展开式的通项，结合已知可得r=2时，%的指数为0,则答案可求.

本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.

16.答案：|

以AB的中点为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线方程为

好浸,因为C(1,1),所以a=l,所以阴影部分的面积为G乜=聂北=：,

解析：133

2

又因为矩形的面积为2,则落在阴影部分的概率为37=上1

23

nn

17.答案:解:(I)对于二项式(2%-l)=%+%，++…+anx(九£N+,n为常数),

n

令％=1,得％)+%+心---Fan=(2—l)=1；

n2

(与①对。、-l)=a。+arx+a2x4-----F即非两边同时求导，

n-1n_1

得2n(23—l)=4+2a2%4-----卜nanx(n6N+,n为常数),

n-1

令％=1,得2九(2—l)=1%+2a2+…+nan=2n；

n-1n

②将2几(2%—l)=%+2a2%H----F?mn%T两边乘以工得

n-12n

2n(2x—l)=arx+2a2x4-----卜nanx,两边求导得

n271122n-1

2n[(2(n-1)(2%—l)~x+(2x—I)-]=arx+2a2xH-----Fnanx(nEN+,?i为常数)，

2222

令％=1,得2TI[2(71—1)+1]=lar+2a2+…+nan=4n—2n.

解析：(I)对于二项式以及展开式，令％=1求得劭+%+&+…+即的值；

(II)①对二项式及展开式两边同时求导，令％=1求得1%+2a2+…+几Qn的值；

n-12

②将2n(2x-l)=Qi+2a2xd----FTIM/T两边乘以x,再两边求导，令x=1求得12al+2a2+

…+九20n的值.

本题考查了二项式及其展开式的应用问题，也考查了赋值法求二项式系数和的应用问题，是难题.

18.答案：解：(1)・・・角4、B、C成等差数列

・・.28=4+C…(2分)

•・•/+8+C=7T

分)

(口)由余弦定理得4=a2+c2-2Q"osg…(7分)

va2+c2>2ac,

/.ac<4,当且仅当a=c=2时，等号成立…(10分)

••・△4BC面积S=|acsinB<V3

即448c面积的最大值为次…(13分)

解析：(I)利用角4、B、C成等差数列，及三角形内角和为兀即可求得8的值；

(0)由(1)知8=或b=2,利用余弦定理与基本不等式可得a—4,从而可求△ABC的面积S=

aCICS讥B的最大值.

本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查基本不等式及等差数列的性质，属于中档题.

19.答案:解：⑴由题意(0.0002+0.0008+a+0,0025+0.0035+0.0008)x100=1

解得：a=0.0022

(口)100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为1一(0.0002+0.0008)x100=0.9

(ID)若该企业选择4套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，每月

使用流量的平均费用为20x(0.08+0.22)+30X(0.25+0.35)+40x(0.08+0.02)=28

若该企业选择8套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用

为30x(0.08+0.22+0.25+0.35+0.08)+40x0.02=30.2

所以该企业订购4套餐更经济.

解析：频率分布直方图概率，根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答.

本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属

于基础题.

20.答案：解：⑴•••46(%)

即：

cos(1i4+-4y)=——10.

利用同角三角恒等式解得：sin(A+力=当，

・•・sinA=sin[(i4+-)--]=sin(4+-)cos--cos(A+-)sin-

(2)/(%)=2sinx+cos2x=2sinx+1-2sin2x=—2(sinx—1)2+1,

3

・•・si.nBc=1

2

解得：8=?或?(舍去)，

oo

进一步利用正弦定理得：生7=三.

・••BC=8.

解析：(1)直接利用三角函数的恒等变换求出同角的三角函数的值，进一步利用角的恒等变换求三角

函数的值.

(2)首先对关系式进行恒等变形进一步利用已知条件求出角B的大小，再利用正弦定理求出结果.

本题考查的知识要点：利用三角关系的恒等式求三角函数的值，利用角的恒等变换求三角函数的值,

三角函数的最值和正弦定理得应用.属于基础题型.

21.答案：解：(1)由以上统计数据填写2x2列联表，如下;

甲厂乙厂合计

优质品400360760

非优质品100140240

合计5005001000

1000x(400xl40-360xl00)2

计算代=x8.772>6,635,

760x240x500x500

对照临界