2023年江苏省常州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年江苏省常州市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

、单选题(30题)

在一张纸上有5个白色的点；7个红色的点，其中没有3个点在同一条直线上，由不

同颜色的两个点所连直线的条数为()

(A)吃-W-斗(B)C；+C；

(C)C{•(D)+P；)

2.在正方体，1的形状是()

A.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.已知tana、tan|3是方程2x2—4x+l=0的两根，则tan(a+P)=()

A.4B.-4C.4/3D.8

一枚硬币连续抛掷3次，至少有两次正面向上的概率是()

(A)|(B)y

J4

4.(C)7(D)l

5.已知复数Z=a+bi,其中a,b£R,且bRO,则

A.|z2|^|z|2=z2

B.|z2|=|z|2=z2

C.|z2|=|z|2#z2

D.|z2|=zY|z|2

6.已知复数z=a+bi其中a,b£R,且b#0则（）

A.I|XIz|2=z?B.I—I=IZ12=，

C.|s2|=I2PD.I-|/WIN|2

7.

在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同一条

直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为（）

A.p?4-Pi-P?

B.

CL「，

D.1'

8.已知正方体八的校长为1.则A（'与BC'所成角的余弦值为

D.4

A.A.AB.BC.CD.D

9设甲：sinx-h乙:,则（）

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

10.若sina>tana,a£(-兀/2,兀/2),则a£()

A.(-7i/2,7i/2)B.(-K/2,0)C.(0,7T/4)D.(冗/4,兀/2)

11.

第5题设y=f"(x)是函数y=f(x)的反函数,若点(2,-3)在y=f(x)图象

上，那么一定在y=P(x)的图象上的点是()

A.(-2,3)B.(3,-2)C.(-3,2)D,(-2,-3)

正四校柱48co中，AA^2AB.则直线与宜线所成角的正弦值

为

(A)—(B)—(C)—<D)—

5353

,常=3+2c?as6.

•M_(。为参数)的圆心坐标和半径分别为

,ys-75+2sin6

儿(3.-6),2'B.(-3,^),4

13.C(3.-6),4D.(-3.6),2

在。到■之间满足=-十的值是

2sinxx)

(A)竽或半(B)竽

14.©得喏

uO

15.a£(0,n/2),sina,a,tana的大小顺序是()

A.tana<sina<aB.tana<a<sinaC.a<tana<sinaD.sina<tana<a

16.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，每次取出三个数相乘，可以得

到不同乘积的个数是()

A.10B.llC.20D.120

17()

A.A.x+y+2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

设甲:“手，

乙：sinx=1,

则()

(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

(C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

18.(D)甲是乙的充分必要条件

19.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.1

B.

C.

D.

20.从1,2,3,4,5……9中任取两个数，使它们的和为奇数，则不同

的取法共有

A.20B.26C.36D.60

21.设f(x+1)=x(x+l),则f(2)=()o

A.lB.3C.2D.6

已知点尸(sina-cosa,tana)在第一象限，则在［0,2ir)内a的取值范围是(

⑴伊苧)44)⑻信用U(4)

©传与M竽穹)⑼，号)u传F

22.

23.已知f(x)是偶函数，定义域为Goo,+oo),且在［0,+◎上是减函数,

设P=a2-a+l(a£R),则()

A.A/U)"⑺

B.

D/HEW

复数(匕)’+(冷)’的值等于()

(A)2(B)-2

24.(C)0(D)4

若a,6,c成等比数列,则Iga,lg/),lgc成

(A)等比数列(B)等差数列

25.(⑺等比数列或等差数列(D)无法确定

26.

第9题正三棱锥的高为2,底面一边的长为12,则它的侧面积为()

A.144B.72C.48D.36

27.下列各式正确的是

A.cos2<sinl<tan兀

B.cos2nn<cotn0<sinl

C.cosl<cos2<sinl

D.cos2<cosl<cot兀。

有6名男生和4名女生，从中选出3名代表，要求代表中必须有女生，则不同的选

法的种数是

(A)100(B)60

28.")80(D)192

29.若a>b>0,贝！|()

A.A.

B.

D.

30.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数数字和两个奇数

数字组成一个无重复数字的三位数，总共有()

A.9个B.24个C.36个D.54个

二、填空题(20题)

31如果2<a<4,那么(o-2)(a-4)0.

32.过点M(2,-1)且与向量a=(-3,2)垂直的直线方程是

33.设a是直线Y=-x+2的倾斜角,则a=

34.某运动员射击10次，成绩(单位：环)如下

8、10、9、9、10、8、9、9、8、7

则该运动员的平均成绩是环.

已知随机变量g的分布列是

-1012

£

P

3464

35*”-------------'

已知球的半径为1,它的一个小圆的面积是这个球表面积的右，则球心到这个小

36.圆所在的平面的距离是

飞7过圆X2+/=25上一点M(-3,4)作该III的切线，则此切线方程为.

38.已知随机变量g的分布列是：

g012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝!IE4=______

39.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之

积为偶数的概率P等于

40.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A与B1D1所成的角的

度数为________

41.斜率为2,且在x轴上的截距为-3的直线的方程是

42.方程

A/+Ay?+Dz+Ey+F=0(A#0)满足条件(方)，(2A)A

它的图像是

43.

(19)巳知球的半径为1.它的一个小圜的面根是这个球我面枳的!.则球心到这个小圆所在

O

的平面的距离是

己知球的一个小圆的面枳为人球心到小圆所在平面的那而为五，则这个球的

44.&面枳为.

45.函数y=sinx+cosx的导数y'

46.不等式(2x+l)/(L2x)的解集为.

47.各校长都为2的正四核锥的体积为.

48.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

49.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下(单位：h);

245256247255249260

则该样本的样本方差为———(保留小数点后一位).

50.设。是直线y=-工+2的倾斜角，则a=.

三、简答题(10题)

51.(本小题满分12分)

巳知等比数列；aj中.%=16.公比q=

(1)求数列la.l的通项公式；

(2)若数列；a“|的前n项的和S.=124.求n的俏.

52.（本小题满分12分）

已知点A（X。.；）在曲线，=］上.

（1）求飞的值；

（2）求该曲线在点,4处的切线方程.

53.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

54.

（本题满分13分）

求以曲线2-+/-4x-10=0和/=2工-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在工轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

55.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

56.（本小题满分12分）

已知6,吊是椭圆卷+[=1的两个焦点/为椭圆上一点,且43%=30。.求

△PFR的面积.

(25)(本小题满分】3分)

已知抛物线『=会，0为坐标原点,F为抛物线的焦点・

(I)求10rI的值；

(D)求抛物线上点P的坐标，使的面积为"

57.

58.

(本小题满分12分)

已知等比数列｛an｝的各项都是正数，«1=2,前3项和为14.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

59.

(本小题满分12分)

△A8C中，已知a1+c1-b3-ar,且lo&sinX+lo&sinC=-1,面积为v§cm'，求它二

出的长和三个角的度数•

60.

(本小题满分13分)

2sin0cos0+—

设函数/⑷=一十——.0e[0,^]

sine+cos。2

⑴求/喟)；

(2)求/(的的最小值.

四、解答题(10题)

61.

△XBC中，已知『+J-6?=8,且lo&sinX+lo&sinC=-1，面积为75cm2.求它三

边的长和三个角的度数.

62.已知抛物线》2=4工,桶18普+±=1.它们有共同的焦点Ft.

(I)求m的值；

(H)如果P是两曲线的一个公共点，且F1是椭圆的另一焦点，求4

PF1F2的面积

63.设A,B为二次函数y=-3x2-2x+a的图象与x轴的两个不同的交

点，点P为抛物线的顶点，当^PAB为等腰直角三角形时，求a的值.

64.

已知圆的方程为J+尸+3+2N+。？=0.一定点为4(1,2),要使其过定点4(1,2)

作圆的切线有两条，求a的取值范围.

65.电流强度I随时间t变化的函数关系式是I=Asin(ot,设(》=100兀(弧

度/秒),A=5(安培).

(I)求电流强度I变化周期与频率；

(H)当t=0,l/200,1/100,3/200/1/50(秒)时，求电流强度1(安培)；

(ni)画出电流强度1随时间t变化的函数的图像.

66.在边长为a的正方形中作一矩形，使矩形的顶点分别在正方形的四

条边上，而它的边与正方形的对角线平行，问如何作法才能使这个矩

形的面积最大？

67.

已知数列)和数列的),且g=8而=46.数列出.)是公比为2的等比数列，求数列

加通项公式a..

68.

设函数r(«r)=ar'+b*'—3工在Xr土】处取得极优

(I)求a,b的值;

(H)求f(x)的单调区间与极值；

(III)求曲线f(x)在点(2,2)处的切线方程.

已知等比数列中=16,公比g=y.

(1)求数列1。」的通项公式；

XQ(2)若数列的前n项的和S”=124,求n的值.

by.

已知函数*(3-6<i)«-12«-4{aeR}.

(1)证明：曲线y=/U)在M•。处的切线过点(2,2);

(2)若〃G在工=«,处取得极小值•(1,3),求a的取值范酶

70.

五、单选题(2题)

71.函数Y=f(x)的图像与函数Y=2x的图像关于直线Y=x对称，则

f(x)=()

A.A.2xB.log2X(X>0)C.2XD.lg(2x)(X>0)

72.某学生从6门课中选修3门，其中甲、乙两门课程至少选一门，则不

同的选课方案共有()

A.4种B.12种C.16种D.20种

六、单选题(1题)

73.

(12)若a.B是两个相交平面.点4不在a内.也不在6内,剜过4且与a和6热平行的直线

(A)只有一条(B)只有两条

(C)只有四条(D)有无效条

参考答案

1.C

2.C

BC±A'li.但BCKA'C.AA'BC为直的•.角形.(答案为。

3.A

4.B

注意区分|一|与|z「.

,.•z=a十历，义•・•复数z的模为：|z|=，</+-,

.•.复数模的平方为：|zr=a2+62,

而——(a+biXa+Ai)=3+2afri+从产=(a1-从)+2abi,

5.C’!一|复数的平方的模为：|/|=7(aI-6z),+(2a6)2=a2+〃.

6.C

注意区分|/|与

Vz=a+di.

义•.•复数t的模为：|z|=+卢.

二复数模的平方为：|之|2=/+62.

而/=(a+6i)(a+6i)=a2+2ab\+1?i*=(a1~

2abi.

|z2|复数的平方的模为：|/|=

^fcj2—护尸+(2ab)*=a2+b2.

7.C

8.B

在△ABC^.AB=1.AC=^3.BC=々，由余弦定理可知

AU'+BC/'-A^3+2-1描/**工口、

cosOlC,8r,二一^^^—二尔行工至.(善案为B)

9.A

甲sinz1=>H一"*+费台:与•血乙。甲.甲是乙的必要非充分条件.（答案为A）

10.B首先做出单位圆，然后根据问题的约束条件，利用三角函数线找出

满足条件的«角取值范围.

sina>tana,aW(-兀/2,兀/2),又Vsina=MP,tana=AT,(l)O<a<n/2,sina<

tana.(2)-7r/2<a<O,sina>tana.

ll.C

12.C

13.A

14.D

15.B

角a是第一象限角，如图在单位圆O上有，sina=AB,所以

sina<a<tanao

a=A'B•

tanaf=A'B’.

又.."ABV加VA'8'

16.B

17.A

抛物线Y=-8y的焦点为F(0,-2),直线斜率为A=tan答=一1,

所求直线方程是y+2=一(工一0).即工+》+2工0.(答案为A)

18.B

19.D

20.A

人解析:珈3L告和为仔敬，则只施取个效力奇效，另4数为倜我剜不冏的取去为c；・c,=20.

2LC该小题主要考查的知识点为函数.【考试指导】f(2)=f(1+1)=lx

(1+1)=2.

22.B

23.C

24.A

25.B

26.B

27.D

选项A错，因为cos2V0,（2£第二象限角）因为sinl>0,（1£第一象限

角）因为tank。,所以tanirVsinl选项B错因为cos2117T=1,

cot7TO=cot3.14o>0,lVcot3.14o<+oo,l>sinl>0,cot7T°>sinl.选项C错，

因为cos2V0,cosl>0.所以cos2<cosl选项D对，因为cos2<0,0<

cos1V1,1Vcot*<+oo,所以cos2<cosl<cotn0

28.A

29.D

根据指数函数与对数函数的单调性可知.当a>6>0时,有/>bi恒成立.（答案为D）

30.D

从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一【考点指要】本题考查排

列、组合的概念，要求考生会用排列组合的数学公式，会解排列、组

合的简单应用题.个偶数数字石«>可能，选出两个奇数数彳有

C钟情况,由个偶数数学和两个奇数败7组成

无丽复数字的三位数,有A：肿情况,这是分三个

步骤完成的•故应用分步计算原理.把分步所科结

果乘起来，即共有C•CJ•A；=3X3X6=54个

三位数.

31.

32.

设「（工少）为所求直线上任一点，则而。（工一2,旷+D.因为而

JgMP•a=（x-2,y4-l）•（-3.2）=-3Cx—2）+2（»+1）=0.

即所求直线的方程为3工一2V—8-0.（答案为3x-2jy-8=0）

33.

3

4

34.8.7

【解析】本题主要考查的知识点为等比数列。

~—8+10+9+9+10+8+9+9+8+7

10

=X7

【考试指导】一

35.

3

叵

36.3

-九‘=0

38.

39.

B

18

40.

41.由题意可知，直线的斜率为2,且过点(-3,0).

直线方程为y=2(x+3),即2x-y+6=0.(答案为2x-y+6=0。)

42.

【答案】点（一通•一西）

AM+Ay2+Di+E»+F=O.①

将①的左边配方.得

G+豹'+（，+给’

=（袅）、（芸）一今

'，（芸）'+（或）=。，

工=一a

方程①只有实教解<.

E

ly2A

即它的图像是以（一耳，一曷）为圆心，r=o

的！D.

所以表示一个点（一聂,一盘）.也称为点国

（19）专

43.3

44.

I2n

45.

COSX-Sinx【解析】y=<cosx+sinx）,-

—det=cmi—sin工

1/2)

46.{x|-l/2<<

22+1、八|2x4-l>0一上|2x+l<0-

①的解集为一•1•<£<十・②的“集为0.

{x|--1-<x<-1-HJ0=(x1--1-<X<-1-L

2

47.

48.

VS<=a-ga•（・必

224

由册章和正三检他的州植长为冬，

・・・冷）,-冷・等），7.

如二2展•年l绍

49.

x-252,?=28.7（使用科学计算器计算）.（卷案为28.7）

3

71T

50.4

51.

(I)因为4=%/.即16=%X；,得a,=64.

所以,该数列的通项公式为a.=64x(/)・-1

(2)由公式»=岑■上得124=---------

1-g।*

1~2

化博得2”=32,解得n=5.

52.

(1)因为;=一二.所以%=L

⑵八-Mi*'L=J

曲线丁=」I在其上一点(I.;)处的切线方程为

y-y=-!(4-1)，

即x+4r-3=0.

53.

利润:的售总价-进货总价

设每件提价X元(MM0),利润为y元，则每天售出(100-10M)件,销售总价

为(10+工)•(100-10x)x

进货总价为8(100-Kb)元(OwxGO)

依题意有:y=(10+x)•(100-i0x)-8(100-10*)

=(2+x)(100-i0x)

=-10/+80X+200

y'=-20x+80.令y'=0得H=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,摩得利润量大，最大利润为360元

54.

本题主要考查双曲线方程及综合解即能力

(2xz+Y1-4x-10=0

根据踵意.先解方程组

力

=3J.Irx=3«,

｛7=2,ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线，=土多

这两个方程也可以写成看-孑=0

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为\-左=。

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

94=6,

所以i=4

所求双曲线方程为以-£=1

55.

(1)设所求点为(q,九).

=-6父+2，=-6XQ+2.

由于X轴所在直线的斜率为0,则-6与+2=0.&=/.

因此汽=-3・(/1+2・»4岑

又点(上•号)不在x轴上，故为所求.

(2)设所求为点(%.%).

由(l),y'=-6*o+2.

1

由于广幺的斜率为1,则-6%+2=1■公°=.

1||7

因此治=-3•祈+2.8+4=不

又点(高为不在直线y=工上•故为所求.

56.

由已知.桶圈的长轴长2a=20

设1叩1=m,IPF/=n,由椭圆的定义知,m+n=20①

又「'=100-64=36,c=6,所以K(-6,0),月(6,0)且16吊|=12

I,

在APF、F,中,由余弦定理得力+n-2ffmc<M3O°=12

m2+n3-Qmn=144②

m2^2mn+n2=400.③

③-②.得(2♦万)mn=256,mn=256(2-6)

因此.的面枳为:"mnain300=64(2-百)

(25)解：(I)由已知得F(J,0),

O

所以IOFI=

O

(口)设P点的横坐标为明("0)

则P点的纵坐标为片或-后,

△O”的面积为

\I/T\

2-X¥XVT=T,

解得N=32,

57.故尸点坐标为(32,4)或(32,-4).

58.

(1)设等比数列匕」的公比为g.则2+2q+2d=14,

即+q-6=0,

所以g,=2,伙=-3(舍去).

通项公式为a.=2".

(2)b.=lofoa.=log,2,=n.

设Tao=%+4+…+%

=1+24—+20

xyx2Ox(2O+l)=210.

59.

24.解因为所以"总

即cos8=T•，而8为△48C内角，

所以B=60。.又log4ainX+lo&sinC=-1所以sin/l•sinC=

则^-[COB(X-C)-ct»(A+C)]=^-.

所以cai(4-C)-a»120°=y,BP<x»(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。,

解得A«105%C=15°；«A»15°,C=105°.

因为Sai=*abtnnC=Z/^siivlainBsinC

所以纾=曲.所以R=2

所以a=2Rsin4=2x2xsin1050=(76+&)(cm)

b=2RninB=2x2xsin600=24(cm)

c=2RainC=2x2xsinl5。=(荷-左)(cm)

或a=(布-6)(cm)6=28(cm)c=(而+&)(cm)

«•=初长分别为(笈♦&)cm2乐n、(而-A)cm,它们的对角依次为：105。.®)。,152

60.

由题已知。）=

4gin。♦cos^

(sin94-cosd)2+率

x>

sin0+coM

令4=ftin^+co®^.得

Ke)=­—-=x+^=[^--^]3+2Vx•-z

=3-焉+而

由此可求得j(至)=6A。)最小值为而

解因为/+--*=".所以4弟4

即co»8=1•，而B为AABC内角，

所以B=60°.又Io&sin4+lo&sinC=-1所以sin4•sinC=

则•^_[cos(X-C)-cos(4+C)]=

所以cos(4-C)-cosl20。=^~,即cos(/l-C)=0

所以A-C=90。或A-C=-90°.又4+C=120。，

解得A=105。1=15。；或4=15。,。=105。.

因为

•胫'+。'•有'•网-显=

424

所以和2=75■，所以R=2

61所以a=2/{sin4=2x2xsinl05°=(痣+&)(cm)

b=2/?sinB=2x2xsin60°=24(cm)

c=2/?sinC=2x2xsinl50=(历-&)(cm)

或a=(用-")(cm)i=2vT(cm)c=(笈+&)(cm)

答:长分别为(新+0)cm23cm、(而-0)cm,它们的对角依次为[as。,8。“。.

62.

【分才答案】（I）•.•她物线，=41的焦点坐标

为FE.O）.

:.神圜（+三=1的右焦点为B，

9m

•*.9—m=l.

即m・8・

ym4x.①

（）

n*Vs■,+看t.②

把①代人②得书+¥=】.

即好+9X-18=0.

修得工厂一6（舍）或4="|".

将L3代人①可得尸士后

故两曲线交点P的坐标为（"I•词或（等.一⑹.

又•：（F）Fd-Z.

•,•%=得X2xy6=s/6.

63.

设两个交点横坐标分别为4,©,刚巧，及为二次方程一犷一2x+a

=0的两个根，由根与系数的关系.得xi+z,=--|-,xi•x,=-j.

从而得IAB!=|x|-z»|=y（j|+xt）*—4xix,«=-j\/T+3«.

P为抛物线IM点,坐标为《一§・a+f,PC垂克于1釉,IPCI=la+孑I.

由APAB为等腰直角三角形可知|AB|-2|PC|.

即,，1+3a=21a+gl.得a=0或&=一/.

因为抛物线与工轴有两个交点，剜

△=4+l2a>0,解得a>-4.故a=0.

解方程/+/+ax+2y+1=0表示圆的充要条件是:1+4-4a2>0.

即所以-<a<~y3

2

4（1,2）在圆外，应满足：1+2+Q+4♦<?>0

即1+。+9>0,所以aeR.

综上,a的取值范围是（-孥，芋）.

64.

65.

⑴万吕一怒+=50…）.

所以电流强度1交化的周期为如«t率为50次儿

<n，列*如下,

1

0131

200Too20050

1-5mnl00xr

0507~0~

（B1）下网为/丽，

66.ABCD是边长为a的正方形，EFGH是要作的矩形

AarHxD

,2

15C