2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题）.

1.已知集合加={1,2,3},N={2,3},则()

A.M=NB.MAN=0C.MQND.NQM

2.设全集为K,函数f（x）=:l-x2的定义域为跖则CRM为（)

A.[-1,1]B.(-1,1)

C.(-00,-1)U(1,+oo)D.(-8,-1]U[1,+00)

已知则％是“工的（

3.aGR,>1”<1”）条件

a

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

函数y=tan（2x+-^-）的最小正周期为

4.()

4

A.—C.71D.2兀

4

06

5.设〃=logo.50.6,/?=log0.61.2,c=1.2,则”，b,c的大小关系为（)

A.a<b<cB.b<a<.cC.b<c<aD.c<b<a

TT

6.要得到函数y=sin（2x+——）的图象，需要把函数y=sin2x的图象（)

6

A.向左平移---个单位B.向右平移单位

6

C.向左平移单位D.向右平移单位

7.函数/(x)=x+x3,g(x)=x+3*,h(x)=x+log3X的零点分别是a,b,c,则它们的大

小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

8.新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度

最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/。）

=『描述累计感染病例数/（力随时间，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率尽0.38,

据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为

)(加10幺30)

A.4天B.6天C.8天D.10天

二、多项选择题（共4小题）.

9.下列各组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的有（）

A.f(x)=x,g(x)=elnx

X-l,

B.f(x)=\x-1|,g(%)=

1-X,x<1

C./(x)=x,g(x)=Vx^

2

D.f(x)=x,g(x)=A_

X

10.下列命题为真命题的是()

A.若a>b>0,贝Uac2>bc1

B.若aV6<0,则上>工

ab

C.若4<b<o,则，

D.若c>a>b>0,则一^—〉一^-

c-ac-b

Y+Yf(X)+f(X)

11.下列函数中满足：对定义域中任意Xl,X2,都有f(—上)<--L———?—的有

()

A.f(尤)=2"B.f(x)=lgxC.f(x)=xD.f(x)=尤

12.一般地，对任意角a,在平面直角坐标系中，设a的终边上异于原点的任意一点尸的坐

标为（尤，y）,它与原点的距离是r.我们规定：比值三，—,三分别叫做角a的余切、

yyx

余割、正割，分别记作cota,csca,seca,把〉=（：0氏，y=cscx,y=secx分别叫做余切函

数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有()

5

A.coty兀=1

4

B.sina*seca=l

C.y=secx的定义域为(xk€Z)

2.222

D.seca+sina+csca+cosa>5

三、填空题（共4小题）.

13.命题x+lKF的否定为

2

14.求值：2/g5+/g4+可=

8

15.已知a是第三象限角，且cos（a-，J^~—）=^-时，则tana=

25

sin(兀-a)cos(冗+a)

,JT、=_______.

COS(a

16.若函数fG)为定义在R上的偶函数，且在(0,+00)内是增函数，又/(2)=0,则

不等式siiix^(x)＞0,]£[-兀，兀]的解集为.

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步歌.

17.从①A=小门。§Jx+l))-2},②A=&法《总广＜2},③A={X|寻＜0}三个

条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.

问题：已知集合,集合5={x|-〃-1£区2〃+1}.

(1)当a=l时，求ACI5；

(2)若AUB=3,求实数〃的取值范围.

已知函数f(x)=，"sin(2x"^")+a+l(其中〃为常数)・

18.

(1)求/(x)的单调减区间;

(2)若xE[0,时，/(X)的最小值为2,求〃的值.

19.已知关于x的不等式¥+蛆-12Vo的解集为(-6,n).

(1)求实数m,n的值；

(2)正实数〃，b满足na+2mb=2.

①求工△的最小值；

ab

②若20+16、仑0恒成立，求实数f的取值范围.

20.已知函数£6)=1。84(4'+1).

(1)利用函数的单调性定义证明：f(x)在R上为单调增函数；

(2)设g(x)=f(x)-^x,判断g(x)的奇偶性，并加以证明.

21.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心。距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转

动1圈，当水轮上点尸从水中浮现时(图中点打)开始计算时间.

(1)将点尸距离水面的距离z(单位：米，在水面以下，则Z为负数)表示为时间/(单

位：秒)的函数；

(2)在水轮转动1圈内，有多长时间点尸位于水面上方？

22.已知函数/(%)=2-g(x)=f(%)+于(|x|).

(1)解不等式：f(2x)-f(x+1)>3:

(2)当工£[-1,寺时，求函数g

(x)的值域；

(3)若\/处£(0,+co),3X2^[--1,0],使得g(2xi)+ag(%i)+2g(>2)>0成立,

求实数a的取值范围.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.已知集合〃={1,2,3},N={2,3},则()

A.M=NB.MAN=0C.MEND.NQM

解：因为集合加={1,2,3},N={2,3},

根据子集的定义可知，NJM.

故选：D.

2.设全集为R,函数f(x)=,l-x2的定义域为M,则CRM为()

A.[-1,1]B.(-1,1)

C.(-00,-1)U(1,+oo)D.(-00,-1]U[1,+00)

解：由l-x2*,得-1W烂1,即1],又全集为&

所以CRM=(-00,-1)U(1,+oo).

故选：C.

已知aGR,则是“[的（

3.“a>l”■<1”）条件

a

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

解：因为工<1,即空工>0,解得a<0或a>l,

aa

故“a>l”是“工VI”的充分不必要条件.

a

故选：A.

4.函数y=tan（2x+-^-）的最小正周期为（）

4

A.—B.—C.D.2兀

42

解：由正切函数的周期公式得：

故选：B.

5.设Q=logo.50.6,/?=logo,61.2,C=1.2°6,则〃，b,c的大小关系为（)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

06

解:0<a=logo.50.6<logo,50.5=1,Z?=log0,61.2<0,C=1.2>1,

则〃，b,c的大小关系为bVaVc.

故选：B.

6.要得到函数y=sin(2x+——)的图象，需要把函数y=sin2x的图象()

6

A.向左平移--个单位B.向右平移---外单位

66

C.向左平移-J.个单位D.向右平移1万个单位

兀兀

解：要得到函数y=sin(2x+----)=sin2(x+-----)的图象，需要把函数y=sin2x的图象

612

向左平移■个单位，

故选：C.

7.函数/(九)=x+x3,g(x)=x+3%,h(x)=x+log3X的零点分别是〃，b,c,则它们的大

小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

解：因为函数/(x)=x+x,g(x)=x+3",h(x)=x+log3%的零点分别是a,b,c,

所以y=-x与y=d,y=3x,y=log3X的交点横坐标分别是〃，b,c,

作出四个函数图象如下图：

由图可知b<a=O<c,

故选：C.

8.新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度

最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/Q)

=『描述累计感染病例数/。)随时间，(单位：天)的变化规律，其中指数增长率40.38,

据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为

）（加10N30）

A.4天B.6天C.8天D.10天

解：设所需时间为4,则er(t+tJ=io0rt,

即e0.38t.=10,所以0.38介=防10=2.30,

解得g6,

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.下列各组函数中，f(x)与g(x)是同一函数的有()

A.f(x)=x,g(x)=enx

(X-l,

B.f(x)=\x-1|,g(x)=<

[1-x,x<.1

C./(x)=?,g(x)=V^

2

D.f(x)=x,g(x)=A_

x

解：A.f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(0,+oo),两个函数的定义域不相同，

不是同一■函数，

x-]X]

B.f(x)=「''),两个函数的定义域都是R,是同一函数，

1-x,X<.1

C.g(无)=f,两个函数的定义域都是R,是同一函数，

D.g(x)=x,(xr0),f(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一

数.

故选：BC.

10.下列命题为真命题的是()

A.若a>b>0,则ac1>bc1

B.若aV6<0,则工〉工

ab

C.若“VbVO,则42V次7VA2

D.若c>a>b>0,则一^―〉一^-

c-ac-b

解：对于A,当c=0时，命题不真，所以A错;

对于8,〃VZ?VO=>〃Z?>00软<」•=>[■>[■,所以3对；

ababbaab

对于C,a<b<U=aa<ab,ab<bb,uaa<ab<bb=>c^VabVli1,所以。对；

对于£),当c>4>Z?>0时，——>—^一㈡i(c-/?)>b(c-a)=

c-ac-b

ac-ab>bc-ab^ac>bc^a>b,所以。对.

故选：BCD.

x+xf(X)+f(X)

11.下列函数中满足：对定义域中任意Xl,X2,都有-----L_——'的有

()

A.f(无)=2AB.f(无)=lgxC.f(x)=xD.f(x)=尤

解：•.•对定义域中任意制，X2,都有f(“I；—)<f履1)；lx?),

.V(x)是凹函数，且/(x)=2'和/(x)=/都是凹函数.

故选：AC.

12.一般地，对任意角明在平面直角坐标系中，设a的终边上异于原点的任意一点尸的坐

标为（％,y）,它与原点的距离是几我们规定：比值三，—,三分别叫做角a的余切、

yyx

余割、正割，分别记作cota,csca,seca,把〉=3b，y=cscx,y=secx分别叫做余切函

数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（）

5

A.coty兀=1

4

B.sina*seca=l

TT

C.y=secx的定义域为(x-H^-,k€Z)

D.sec2a+sin2a+csc2a+cos2a>5

5兀二1

解：对于A：cot4函"T,故A正确；

tarr-:-

4

对于5：sina,saca=sina*—L=tana,故5错误；

cosa

1TT

对于C:y=secx=----,故函数的定义域为0|x卉k兀七二丁，k€Z）,故C正确;

对于£）:利用三角函数和对勾函数的性质,

2.2221212r

seca+sina+csca+cosa+sina++cosa

22

cosnasina

1+----5o=----9+1>5(当且仅当sin2a=D,等号成立；故。正确;

sina-cosasin2a

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.命题x+GO”的否定为x+lVO.

解：•「特称命题”的否定一定是“全称命题”，

・•・命题叼X£R,x+以)”的否定是：

Vx^R,x+l<0.

故答案为Vx£R,x+l<0.

2

14.求值：2/g5+/g4+6.

8

2

解：2/g5+/g4+.=/g6x?4)+4=6.

8

故答案为：6.

15.已知a是第三象限角，且cos(a一上二)三•时,贝ijtana=_—

254

sin(K-Q)cos(K+Q)

---------------元--------=-A.

cos(CI5-

解：因为a是第三象限角，且cos(a-2三)=-|"=-sina,

25

3

所以sina=-c0sa=--,/1-sin2Cl=-p

5

sina_3

贝4tana=

cosa4

sin(兀-a)cos(兀+a)

_sina(-cosJ)4

~兀、=cosa

cos(CL-sina5

故答案为：鼻，.

45

16.若函数/(无)为定义在R上的偶函数，且在(0,+00)内是增函数，又/(2)=0,则

不等式sinx*f(x)>0,[-7i,兀)的解集为(2,兀)U(-2,0)

解：函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(0,+oo)内是增函数，又/(2)=0,

・"(％)在(-8,0)上是减函数，且/(-2)=0,

则/(x)对应的图象如图：f(0)不确定，

当％=0时，不等式situ:*/*(x)>0不成立，

则当身时，不等式siorf(x)>0等价为当无£[-兀，兀]时,

sinx>0、卜inx〈O

f(x)>0^|f(x)<0,

fO<x<Hf-H<x<0

即jx>2或x<-2或j-2<x<0或0<x<2'

即2VXVTI或-2〈尤VO,

即不等式的解集为(2,TT)U(-2,0),

故答案为：(2,7t)U(-2,0).

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步歌.

X

17.从①A={xl1呷_。+1)>-2},®A={X|±<(1.)<2},③A={x|号《0}三个

282x+J.

条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.

问题：已知集合,集合8={x|-a-1W烂2a+l}.

(1)当a=l时，求ACIB;

(2)若AU2=8,求实数a的取值范围.

解：若选①：

因为A={x|logj(x+l)>-2)

~2，

所以10sL(x+l)3-2,

2

所以log](x+l)》logI(衣)2

~2~2

故0<无+上4,解得-1<烂3,

故4={x|-l<x<3};

若选②：

因为A={x|■|■<^)<2},

所以e)34g)x〈g)T,

所以-IV止3,

故A=[x\-IV烂3};

若选③:

因为A*式《。｝,

((x-3)(x+l)40

所以lx+17t0

解得-1〈忘3,

故A—[x\-l<x<3}；

(1)当a=l时，B=[x\-2<x<3},由A={尤|-1<烂3},所以An_B={x|-1<立3};

(2)因为AU8=8,所以AU8,

故毋0,

，-a_］<一］

所以，2a+l>3,解得生1,

,-a-l42a+l

故实数。的取值范围为［1,+oo).

18.已知函数f(x)=，_sin(2x+_f)+a+l(其中。为常数).

(1)求/(x)的单调减区间；

(2)若x£［0,时，/(x)的最小值为2,求a的值.

解：(1)由题意，令2k可2k兀吗^,

吟，k冗号］，左ez-

解得k兀+'xMk兀—,即/(x)的单调减区间为［k兀

⑵x€［0,李，则2xqe《，吟］,

2666

片「兀兀1L34「兀7兀rL*r•兀1.7兀1.兀

y=sinx在［丁，丁］上增，在卜丁，—上减，又sin-TUk，sin-^=f，sm-丁

bNNbb/b/N

=1,

eH'1L■-sin(2x-^^~)+a+1e~|"+力

又若x€［o,—1st,f(x)的最小值为2,可得Ma=2,解得a=9.

244

19.已知关于x的不等式/+蛆-12Vo的解集为(-6,几).

(1)求实数m,n的值;

(2)正实数。，/?满足九〃+2〃t/?=2.

①求上的最小值；

ab

②若2°+16"-仑0恒成立，求实数f的取值范围.

解：(1)由题意可得-6和〃是方程，+如-12=0的两个根，

由根与系数的关系可得(一匹-6如，解得机=4,„=2,

I_12=_6n

(2)由(1)可得2〃+8Z?=2,即Q+4Z?=1,

①工△=(工二)(a+4b)=5+也餐5+21些•至=9,

abababVab

当且仅当生=包，即〃=2。=工时等号成立，

ab3

所以工+工的最小值为9.

ab

②若2a+16b-t>0恒成立，即云2"+16〃恒成立，

因为20+16勺2y2a•16b=2J2a,b=2料,当且仅当2a=16b,即。=4人=之时等号成立,

所以正2、历，

即实数r的取值范围是(-8,2丁勿.

20.已知函数f(x)=log4(4X+l).

(1)利用函数的单调性定义证明：f(x)在R上为单调增函数；

(2)设g(x)=f(x)-^x,判断g(幻的奇偶性，并加以证明.

解：(1)证明：设任意Xi〈X2dR,

X.

X：X4+1

则F(X1)-f(%2)=log(4+1)-log(4-+l)=log4(x),

42+l

4*1+1

因为尤1<X2,所以4X1<4X2,则七_£<1；

产+1

X.

所以log4(————)<C0,即/(X1)<f(%2),

产+1

所以函数/(x)在R上是单调递增函数；

1J_

X=1x2X=logxx

(2)因为g(x)=log4(4+1)--x°g^(4+l)-log444(4+l)-log42

4,x+1

=log.---------=log.(2x+2”),显然定义域为R,关于原点对称，

42X

函数在R上为偶函数，

-xx=

证明如下：因为g(-x)=log4(2+2)1g(%)，

所以函数是R上的偶函数.

21.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心。距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转

动1圈，当水轮上点尸从水中浮现时(图中点尸。)开始计算时间.

(1)将点尸距离水面的距离Z(单位：米，在水面以下，则Z为负数)表示为时间/(单

位：秒)的函数；

(2)在水轮转动1圈内，有多长时间点尸位于水面上方？

解：(1)设2=以111(3x+(p)+B,依题意可知z的最大值为6,最小为-2,

“A+B=6,可得卜=4

l-A+B=-2lB=2

〈OP每秒钟内所转过的角为(1X2-)=2L_得z=4sin('f+(p)+2,

603030

-91

当/=0时，z=0,sin(p=-^-=--