转化思想在《三角形中位线》教学中的渗透和培养 论文

转化思想在《三角形中位线》教学中的渗透和培养摘要：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养.转化思想在数学解题中应用非常广泛，本文就转化思想在在《三角形中位线》教学中的渗透和培养谈一下自己的体会，与同行共研.关键词：三角形中位线；数学教学；转化思想1969年，日本著名数学教育家米山国藏在他的著作《数学的精神、思想和方法》中指出“作为知识的数学，通常在出校门不到一两年可能就忘了，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻于头脑的数学精神与数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用.而某一数学思想方法要在学生的脑海中“安家落户”，绝不是一朝一夕所能做到的.由此可见数学思想方法的培养必须从必须从平时的教学活动中逐渐渗透和培养.下面笔者就转化思想在《三角形中位线》教学中的渗透和培养谈一下自己的体会，与同行共研.在三角形中位线定理的教学中，笔者发现无论是证明两直线平行还是线段长的倍数关系，学生都难以想到运用已学会的知识来证明.为了帮助学生突破这个难点，笔者在研读教材时发现转化思想在这里起了很关键的作用，在苏科版教材这一节开头便提出“怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？”，这句话就包含了转化的思想，即如何把三角形转化为平行四边形？在教学过程中为了帮助学生突破这个难点，我先让学生准备了一张直角三角形纸片.让学生观察（如图1），先使用直角三角形纸片是因为直角三角形学生从小学就很熟悉，容易让学生发现它的拼接方法.学生通过几次实验，便发现从两边中点折叠，剪下来后与剩下的直角梯形很容易拼成一个矩形.然后我再让学生准备一张锐角或钝角三角形纸片（如图2），提出能否把它先剪成直角三角形，再考虑如何拼接成矩形，学生很容易发现先作一边上的高，把它们剪成两部分，再用前面的方法把使两部分能拼成一个矩形，最后提出如果不剪成直角三角形，你能否将它剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形.这时候学生受到上面图形的启发，直接找出两边的中点（如图3），剪下后拼成一个平行四边形.以上通过把一般三角形转化为直角三角形，把直角三角形剪下一部分拼成矩形，再用直角三角形拼接成矩形的思想方法启发学生把一般三角形剪成两部分，拼成一个平行四边形.这里渗透了从特殊到一般的转化的思想.∟∟图1图2图3在给出三角形中位线的概念以后，教师紧接着提出：“你能猜想出剪痕（三角形的中位线）与三角形的第三边有什么位置关系和数量关系吗？”，学生观察图4，利用直角三角形斜边中线的性质，结合等腰三角形三线合一，很容易证出DE⊥AB，进而得到DE与BC的位置关系DE∥BC，DE与BC的数量关系是这里的难点，学生在讨论交流后会发现过E点作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一和矩形的性质得到DE=BC，这时教师紧接着提出：“一般的锐角三角形或钝角三角形你也能找到同样的数量关系和位置关系并给出证明吗？”，学生很容易想到把锐角三角形或钝角三角形通过作高转化为直角三角形（如图5、6）给出证明过程.这里进一步渗透了从特殊到一般的转化思想，也为下面如何作辅助线把三角形转化为平行四边形作了铺垫.图4图5图6接着教师追问：“你能从上面的剪拼操作中，探索出其他的证明方法吗？，学生对于DE和BC的位置关系和数量关系已经有了认识，在此基础上引导学生回顾图4的证明过程，这里通过矩形对边相等转化成三角形中位线与第三边的数量关系，我们可以用矩形的性质解决三角形中位线问题，对于一般的三角形，我们能否利用平行四边形的性质找出三角形中位线与第三边的位置关系和数量关系吗？在这里教师提出从特殊的直角三角形中用矩形的知识解决问题的思路去寻求一般三角形用平行四边形的知识解决问题的方法，由特殊到一般，由三角形转化为平行四边形，让学生的思维自然过渡到用平行四边形的知识解决三角形中位线问题的方向上，这样的过渡顺应学生的思维，易于学生接受，不会让学生感到突然，学生在不知不觉中接受了把三角形转化为平行四边形的转化思想.从前面的剪拼中不难看出，连接三角形两边中点的这条线段是把三角形转化成平行四边形的关键，直角三角形中构造出的矩形实质上是“割”，你能否利用上面拼接方法用“补”的思想构造平行四边形呢？引导学生观察上面剪拼的过程，尝试从中探索发现作辅助线的方法，学生在探索中发现可以类比直角三角形中过E点作BC的垂线方法，过C点作CF⊥DE，交DE的延长线于F点，利用△ADE≌△CFE，进而得到四边形DBCF是矩形，从而得到DE∥BC且DE=BC，这时教师进一步追问“你还有其它作辅助线的方法吗？”，学生观察图7，发现延长DE到F，使EF=DE，连接CF，同样能够得到△ADE≌△CFE和四边形DBCF是矩形，进而得到DE∥BC且DE=BC.观察图3，让学生探索能否把图3转化成图7，学生讨论后作出图8，过A点作DE的垂线段AF，将△ADE拆分成两个直角三角形，利用△ADF≌△BDM、△AFE≌△CNE，将△ABC割补成矩形BCNM，得到DE和BC的数量关系和位置关系.教师进一步追问：“既然作高可以实现证明，那么添加相应的中线或者角平分线都能完成证明吗？”，学生回答后继续追问：“如果F是线段DE上任意一点呢？”，如图9，有了前面的思路，学生可以很快想到证明方法.以上的探索过程不仅起到了拓展思维的目的，还进一步渗透了从特殊到一般、从三角形到平行四边形的转化思想.图7图8图9归纳完上面的解题思想，接着教师介绍刘徽的割补术，上面的证明方法是刘徽割补术知识的迁移.对数学史的介绍，是让学生在了解数学史的同时，感悟转化思想在数学中的重要地位.三角形的面积推导（刘徽）这里添加辅助线的根源其实是线段的局部补短，把三角形转化为平行四边形，利用平行四边形的知识解决三角形中位线的问题.教师接着提出“如果不把△ADE分割，你能直接补短吗？”，学生经历了上面一系列的探索过程，自然而然的就想到了延长DE到F，使EF=DE，连接CF，如图10.先证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC且DE=BC.教师追问：“能否不通过三角形全等，只通过平行四边形的证明得到三角形中位线与第三边的关系呢？”，学生在图10的基础上连接CD和AF，利用对角线互相平分先得到四边形ADCF是平行四边形，然后利用AD=BD转化为四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE和BC之间的关系教师追问：“上面我们采用的是补短的方法，请同学们思考是否可以类比直角三角形中的证明思路用截长的方法来证明呢？”.图10图11学生类比前面的方法，过点E作EF∥AB，交BC于F点（如图12），但在证明△ADE和△EFC全等时出现困难，由此难以找出证明四边形DBFE是平行四边形的条件，此时，教师可以引导学生直观感知点F可能是BC的中点，不妨隐去DE，证明EF是△ABC的中位线，回归到“补短”的辅助线作法（如图13），过点E作EF∥AB，交BC于点F,过A点作AG∥BC，交FE的延长线于点G，或延长FE到G，使EG=EF，连接AG,从而利用平行四边形和全等的知识得到F为BC的中点，从而得到DE∥BC且DE=BC.图形间的转化是学生学习上的难点，教师要建立截长和补短之间的联系，为学生的思维拓广方向.课后还可以引导学习能力较好的同学思考：如图14，在BC上截取MN=DE，过A点作BC的平行线交MD和NE的延长线于点Q和点P，利用平行四边形和全等三角形证得同样的结论.图11其实是图12的特殊情况，解决问题的方法相同.图12图13图14这时教师进一步强调利用平行四边形解决三角形问题的转化思想，指出转化思想在解题中应用非常广泛.到这里学生从一般到特殊，从直角三角形到一般三角形，从平行四边形到一般三角形，它们之间如何转化，学生形成了一个整体的解决问题的思路.课后请同学们探讨用面积法证明三角形中位线定理，拓展学生的解题思路.前面我们主要运用的是从特殊到一般的转化思想，三角形中位线定理的证明我们还可以用从一般到特殊的转化方法.如图15,用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O，用大头针把一个平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，使它随意停留在任意位置.观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现.图15此题为人教版教材八年级下册第51页第14题，若由一般到特殊，当直细木条旋转至CB的中点时，即是三角形中位线定理的再现.三角形中位线的证明有很多种，每种方法都蕴含了转化的思想，教师要引导学生从多角度去分析问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.转化思想是数学思想方法中最基本、也是最重要思想方法，它在解决数学问题中至关重要，它可以使问题化繁为简，化难为易，化生疏为熟悉，从而使问题得以解决.教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习中运用转化思想，提高学生的思维能力，应变能力.对于如何在数学教学中加强对转化思想的渗透，在今后的教