2020-2021学年浙江省衢州市衢江区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年浙江省衢州市衢江区九年级第一学期期末数学试

卷

一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请在答题纸上将符合题意的正确选

项涂黑，不选、多选、错选均不给分）

1.如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系

是（）

A.相切B.相交C.相离D.相似

2.一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球,它们除颜色不同以外其他都相同，从布

袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）

A.1B.1C.2D.I

323

3.抛物线y=2（x+1）2-3的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=3C.直线x=-1D.直线x=-3

4.如图，在半圆。中，若NABC=70°,则/ACC的度数为（）

C.110°D.130°

5.已知9=掾，则毕的值是（）

32b

A.—B.—C.2D.1

232

6.如图，在△ABC中，DE//BC,若AO：DB=3：2,DE=6cm,则3c的长为（）

A.ScmB.10cmC.12cmD.IScm

7.如图，PA.尸8分别切O。于点A、B,且P4=8,CD切OO于点E,交PA、PB于C、

C.16D.8

8.如图，取一张长为a,宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要

使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、人应满足的条件是（）

第一次对折第二次对折

b

A.B.a—\/oPC.a—4bD.a—2b

9.如图，将aABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一

个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（）

10.汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为

“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35如〃〃的弯道上，甲、乙两

辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲

车的刹车距离略超过12瓶，乙车的刹车距离略超过10",又知甲、乙两种车型的刹车距

离s（zw）与车速的关系大致如下：S甲=r工x2_**_^7*,S乙=X”+由

1001020020

此可以推测（）

A.甲车超速B,乙车超速

C.两车都超速D.两车都未超速

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.2和8的比例中项是.

12.在创建全国文明城市活动中，衢州市园林部门为了扩大市区的绿化面积，进行了大量的

树木移栽.如表记录的是在相同条件下移栽某种幼树的棵数和成活棵数:

移栽棵树1005001000500010000

成活棵树8945891044989000

请根据表中数据估计，现园林部门移栽50000棵这种幼树，大约能成活棵.

13.如图，P是。。外一点，过P引。。的切线PA,PB,若NAP8=50°,则NA08=

14.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆

的高度.图2是支撑杆的平面示意图，AB和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角N

BOD=a.若AO=85c/n,BO=DO=65cnt.可：当a=74°时，较长支撑杆的端点A离

地面的高度〃约为________cm.（参考数据：sin37°—0.6,cos37°20.8,sin53°^0.8,

cos53°^0.6.）

单位：cm

二;…\\8

,J0,

'.,”.・…/

图1图2

15.如图，CC为OO的直径，COL48于点尸AEJ_BC于点E,且AE经过圆心O.若

04=3.则图中阴影部分的面积为

D

16.定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三

角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”.如图，一组抛物线的顶点5（1,%），B2

（2,”），&（3,第），…&（〃，y„）（n为正整数）依次是直线>=当+4"上的点，

34

这组抛物线与X轴正半轴的交点依次是4（671,0）,A2（。2,0）,43（43,0）,…A“+|

（a„+i,0）（0<«!<1,n为正整数）.若这组抛物线中存在和美抛物线，则s

三、解答题（本题有8小题，共66分。请在答题纸的相应位置写出解题过程

17.计算：727-3tan60°+（-1）2021.

18.为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某

校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温

通道进入校园.

（1）小亮从A测温通道通过的概率是;

（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率.

19.如图，直线与。。相切于点C,OA交。。于点。，连结CD已知00=8=5,

求AC的长.

20.如图，已知抛物线y=d+bx+c经过点A（-1,0）,B（3,0）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

(2)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到一条新的抛物线，设新抛物

线的顶点为C,点D(0,小)在y轴上，以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E、F

恰好都在新抛物线上，试求，"的值.

21.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，经试销

发现，该种洗手液每天的销售单价与销售量的对应关系如表所示:

销售单价(元/1617181920

瓶)

销售量(瓶)200180160140120

根据表中数据，解答下列问题:

(1)从表中可以发现，该洗手液的销售单价每增加1元，销售量减少瓶；

(2)当销售单价为多少元时，才能使当天销售这款“免洗洗手液”的利润最大，最大利

润为多少元?

22.阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin(a+p)=sinacos|3+cosasinp,tan(a+0)

tanCl+tan8

利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的

1-tanCI.tanB

tan450+tan3001干3电—

和(差)，如tan75°=tan(30°+45°)

l-tan45°tan30°11X愿'3-V3

2+V3.

问题解决：根据以上阅读材.料，请选择适当的公式解答下列问题.

(1)求sin75"；

(2)如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△A8C滚动240。时，C点的位置在

C,当△ABC滚动480。时，A点的位置在A'.

①求tan/CAC'的值；

②试确定NEC'+ZCAA'的度数.

23.如图①，在矩形ABC。中，AB=4,BC=m（w>l），点E、尸分别在边AO、AB上，

且AE=1.

（1）当机=3,AF：FB=1：3时，求证：丛AEFs/\BFC；

（2）当机=3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使△4£下与以点8、F、

C为顶点的三角形相似的点尸（请保留画图痕迹）；

（3）探究：对于每一个确定的机的值，线段4B上存在几个点尸，使得△?!£：户与以点8、

尸、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）

24.李老师在上课时的屏幕上有如下内容：

如图，A8是。。的直径，点C为弧BD的中点，连结AC交BD于点E,CE=1,

MBKH,老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后，编制成一道完

整的题目，并解答.

（1）李老师在方框中添加的内容是“BE=3,求A8的长"，请你解答；

（2）以下是小童和小诗的对话：

小童：我加的内容是“BE=3,连结CQ,求C£>的长”.

小诗：我加的内容是“sin/CBE=5，连结0C,求tan/ABO的值”.

请你帮小诗完成解答：

（3）参考第（1）题中李老师添加的内容及第（2）题中的对话，写出你想添加的内容（可

以添线添字母，但所添内容不能与（1）、（2）中的内容相同），编制成一道完整的题

目，并解答.

D

参考答案

一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。请在答题纸上将符合题意的正确选

项涂黑，不选、多选、错选均不给分）

1.如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系

是（）

A.相切B.相交C.相离D.相似

【分析】根据相离的概念：一条直线和圆没有公共点称为直线和圆相离，由此即可作出

判断.

解：..♦太阳与地平线没有公共点，

该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离.

故选：C.

2.一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同，从布

袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）

119

A.—B.—C.—D.1

323

【分析】一共有3个球，摸到每个球的可能性是均等的，其中白球有1个，因此可求出

摸出1球是白球的概率.

解：一共有3个球，其中白球有1个，

因此摸出一球是白球的概率为晟，

故选：A.

3.抛物线y=2（x+1）2-3的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=3C,直线x=-lD.直线x=-3

【分析】由抛物线解析式可求得答案.

解：

'：y=2(x+1)2-3,

・••对称轴为直线1=-1,

故选：C.

4.如图，在半圆0中，若N4BC=70°,则N4DC的度数为（）

A.70°B.140°C.110°D.130°

【分析】根据圆内接四边形的性质得出NADC+N3=180。，再代入求出答案即可.

解：YA、B、C、。四点共圆，

AZADC+ZB=180°,

VZABC=70°，

：.ZADC=\S0°-ZABC=\\0°,

故选：C.

5.己知9=掾，则平的值是（）

32b

391

A.—B.—C.2D.—

232

【分析】直接利用已知得出。=乎，进而代入化简得出答案.

解：・吟专

•.•Cl_3-b,

2

31

・a-b_7Tb-b_Tfb_1

一b一b"万

故选：D.

6.如图，在△ABC中，DE//BC,若A。：DB=3：2,DE=6cm,则BC的长为（）

A.8cmB.10cmC.\2cmD.18c/„

【分析】由平行线的性质可得/AOE=N8,NAED=NC,故△AOES^ABC,利用相

似三角形的性质即可求解.

解：'JDE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

:AADESMABC,

.ADDE

••二,

ABBC

*：AD：08=3：2,DE=6cm,

：.AD：BC=3：5,

.6工

••—T

BC5

解得BC=10(cm).

故选：B.

7.如图，PA,PB分别切。0于点A、B,且尸4=8,CD切。0于点E,交PA、PB于C、

［分析］由PA、PB分别切。。于点A、B,CD切。。于点E,可得△PC。的周长=PA+PB,

继而求得答案.

解：•；尸4、PB分别切。。于点A、B,

：.PA=PB=S,

：CD切。。于点E,

J.CA^CE,DB=DE,

：.丛PCDfl<JJSJ-^=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=16.

故选：C.

8.如图，取一张长为a,宽为人的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要

使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边。、人应满足的条件是（）

第一次对折第二次对折

b

A.a=2^/2^B.a=y[2^C.a=4bD.a=2b

【分析】根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可.

解：；小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为a、b,

.'.屏=4从，

：.a=2b（负数舍去），

故选：D.

9.如图，将aABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一

个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（）

A.5/5B.C.2D.

【分析】根据题意得出△4BC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆

盖这个三角形的最小圆面的半径.

解：如图所示：点0为aABC外接圆圆心，则A0为外接圆半径，

故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：娓.

故选：A.

10.汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为

“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35E?/〃的弯道上，甲、乙两

辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲

车的刹车距离略超过12%,乙车的刹车距离略超过10口,又知甲、乙两种车型的刹车距

121_121小

离s（〃?）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲=-----Y+----X,Sc乙--------V+----T•由

1001020020

此可以推测（）

A.甲车超速B.乙车超速

C.两车都超速D.两车都未超速

【分析】根据题意分别求出甲、乙的车速进而得出相撞的原因.

【解答】解•••甲车的刹车距离为12m,

-^-x1+—x=\2,

10010

即/+10x-1200=0,

解得：制=30X2=-40（不合题意舍去），

所以甲车的速度为30切?//?,不超过限速,

而乙车的刹车距离为10zn,

则有点、却二10,

20020

即J^+IOX-2000=0,

解得：幻=40,及=-50（不合题意舍去），

所以乙车的速度为4052//?,超过了限速35kmih的规定.

故选：B.

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.2和8的比例中项是±4.

【分析】根据比例的基本性质，h=b：c,设其比例中项是x,则其比例中项可求.

解：设其比例中项是X,

.,.f=2X8,

；.x=±4.

故答案为±4.

12.在创建全国文明城市活动中，衢州市园林部门为了扩大市区的绿化面积，进行了大量的

树木移栽.如表记录的是在相同条件下移栽某种幼树的棵数和成活棵数：

移栽棵树1005001000500010000

成活棵树8945891044989000

请根据表中数据估计，现园林部门移栽50000棵这种幼树，大约能成活4500棵.

【分析】首先计算出成活率，然后代入计算即可.

解：设能成活x棵，根据题意得：

x_9000

5000-10000)

解得：JC=4500.

故大约能成活4500棵.

故答案为：4500.

13.如图，P是OO外一点，过尸引。0的切线PA、PB,若NAPB=5O°,则130

度.

【分析】根据切线的性质得到/月4。=/28。=90。，根据四边形的内角和定理即可得

到答案.

解：...PA、PB是。0的切线，

AZPAO=ZPBO=90a,

ZAPB=50°,

；./AOB=360°-/APB-/PAO-/PBO=130°,

故答案为：130.

14.有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆

的高度.图2是支撑杆的平面示意图，和C。分别是两根不同长度的支撑杆，夹角/

BOD=a.若AO=85cm,8O=OO=65cvn.问：当a=74°时，较长支撑杆的端点4离

地面的高度人约为120cm.(参考数据：sin37°-0.6,cos37°^0.8,sin53°-0.8,

cos53°^0.6.)

—T—r・西位：cm

%

*“7

f1V

f——/

*

【分析】过。作OELBD,过A作AFJ_8C,可得OE〃A尸，利用等腰三角形的三线合

一得到0E为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角

函数定义求出h即可.

解：过。作OE_LB。，过A作AFJ_BZ),可得OE//AFf

'：BO=DO,

；.OE平分NBOO,

AZBOE=—ZBO£>=—X74°=37°,

22

:./FAB=4BOE=37°,

在RtZXABF中，AB=85+65=150c〃?，

：.h=AF=AB-cosZFAB=\50X0.S=12(）（力?，

故答案为：120

单•位：cm

丁一丁不

["夕二衿-1：'1

!.A

::1:

•

B

FDE

图1图2

15.如图，CD为。。的直径，SLAB于点F,AELBC于点E,且AE经过圆心0.若

OA=3.则图中阴影部分的面积为3.里.

4

ZA=30°,ZABC=60°,得到NAO3=120。，根据扇形和三角形的面积公式即可得

到答案.

解：连接。8,

・・・。，45于点/，AELBC于点E,

AZAFO=ZCEO=9O0,

・・・4A0F=/C0E,

:.ZA=ZC,

・・•OB=OA,

・・・NA=NAB。，/C=NOBC,

・・・NABO=NCBO,

：.ZABC=2ZAf

：.ZA=30°,ZABC=60°,

AZAOF=60°,

AZAOB=nO°,

•・・0A=3,

12

.♦・。尸=』。=9,

22

.♦.AF=yOF=^^,

：.AB=2AF=3y[3,

2

•••图中阴影部分的面积=SWBOA-SMOB^^—3.-1X3V3x2=3n-也,

3602v24

故答案为：3n-t巨.

B

D

16.定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三

角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”.如图，一组抛物线的顶点5（1,%），B2

（2,”），Bi（3,>3）,（〃，y„）（«为正整数）依次是直线"上的点，

这组抛物线与％轴正半轴的交点依次是A]（4],0）,A1（42,0）,Ai（a3,0）,…A〃+i

（a„+i,0）（0<«!<1,〃为正整数）.若这组抛物线中存在和美抛物线，则。产之或

一12一

11

【分析】由抛物线的对称性可知，所砂构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点

的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又OV0V1,所以等腰

直角三角形斜边的长小于2,所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1,即抛物线的定点

纵坐标必定小于1,据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物

线与x轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得的的值.

解：直线/：y=5x+b经过点M（0,则〃=2，

344

直线I：y-

由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角

三角形；

，该等腰三角形的高等于斜边的一半

V0<ai<l

,该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）

117

•.•当x=l时，％=《xi+}=±<l,

3412

当x=2时，y2=AX2+l=ll<l,

11R

当％=3时，y3=—X3+—=—>1；

344

・,.美丽抛物线的顶点只有S、&

①若Bi为顶点，由Bi（1,卡），则d=1-看=卡

②若&为顶点，由星（2,点），则d=l-[（2-音）-1]=/综上所述，”的值为余

或圣时，存在美丽抛物线.

12

故答案为：或

三、解答题（本题有8小题，共66分。请在答题纸的相应位置写出解题过程

17.计算：727-3tan600+(-1)2021

【分析】直接利用二次根式的乘法以及有理数的乘方运算法则、特殊角的三角函数值分

别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案.

解：原式=3«-3Xb-1

=3正-3技1

=-1.

18.为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某

校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温

通道进入校园.

（1）小亮从A测温通道通过的概率是《；

-3-

（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案;

（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可

得.

解：（1）小亮从A测温通道通过的概率是羡，

故答案为：名

（2）列表如下：

ABC

AA,AB,AC,A

BA,BB,BC,B

CA,CB,CC,C

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可

能，

所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为l=义.

93

19.如图，直线AB与相切于点C,04交。。于点£»,连结CD已知。0=8=5,

求AC的长.

【分析】连接OC,根据切线的性质得到NACO=90°,根据等边三角形的性质得到0C

=5,N4OC=60°,由直角三角形的性质即可得到答案.

解：连接。C,

•.•直线AB与相切于点C,

AZACO=90°,

'：OD=OC,0D=CD=5,

.•.△OOC是等边三角形，

：.0C=5,/AOC=60°,

:.AC=®C=5&.

20.如图，已知抛物线＞=/+加+。经过点A(-1,0),B(3,0).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到一条新的抛物线，设新抛物

线的顶点为C,点D(0,m)在y轴上，以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E、F

恰好都在新抛物线上，试求〃1的值.

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

(2)根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，即可求得C(0,0),根据正方形

的性质即可求得呆，F(Xn,夕)，代入解析式即可求得机的值.

解：(1)•.•抛物线y=f+加;+c经过点4(-1,0),B(3,0).

.(l-b+c=0

19+3b+c=0

解得归2,

1c=-3

...抛物线的解析式为-2x-3；

(2)\'y=x2-lx-3=(x-1)2-4,

将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到y=(x-1+1)2-4+4,即)，=

X2,

：.C(0,0),

•.•点。(0,m)在)，轴上，以C。为对角线的正方形CED尸的顶点E、尸恰好都在新抛

物线上，

：.CD=m,Ef〃x轴，且E、尸关于y轴对称，

'.E(--m,—m),F(,—m,—m),

2222

24

解得〃?l=2,7/12=0(舍去)，

：.m的值为2.

21.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，经试销

发现，该种洗手液每天的销售单价与销售量的对应关系如表所示：

销售单价(元/1617181920

瓶）

销售量（瓶）200180160140120

根据表中数据，解答下列问题：

（1）从表中可以发现，该洗手液的销售单价每增加1元，销售量减少20瓶:

（2）当销售单价为多少元时，才能使当天销售这款“免洗洗手液”的利润最大，最大利

润为多少元？

【分析】（1）由表格可得答案；

（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出卬

关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.

解：（1）该洗手液的销售单价每增加1元，销售量减少20瓶，

故答案为：20；

（2）设每天的销售利润为w元，则有：

w=[200-20（x-16）J（x-16）=-20f+840氏-8320=-20（x-21）2+500,

■:a=-20<0,

二次函数图象开口向下，

.•.当x=21时，w有最大值，最大值为500元.

答：当销售单价为21元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为

500元.

22.阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（a+p）=sinacosp+cosasinp,tan（a+p）

=tan£+tan^_利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的

1-tanCltanP

1守3^3.

和(差)，如tan75°=tan(30°+45°)=tan450+tan30

l-tan45°tan30°V33-/3

l-i'T

2+V3-

问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题.

(1)求sin75°；

（2）如图，边长为2的正AABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240。时，C点的位置在

C,当△ABC滚动480°时，A点的位置在4'.

①求tan/CAC'的值；

②试确定ZC4C'+ZCAA'的度数.

B—C5,A'

【分析】(1)把75°转化为30°+45°,再套入公式即可；

(2)①过C'作C'EL于E,根据等边三角形的性质可得C'E和4E的长，再根据

正切的定义可得答案;

②根据①的思路得到tanZCA4)的值，再利用tan(a+p)tana+tanB代入可得答

1-tanCI.tanB

案.

解：(1)sin750=sin(30°+45°)

=sin30°,cos45°+cos30°*sin45°

千乌乐孚

2222

""4；

(2)①过U作CE_U于E,

ZXABC是等边三角形且边长为2,

：.C'E=«,AE=2+2+l=5,

：.tanZCAC=2^=返；

AE5

②过A'作4'F_U于尸,

•；AABC是等边三角形且边长为2,

：.A'F=M，A尸=2+2+2+2+l=9,

../cA'F如

..tanZCAA=------=--.

AF9

设NC4C'=a,ZCAA'=p,

返也

.(tanCI+tanP59V3

tan(a+p)=------------^-=---产-----L=4—,

l-tan^*tanpv3\33

1廿丁

，a+B=30°,

AZCAC+CAA'=30°.

23.如图①，在矩形ABC。中，A8=4,BC=m(机＞1),点E、尸分别在边A。、ABk,

且AE=1.

(1)当，w=3,AF：FB=\：3时，求证：△AEFS/\BFC；

(2)当机=3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使△4石尸与以点8、尸、

C为顶点的三角形相似的点F(请保留画图痕迹)；

(3)探究：对于每一个确定的机的值，线段AB上存在几个点F,使得△AEF与以点B、

尸、C为顶点的三角形相似？(直接写出结论即可)

图①

【分析】(1)证明△BFC都是等腰直角三角形，可得结论.

(2)加=3.5时，线段AB±AAEF与△BCF的相似点尸有3个.构造等腰直角三角形

或利用辅助圆解决问题即可.

(3)分相似点为1个，2个，3个三种情形，讨论求解即可.

【解答】(1)证明：如图①中,

图①

•.•四边形A8C。是矩形,

AZA=ZB=90",

•：AE=\,BC=3,AB=4,AF：FB=1：3,

：.AF=l,BF=3,

：.AE=AF,BF=BC,

：./\AEF,△BFC都是等腰直角三角形,

:.XAEFSMBFC.

(2)解：机=3.5时，线段AB上△4后尸与ABC尸的相似点尸有3个，理由如下：

延长。4,作点E关于A8的对称点E',连接CE',交AB于点尸1；连接CE,以CE

为直径作圆交AB于点尸2、如图：

E'

•••点E关于AB