2019-2020学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.（4分）函数y=（x+l）2-2的最小值是（)

A.1B.-1C.2D.-2

2.(4分)若那么的值是（)

b3a+b

A.2B.-c.-D.-

5522

3.(4分)在RtAABC中，ZC=90°,己知a和A,则下列关系中正确的是（

A.c=asmAB.c=---C.c=acosAD.c=---

sinAcosA

4.(4分)如图，四边形ABC。内接于-0,若/A:NC=5:7,则/C=()

5.（4分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他

完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和

45%,则口袋中白色球的个数可能是（）

A.24B.18C.16D.6

6.（4分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24c〃z、30cm>36cm,要估做一个与它相

似的铝质三角形框架，现有长为2751、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，

从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边.截法有（）

A.0种B.1种C.2种D.3种

7.（4分）抛物线y=依2+a+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

-3-2-101

y-60466

容易看出，（-2,0）是它与尤轴的交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为（）

A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)

8.（4分）如图，将AABO的三边扩大一倍得到ACM（顶点均在格点上），它们是以点P为

位似中心的位似图形，则点尸的坐标是（）

A.(0,3)B.(0,0)C.(0,2)D.(0,-3)

9.（4分）如图，AB是的直径，且AB=4,C是上一点，将弧AC沿直线AC翻

折，若翻折后的圆弧恰好经过点O,万2314,V2«1.41,6^1.73,那么由线段A3、AC

和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）

C.3.8D.4.2

10.（4分）小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭.已知每份订单的配送费为3

元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满

60元减30元，满100元减45元.如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的

下单方式，那么他点餐的总费用最低可为（）

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）30元1

醋溜土豆丝（小）12元1

豉汁排骨（小）30元1

手撕包菜（小）12元1

米饭3元2

A.48元B.51元C.54元D.59元

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.（5分）正五边形的一个内角的度数是—.

12.（5分）已知两个相似三角形的相似比为2:5,其中较小的三角形面积是4,那么另一个

三角形的面积为.

13.（5分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则

sinZABC=.

14.（5分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线a和直线外一点尸.

求作：直线a的垂线，使它经过尸.

作法：如图2,

（1）在直线a上取一点A,连接PA;

（2）分别以点A和点尸为圆心，大于尸的长为半径作弧，

2

两弧相交于8,C两点，连接BC交尸A于点。；

（3）以点D为圆心，。尸为半径作圆，交直线。于

点E,作直线PE.

所以直线PE就是所求作的垂线.

图1图.2

请回答：该尺规作图的依据是.

15.（5分）如图，一抛物线与无轴相交于A,8两点，其顶点尸在折线段上移动,

已知点C,D,E的坐标分别为（-2,8）,（8,8）,（8,2）,若点3横坐标的最小值为0,则点

A横坐标的最大值为.

3

16.（5分）如图，在AA8C中，ZACB=90°,sinB=-,将AA2C绕顶点C顺时针旋转,

5

得到与G，点A、8分别与点4、片对应，边A瓦分别交边AB、BC于点、D、E,如

果点E是边A耳的中点，那么=

三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12

分，第24题14分，共80分）

17.（8分）计算：4sin300-V2cos45o+tan260°.

18.（8分）已知抛物线丫=2尤2+彳_工.

,22

（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与无轴的两个交点为A、B,求线段的长.

19.（8分）如图，在四边形A3CZ）中，AD//BC,ZB=ZACB,点、E,尸分别在AB,BC

上，且NEFB=ND.

(1)求证：AEFB^ACDA；

(2)若A3=20,AD=5,BF=4,求EB的长.

20.（8分）“红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天

从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，

且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三

个路口抬头看到交通信号灯.

（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况；

（2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.

21.（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶.道路A8段为监

测区，C、。为监测点（如图）.已知C、D、3在同一条直线上，且AC_L8C,CD=400

米,tanAADC=2,NABC=35°.

（1）求道路AB段的长；（精确到1米）

（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超

速，并说明理由.（参考数据：sin35°®0.57358,cos35°»0.8195,tan35°~0.7）

22.（12分）如图1,的直径=点C为线段AB上一动点，过点C作AB的垂

线交■。于点D，E,连结AD,AE.设AC的长为xc%,AAZJE的面积为yen?.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小

东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题：

(1)通过对图1的研究、分析与计算，得到了y与x的几组对应值，如下表:

x/cm00.511.522.533.54

y/cm00.71.72.9a4.85.24.60

请求出表中小东漏填的数a；

(2)如图2,建立平面直角坐标系xOy,描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大

致图象;

(3)结合画出的函数图象，当AAZJE的面积为4c7/时，求出AC的长.

23.(12分)已知：AA8C中，点。为边8c上一点，点E在边AC上，＞ZADE=ZB.

(1)如图1,若AB=AC,求证：一=——；

CDAC

(2)如图2,若=求证：—=—；

CDAE

(3)在图2的条件下，若ND4c=90。，且CE=4,tanZBAD=-,HOAB=

2

24.（14分）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点。是边OA

的中点，连接CD,点E在第一象限，且。E_LDC,DE=DC.以直线AB为对称轴的

抛物线过C,E两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为f秒.过点尸

作尸尸，C。于点尸，当f为何值时，以点P,F,。为顶点的三角形与ACOD相似？

（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M,N,使得以点M,

N,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）

L（4分）函数y=（x+iy-2的最小值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

解：根据二次函数的性质，当x=T时，二次函数y=（尤-1）2-2的最小值是-2.

故选：D.

2.（4分）若@=?，那么的值是（）

b3a+b

2335

A.-B.-C.-D.-

5522

解：

b3

73

b=—a，

2

•a=a_—2.

a+b35'

ciH—a

2

故选：A.

3.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,已知Q和A,则下列关系中正确的是（）

A.c=asinAB.c=--------C.c=acosAD.c=-------

sinAcosA

/2__2

解：直角三角形中，sinA=-,cos.=Yc,

cc

.•.可以求得c=」L_,故2选项正确，

sinA

故选：B.

4.（4分）如图，四边形ABC。内接于一，若/A:NC=5:7,则/C=（）

A.210°B.150°C.105°D.75°

解：ZA+ZC=180°,NA:NC=5:7,

7

AZC=180°x------=105°.

5+7

故选：C.

5.（4分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他

完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和

45%,则口袋中白色球的个数可能是（）

A.24B.18C.16D.6

解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%,

摸到白球的频率为1-15%-45%=40%,

故口袋中白色球的个数可能是40x40%=16个.

故选：C.

6.（4分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm>36cm,要估做一个与它相

似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45aH的两根铝材，要求以其中的一根为一边，

从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边.截法有（）

A.0种B.1种C.2种D.3种

解：两根铝材的长分别为27cm、45cm,若45cm为一边时，

则另两边的和为27cm,27<45,不能构成三角形，

/.必须以27c机为一边，45cm的铝材为另外两边，

设另外两边长分别为％、y,则

（1）若27cm与24cm相对应时，

27_x_j

24-30-36?

解得：x=33.75cm,y=40.5cm,

x+y=33.75+40.5=74.25cm>45cm,故不成立；

（2）若275?与36sz相对应时，

27_x_y

36-30-24?

解得：x=22.5cm,y=18cm,x+y=22.5+18=40.5on<45on,成立；

（3）若27c机与300n相对应时,

27_x_y

30-36-24,

解得：x=32.4cm,y=21.6cm,x+y=32.4+21.6=54cm>45cm,故不成立；

故只有一种截法.

故选：B.

7.(4分)抛物线丁=⑪2+弧+。上部分点的横坐标也纵坐标y的对应值如下表:

-3-2-101

y-60466

容易看出，(-2,0)是它与无轴的交点，则它与无轴的另一个交点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)

解：根据题意，知抛物线产以2+6x+c上过点(-2,0)、(0,6)和(1,6),把它们代入方程,

得

4a-2b+c=0(1)

<c=6(2)

a+b+c=6(3)

a=-1

解得，b=1

c=6

抛物线方程是y=-f+x+6,

抛物线方程是>=-尤2+工+6与》轴的另一个交点就是方程-尤②+尤+6=0的另一个根，

，解方程，得

芯——2，%2=3

：.抛物线方程是y=-x2+x+6x轴的另一个交点是(3,0),

故选：C.

8.(4分)如图，将AABO的三边扩大一倍得到ACEO(顶点均在格点上)，它们是以点P为

位似中心的位似图形，则点P的坐标是()

A.(0,3)B.(0,0)(0,-3)

解：如图所示：P（0,-3）点即为所求点.

故选：D.

9.（4分）如图，是」的直径，且AB=4,C是“上一点，将弧AC沿直线AC翻

折，若翻折后的圆弧恰好经过点O,不。314,V2«1.41,V3®1.73,那么由线段AB、AC

和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）

C.3.8D.4.2

解：作OE_LAC交于F,交AC于E.连接08,BC.

由折叠的性质可知，EF=OE=-OF,

2

:.OE=-OA,

2

在RtAAOE中，OE=-OA,

2

/./CAB=30°,

AB是直径，

/.ZACB=90°,ZBOC=2ZBAC=60°,

AB=4,

BC=-AB=2,AC=V3BC=273,

2

线段AB、AC和弧所围成的曲边三角形的面积

X2

=T.AC.BC+S扇形QB。-S^OBC-T2#x2+——-x2=^/3+—3.8，

ZZJOU45

故选：c.

10.（4分）小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭.已知每份订单的配送费为3

元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满

60元减30元，满100元减45元.如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的

下单方式，那么他点餐的总费用最低可为（）

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）30元1

醋溜土豆丝（小）12元1

豉汁排骨（小）30元1

手撕包菜（小）12元1

米饭3元2

A.48元B.51元C.54元D.59元

解：小敏应采取的订单方式是60一份，30一份，

所以点餐总费用最低可为60-30+3+30-12+3=54（元）.

答：他点餐总费用最低可为54元.

故选：C.

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.（5分）正五边形的一个内角的度数是_108。

解：正多边形的内角和公式为：（“-2）x180。，

.♦.正五边形的内角和是：（5-2）x180°=540°,

则每个内角是：540+5=108°.

12.（5分）已知两个相似三角形的相似比为2:5,其中较小的三角形面积是4,那么另一个

三角形的面积为25.

解：设另一个三角形的面积为尤，

由题意得，—=（-^）2,

解得x=25.

故答案为：25.

13.（5分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，贝”inNABC=

.1AB2=8,bC2=10,AC2=2；

AB2+BC2=AC2,

.1AA8C是直角三角形，且ZABC=90。,

AC

sin/ABC=

BCVio-5

故答案为工i.

5

14.（5分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线a和直线外一点P.

求作：直线a的垂线，使它经过P.

作法：如图2,

（1）在直线a上取一点A,连接PA；

（2）分别以点A和点尸为圆心，大于工AP的长为半径作弧，

2

两弧相交于8,C两点，连接BC交24于点。;

(3)以点。为圆心，。尸为半径作圆，交直线a于

点E,作直线PE.

所以直线PE就是所求作的垂线.

图1

请回答：该尺规作图的依据是直径所对的圆周角是直角.

解：由作图知，点E在以PA为直径的圆上,

所以NPEA=90。,

则PE_L直线a,

所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，

故答案为：直径所对的圆周角是直角.

15.(5分)如图，一抛物线与x轴相交于A,B两点,其顶点P在折线段CD-DE上移动,

已知点C,D,E的坐标分别为(-2,8),(8,8),(8,2),若点8横坐标的最小值为0,则点

解：由图可知，当点8的横坐标取得最小值。时，抛物线的顶点在点C处,

设此时抛物线的解析式为y=g+2)2+8,

点2(0,0)在抛物线上，

0=a(0+2)2+8,得a=-2,

当点A的横坐标取得最大值时，抛物线的顶点在点E处,

此时抛物线的解析式为y=-2(x-8)2+2=-2(x-7)(尤-9),

，此时与尤轴的交点为(7,0),(9,0),

二.此时点A的坐标为(7,0),

.•.点A的横坐标的最大值是7,

故答案为：7.

16.(5分)如图，在A4BC中，ZACB=90°,sinB=-,将A4BC绕顶点C顺时针旋转，

5

得到△AAG，点A、2分别与点A、片对应，边A片分别交边AB、BC于点E,如

果点E是边4片的中点，那么AD：DB=_9_.

Ar3

解：ZACB=90°,sinB=—=-,

AB5

设AC=3x,AB=5x,

BC=&5x)2_(3劝2=4尤,

将\ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A四C,

CB[=BC=4x,44=5x,NACB=Z.AiCBl,

点E是A用的中点，

CE=544=2.5x=B[E=%E,BE=BC—CE=1.5x,

ZB=ZB】,/CEB】=/BED

ACEB^ADEB

DEDBBE1.5x_3312

DB=-BC=

~CEX—x,

B}CBXE2.5x55

3

:.DE=-CE=1.5x,

5

A。=AE=—DE=x,

•_Ai_D—__x_=_5_.

DB-12-12,

—X

5

故答案为：—.

12

三、解答题(本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12

分，第24题14分，共80分)

17.(8分)计算：4sin300-V2cos45°+tan260°.

i6

解：原式=4xV2x-----1-(V3)2=2—1+3=4.

22

18.(8分)已知抛物线y=.

22

(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段的长.

解：(1)y=—x2+x——=—(x+1)2—3,

-222

，抛物线的顶点坐标为(-1,-3),

对称轴是直线了=-1；

(2)当y=0时，-x2+x--=0,

22

解得：石=-]+y/6,x2=-1-A/6,

AB=|Xj-x21=2^/6.

19.(8分)如图，在四边形ABC。中，ADIIBC,NB=NACB,点、E,尸分别在AB,BC

上，MZEFB=ZD.

(1)求证：AEFBs^CDA；

(2)若AB=20,AD=5,BF=4,求EB的长.

NB=ZACB,

AD//BC,

ZDAC=ZACB,

ZB=ZDAC,

ZD=/EFB,

AEFBSACDA；

(2)NEFBsNCDA,

BE_BF

,AC-AP'

AB=AC=20,AD=5,BF=4,

BE=16.

20.（8分）“红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天

从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，

且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三

个路口抬头看到交通信号灯.

（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况；

（2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.

解：（1）画树状图如下：

红绿

由图可知，共有8种等可能的结果;

（2）共有8种等可能的结果，小明途经三个路口都遇到红灯的有1种，

，小明途经三个路口都遇到红灯的概率是工.

8

21.（10分）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶.道路48段为监

测区，C、。为监测点（如图）.已知C、D、3在同一条直线上，且AC_L8C,CD=400

米，tanZADC=2,ZABC=35°.

（1）求道路AB段的长；（精确到1米）

（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过段的时间为90秒，请判断该车是否超

速，并说明理由.(参考数据：sin35°®0.57358,cos35°»0.8195,tan35°~0.7)

解：⑴AC±BC,

/.ZC=90°,

Ar

tanZADC=——=2,

CD

CD=400,

/.AC=800,

在RtAABC中,ZABC=35°,AC=800,

入1395米;

sin35°0.57358

(2)AB=1395,

1395

该车的速度==55.8版//?<60千米/时,

90

故没有超速.

22.（12分）如图1,的直径AB=4Si,点C为线段AB上一动点，过点C作的垂

线交"于点。，E,连结4。，AE.设AC的长为A/LDE的面积为yc/.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小

东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题：

（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了y与x的几组对应值，如下表:

x/cm00.511.522.533.54

y/cm00.71.72.9a4.85.24.60

请求出表中小东漏填的数a；

（2）如图2,建立平面直角坐标系xOy,描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大

致图象;

（3）结合画出的函数图象，当AAZJE的面积为4c7/时，求出AC的长.

解：（1）当x=2时，点C与点。重合，此时。E是直径，y=-x4x2=4.即a的值是4；

2

（3）函数图象如图所示:

（4）观察图象可知：当AAQE的面积为4c病时，4C的长度约为2.0或3.7cm

故答案为2.0或3.7.

23.（12分）已知：A48C中，点。为边5c上一点，点E在边AC上，&ZADE=ZB.

(1)如图1,若AB=AC,求证：——=——；

CDAC

(2)如图2,若AO=AE,求证：—=—；

CDAE

(3)在图2的条件下，若NZMC=90。，且CE=4,tanZBAD=-,则A3=述

2一5

【解答】证明：(1)ZADC=ZADE+ZEDC=ZB-^-ZBAD,ZADE=ZB,

EDC=ZBAD,

/.NBADSNCDE,

CE_BD

"'CD~~\B'

又AB=AC,

CEBD

…CD-AC；

(2)在线段A5上取一点尸，使DB=DF,

ZB=ZDFB=ZADE,

AD=AE,

.\ZADE=ZAEDf

ZAED=/DFB,

/BAD+ZBDA=180°-ZB,ZBDA+ZCDE=180。—/ADE,

/BAD=ZCDE,

ZAFD=180。—/DFB,/DEC=180。—ZAED,

NAFD=/DEC,

/SAFDsNDEC,

CEDF

…而一而‘

DB=DF,AD=AE,

CE_BD

,CD-AE；

(3)过点E作£F_LBC于尸，

/ADE=/B=45°,

/.ZBDA+ABAD=135。，ABDA+/EDC=135。，

/BAD=/EDC,

FF1

tanABAD=tanZEDF=——=—,

DF2

.•.设£/=%,DF=2x,贝!］。£=逐%,

在。。上取一点G,使NEGD=45。,

NBADSNGDE,

AD=AE,

ZAED=ZADE=45°,

ZAED=ZEDC+ZC=45°,ZC+ZCEG=45°,

ZEDC=ZGEC,

NEDCSNGEC,

CGEGCE

…CE-DE-CD'

.CG“4Vio

..-—p=-，C(jr=------，

445x5

又CE2=CD£G,

42=CD^Y~,CD=2屈,

.c4\/10_r--否r组_2A/10

2x+xH--------=2A/10,角牛x—----,

55

△BADSAGDE,

24.（14分）边长为2的正方形0ABe在平面直角坐标系中的位置如图所示，点。是边OA

的中点，连接CO,点石在第一象限，且。ELDC,DE=DC.以直线A3为对称轴的

抛物线过C,E两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸从点C出发，沿射线C2每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为f秒.过点尸

作尸尸，C。于点尸，当/为何值时，以点P,F,。为顶点的三角形与ACOD相似？

(3)点M为直线A8上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M,N,使得以点M,

N,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；

若不存在，请说明理由.

解：(1)方法一：

过点E作EG_Lx轴于G点.

四边形O48C是边长为2的正方形，。是04的中点,

OA=OC=2,OD=1,ZAOC=ZDGE=90°.

NCDE=90°,

:.ZODC+ZGDE=90°.

ZODC+ZOCD=90°,

ZOCD=NGDE.

ZCOD=ZDGE

在NOCD和AGED中-ZOCD=ZGDE,

DC=DE

\ODC=NGED(44S),

:.EG=OD=\,DG=OC=2.

二.点E的坐标为(3,1).

抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2,

.•.可设抛物线的解析式为y=。(无-2>+左，

将C、E点的坐标代入解析式，得

14〃+%=