专题03三角函数的图象与性质（考点清单8个题型解读）

清单03三角函数的图象与性质（8个题型解读）【考点题型一】用“五点法”作三角函数的图像1.用五点法作函数y＝sinx的图像的步骤(1)列表，由x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π求出y的值，得到“五点”坐标．(2)在同一坐标系中描出各点．(3)用光滑曲线连接这些点，所成图像即为所求．2.用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的注意点(1)用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，五个点应是同一个周期内使函数取得最大值、最小值的点以及曲线与x轴相交的点．(2)画y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标．3.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的画法(1)五点法列表如下：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Acos(ωx＋φ)A0－A0A(2)图像变换法由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换过程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径．【例1】．（2324高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.

(1)求的最小正周期；(2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由周期的计算公式即可求值，（2）由五点作图法即可求解.【详解】（1）的最小正周期.（2）由（1），列对应值表如下：通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数，的简图如图所示：

【变式11】．（2324高一下·北京怀柔·期中）已知函数满足.(1)求的值；(2)用五点法画出函数在一个周期上的图象；(3)根据（2）得到的图形，写出函数的图象的对称轴方程与对称中心的坐标.【答案】(1)；(2)见解析；(3)对称轴为：，；对称中心为：,【分析】（1）由特殊角三角函数直接求解；（2）结合五点作图进行列表描点即可作图得解；（3）结合正弦函数的对称性即可求解对称轴及对称中心；【详解】（1），即，又，则；（2）列表如下：00100描点连线，图像如下：（3）令，，解得，，可得函数对称轴为：，．令，，解得，，可得函数对称中心为：,.【变式12】．（2223高一下·北京延庆·期中）已知函数．(1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表：0200(2)求与的交点坐标；(3)若对对任意都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)，.(3)【分析】（1）根据三角函数的五点作图法，即可求解；（2）令，即，求得方程的解，进而得到交点坐标；（3）因为，求得，得到函数最值，结合题意，转化为，即可求解.【详解】（1）解：根据三角函数的五点作图法，可得：00200（2）解：由函数，令，即，可得或，解得或，所以与函数的交点坐标为，.（3）解：因为，可得，所以，当时，即时，；当时，即时，，对任意都有成立，即，所以，所以实数的取值范围.【变式13】．（2223高一下·内蒙古呼和浩特·期中）设函数的最小正周期为.且.

(1)求和的值；(2)列表并填入数据，在给定坐标系中作出函数在上的图象；(3)当时，若，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)表格见解析，图象见解析；(3).【分析】（1）利用最小正周期和，结合给定范围与三角函数性质即可求解；（2）列表描点即可得出答案；（3）由余弦函数的图像与性质解不等式即可得出答案.【详解】（1）函数的最小正周期为，且，，，，，，；（2）由（1）知，由，可得，列表如下：函数在上的图像如下图：

（3），即，，，则，，即，，的取值范围为.【考点题型二】判断三角函数的奇偶性函数奇偶性的判断方法(1)看函数的定义域是否关于原点对称．(2)看f(x)与f(－x)的关系．【例2】．（2324高一上·浙江温州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式最有可能是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据定义域可排除AD，根据函数奇偶性排除B，即可得出答案．【详解】由题图可得在定义域内，AD选项的解析式的定义域为，故AD错误；B选项，的定义域为R，且，故为偶函数，故B错误；C选项，定义域为R，，故为奇函数，满足要求.故选：C．【变式21】．（2223高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则；【答案】/【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答.【详解】函数是奇函数，则，而，所以.故答案为：【变式22】．（2324高一下·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是．【答案】/【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数是偶函数，所以，解得，又，所以当时，的最小值是.故答案为：.【变式23】．（2324高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（

）A．2 B．6 C．10 D．14【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案.【详解】由题意知，因为为奇函数，所以，，因为为偶函数，所以，相加得，又因为，所以，当代入得，即，代入得，即，即；当代入得，即，代入得，即，即；因为在上没有最小值，设，则，所以，的最大值是6.故选：B【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系.【考点题型三】三角函数的对称性正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养．【例3】．（2324高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则．【答案】/【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得.【详解】由题意可得，即，又因为，所以.故答案为：.【变式31】．（2324高一下·湖北武汉·期中）下面关于函数叙述中正确的是（

）A．关于直线对称B．关于点对称C．在区间上单调递减D．函数的零点是【答案】B【分析】对于选项A：代入检验是否为最值即可判断；对于选项B：直接代入即可判断；对于选项C：求出的单调增区间即可判断；对于选项D：令求出零点，即可判断.【详解】由，所以A错，B对；由，所以，又不是子集，故C错；由，故D错；故选：B【变式32】．（2324高一上·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根据周期公式求出，再由对称性确定的值，即可得到函数解析式，最后代入计算可得.【详解】因为的最小正周期为满足，所以，解得，又的图象关于点中心对称，所以，所以解得，当时，所以，则.故选：C【变式33】．（2324高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为．【答案】/【分析】由及得，或，结合的图象关于点对称，即可求出的最小值．【详解】由的图象关于点对称，得，由及得，或，当时，，由得的最小值为；当时，，由得的最小值为；综上所述，的最小值为；故答案为：．【变式34】．（2324高一上·广东深圳·期末）已知函数（其中）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是.【答案】.【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，计算可得.【详解】由题意可得：的最小正周期，∵，且，则为的一条对称轴，∴，解得，又∵，则，，故，∵，则，若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，则，解得，故的取值范围是.故答案为：.【变式35】．【多选】（2324高一下·四川达州·期中）已知函数，恒成立，且在区间上单调，则（

）A．是偶函数 B．C．只能为奇数 D．的最小值为1【答案】BCD【分析】根据题意结合正弦函数的性质可求出的表达式，可判断C；由此结合正弦函数的奇偶性可判断A；根据正弦函数对称性判断B；利用在区间上单调，可判断D.【详解】由于函数，恒成立，故①，，②故②①得，故为奇数，，即不可能为偶函数，A错误；由题意可知，即为函数的对称轴，故，B正确；由A的分析知，即只能为奇数，C正确；在区间上单调，故，则，又为奇数，，当时，，，当时，，由于在上不单调，此时在上不单调；当时，，，当时，，由于在上不单调，此时在上不单调；当时，，，当时，，由于在上单调递增，此时在上单调递增，符合题意，当时，，，当时，，由于在上单调递增，此时在上单调递增，符合题意，故的最小值为1，D正确，故选：BCD【考点题型四】三角函数的单调性及应用利用正弦函数单调性比较大小的步骤(1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(2)二比较：利用函数的单调性比较大小．【例4】．（2324高三上·北京·期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A：函数定义域为，故函数不具有奇偶性，故A错误；对于B：函数为奇函数且在定义域上单调递增，故B正确；对于C：函数为奇函数，但是在定义域上不具有单调性，故C错误；对于D：函数定义域为，故函数不具有奇偶性，故D错误；故选：B【变式41】．（2223高一下·北京延庆·期中）设，，，则A． B． C． D．【答案】C【分析】由结合三角函数单调性即可比较大小.【详解】因为，所以，即.故选：C.【变式42】．（2324高三上·河北沧州·期中）已知函数的一个对称中心为，若函数在上单调递减，则可取（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意，利用三角函数的性质，求得，再由在上单调递减，得到，结合选项，即可求解.【详解】由函数的一个对称中心为，可得，则，解得，因为，所以，所以，所以当，因为在上单调递减，则，解得，结合选项，只有A选项，符合题意.故选：A.【变式43】．（2324高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是.（填写一个正确答案即可）【答案】内任取一个【分析】先根据函数在上单调递减，得到求出，再结合，得到不等式组，求出且，，从而得到答案.【详解】，在上单调递减，故，解得，当时，，所以且，，解得且，，结合，可知只有当时，符合要求，综上，.故答案为：内任取一个【变式44】．（2324高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解.【详解】在上为严格增函数，则，由于，则,故，因此，解得，故答案为：【变式45】．【多选】（2324高三下·江西·阶段练习）已知函数，则（

）A．在区间上单调递增 B．对C．关于点对称 D．将的图象向左平移个单位长度，所得到的函数是偶函数【答案】AC【分析】对于A：求出的范围，再根据正弦函数的单调性判断；对于B：计算的值是否是最大值即可；对于C：计算是否成立即可；对于D：平移后计算是否取最值即可.【详解】当时，，因为是正弦函数的单调递增区间，所以在区间上单调递增，选项正确;，B选项错误;，C选项正确;将的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，其中，不是函数最值，轴不是函数图象的对称轴，不是偶函数，D选项错误.故选：AC.【考点题型五】求三角函数的值域或最值1.与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法(1)求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．(2)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．2.与余弦函数相关的值域(最值)问题的解法(1)对于y＝acosx＋b的形式，借助余弦函数的有界性|cosx|≤1求解．(2)对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的形式，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cost的图像及性质求解，注意x的取值范围对t的影响．(3)对于y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d)的形式，采用分离常数法或反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求解．(4)对于y＝acos2x＋bcosx＋c的形式，利用二次函数的有关知识求解．【例5】．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解.【详解】因为，则，则，令，所以，，则，则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，当时，；当时，，则.因此，当时，则函数的值域为.故选：D.【变式51】．（2324高一下·北京怀柔·期中）函数的值域为.【答案】【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得.【详解】由正弦函数的性质可知，当，当时，；当或时，，故值域为.故答案为：【变式52】．（2324高三上·河北石家庄·期中）已知函数，，若函数的值域为，则.【答案】/【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】因为，则，则，则，即，则.故答案为：.【变式53】．（2324高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为．【答案】【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果.【详解】当时，，，当时，；当时，；，的值域为.故答案为：.【考点题型六】三角函数性质、图像的应用函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质名称性质定义域R值域[－A，A]对称性对称中心(x1,0)有ωx1＋φ＝kπ(k∈Z)，对称轴x＝x2有ωx2＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)奇偶性当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间【例6】．（2324高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是．【答案】【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案.【详解】设，其中，则，于是．因为是中点，所以，即或，又因为，所以，即点的纵坐标是.故答案为：.【变式61】．（2324高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其图像性质列不等式求解.【详解】因为，所以函数的最小正周期．因为在区间上有5个零点，所以，即，可得；故答案为：.【变式62】．（2324高一上·山西太原·期末）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.【详解】令，则，当时，，由题意可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【变式63】．（2324高三上·辽宁丹东·期中）函数，在上恒有4个零点，则的值为．【答案】/1.5【分析】构造函数，将问题转化为与的图象有4个交点，结合图象即可得解.【详解】恒有4个零点，等价于且有4个零点，令，则问题转化为与的图象有4个交点，作出与的大致图象，如图，

结合图象可知，恰好是的时，满足题意，即，所以．故答案为：.【变式64】．（2324高一上·江苏·期末）设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是【答案】【分析】根据条件求出周期为，可得，求得t的取值范围.【详解】因为为奇函数，所以，所以，又因为，所以，，所以是周期函数，周期为，所以，因为，所以，即，，根据单位圆中的三角函数线可得：，，故答案为：【考点题型七】三角函数的图像变换三角函数的图像变换问题的分类及解题策略(1)已知两个函数解析式判断其图像间的平移或伸缩关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位或伸缩的量．(2)确定函数y＝sinx的图像经过变换后图像对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值．【例7】．（2324高一上·浙江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（

）A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可求得答案.【详解】由于，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位，故选：D【变式71】．（2324高一下·江苏常州·期中）将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则（

）A．，的最小值为 B．，的最小值为C．，的最小值为 D．，的最小值为【答案】A【分析】由题意利用的图象变换规律及诱导公式，可得，且，即可得的最小值.【详解】由题意得，由点向左平移个单位长度得到点，可得，代入可得，则或，即或，.又,所以的最小值为.故选：A.【变式72】．（2324高二下·上海·期中）设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平移变换法则得，由题意在上有且仅有两个零点，由此可列出关于的不等式组，解出不等式组即可得解.【详解】将的图象向左平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为，注意到，则当时，，由题意在上有且仅有两个零点，这意味着，且显然，也就是说，解得.故选：A.【变式73】．（2021高三上·吉林·期中）已知曲线C1：，C2：，则错误的是（

）A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线【答案】D【分析】利用函数的图象变换规律对各个选项进行检验即可.【详解】对于A.上各点横坐标缩短到原来的倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，正确；对于B.上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，正确；对于C.向左平移个单位长度，得到，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到，正确；对于D.向左平移个单位长度，得到，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到，错误.故选：D【变式74】．【多选】（2024·贵州安顺·一模）已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减D．函数在上有2个零点【答案】BCD【分析】根据题意，由条件可得，即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为的图像关于原点对称，则，解得，又，则时，，所以，故A错误；因为，所以的图像关于点对称，故B正确；当时，则，且函数在单调递减，故C正确；令，即，解得，又，则，共两个零点，故D正确；故选：BCD【变式75】．（2223高一下·辽宁鞍山·期中）设，函数的最小正周期为π，且图象向左平移后得到的函数为偶函数．(1)求解析式．(2)若，求在上的单调递增区间．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角函数的周期和平移后的奇偶性得到解析式即可.（2）代入化简函数解析式，根据三角函数的单调性即可求得上的单调增区间.【详解】（1）函数的最小正周期，图象向左平移后得到的函数为，由已知，又，解析式为：.（2）由题要求的单调增区间，即求的单调减区间由得.在的单调增区间为：【考点题型八】由图像求解析式确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的策略(1)一般可由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.(3)可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx＋φ＝0作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点的ωx＋φ＝eq\f(π,2)或最低点的ωx＋φ＝eq\f(3π,2)来求解φ.【例8】．（2324高一下·湖北武汉·期中）函数的部分图象如图，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由图可知，分别求出后，由，得，结合的范围求出，最后得到函数表达式即可求解.【详解】由图可知，解得，又，所以，解得，注意到，从而，所以，所以.故选：B.【变式81】．（2324高一下·河南南阳·期中）已知函数的部分图象如