上海市杨浦区2024届高三年级下册二模质量调研数学试卷（含答案解析）

上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知集合/=（0,4）,5=（1,5）,则/口8=.

2.设抛物线/=8x的准线方程为.

3.计算2-:i?=______（其中i为虚数单位）.

3+1

4.若sincz='，则cos2a=.

3----------------

5.已知二项式+其展开式中含/项的系数为.

6.各项为正的等比数列｛4｝满足：%=2,%+%=12,则通项公式为与=.

7.正方体ABCD-ABCn中，异面直线AB与0G所成角的大小为.

,、2"—1,xV0,

8.若函数g(x)=|\c为奇函数,则函数y=f(x),xe（0,+oo）的值域为

[y(x),x>o

9.设复数4与z2所对应的点为4与Z2,若4=l+i,z2=i-Zi,则「乙卜.

10.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰

有1人在这两天都参加的不同安排方式共有种.

11.某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米.现将

它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为

考虑安全隐患，堆放高度不得高于3;米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数

2

为.

OO-OT

12.已知实数。满足：①ae[0,2;t）；②存在实数6,c（a<6<c<2兀），使得。，b,c是等差数

列，cos6,cosa,cose也是等差数列.则实数。的取值范围是.

试卷第1页，共4页

二、单选题

13.下列函数中，在区间(0,+网上为严格增函数的是()

A./(x)=-lnxB.C./(x)=gD./(x)=—

14.已知实数。，b,d满足：a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是()

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩X服从正态分布"(loo,/)

(试卷满分为150分).统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的

3

7,则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为()

4

A.350B.400C.450D.500

16.平面上的向量£、石满足：同=3,问=4,£,九定义该平面上的向量集合

A={x^x+a\<\x+~b\,x-a>工•瓦给出如下两个结论：

①对任意"eZ，存在该平面的向量ZeN，满足卜-4=0.5

②对任意Ze/，存在该平面向量才任/，满足卜-2|=0.5

则下面判断正确的为()

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确

D.①错误，②错误

三、解答题

17.如图，P为圆锥顶点，O为底面中心，A,B,C均在底面圆周上，且AA8C为等边三

角形.

(1)求证：平面PQ4_L平面尸BC；

(2)若圆锥底面半径为2,高为2收，求点A到平面的距离.

试卷第2页，共4页

18.已知/(x)=sincox{co>0).

⑴若y=/(x)的最小正周期为2兀，判断函数尸(x)=/(x)+/(x+攵的奇偶性，并说明理由；

7T

(2)已知。=2,中，a,b,c分别是角A,B,。所对的边，若/(N+§)=0,a=2,

b=3,求c的值.

19.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产

方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第

一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超

过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：分钟)

绘制了如下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式

31612355789

522170022478

4432218477

44322110901

(1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；

(2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率;

(3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2x2列

联表:

第一种生产方式第二种生产方式总计

优秀

合格

总计

根据上面的2x2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异?

n(ad-be)2

淇中〃=Q+b+c+d，P(z2>3.841)^0.05).

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

20.已知椭圆一5+。1(“>6>0)的上顶点为工(0,1),离心率e等，过点尸(-2,1)的

直线/与椭圆r交于8,C两点，直线/8、/C分别与X轴交于点“、N.

试卷第3页，共4页

⑴求椭圆r的方程；

(2)已知命题“对任意直线/,线段儿w的中点为定点”为真命题，求儿w的重心坐标；

(3)是否存在直线/,使得S△的=2Swc?若存在，求出所有满足条件的直线/的方程；若不

存在，请说明理由.(其中S/协、S"c分别表示小九w、"BC的面积)

21.函数了=/(x)、N=g(x)的定义域均为K,若对任意两个不同的实数。，b,均有

〃a)+g(6)>0或〃6)+g(a)>0成立,则称了=/(x)与了=g(x)为相关函数对.

⑴判断函数/卜)=尤+1与g(x)=f+l是否为相关函数对，并说明理由；

⑵已知/(X)=e、与g(x)=-x+左为相关函数对，求实数k的取值范围；

(3)已知函数了=/(x)与了=g(x)为相关函数对，且存在正实数对任意实数xeR,均有

求证：存在实数加,〃(加<〃)，使得对任意尤，均有/(无)+g(x)2-喘“

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.(1,4)

【分析】利用交集运算直接求解即可.

【详解】集合4=(0,4),8=(1,5),所以/c3=(l,4).

故答案为：（1,4）

2.x——2

【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.

【详解】由抛物线方程/=8芯可得20=8,则勺2,故准线方程为x=-2.

故答案为x=-2

【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.

r11.

3.------1

22

a+bi(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(bc-ad)

【分析】根据复数除法运算z=进行运算即可.

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

【详解】由题f

3+i(3+i)(3-i)1022,

故答案为：

7

4.-

9

17

【详解】cos2a=1-2sin2a=l-2x(—)2=—.

5.45

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得令r=2即可求解.

【详解】由题意知，（l+xT展开式的通项公式为&|=C；0K,

令r=2,得C；0=45,

即含x?的项的系数为45.

故答案为：45

6.2"

【分析】利用给定条件，求出等比数列｛%｝的公比，再写出通项公式.

【详解】设正项等比数列｛g｝的公比为%q>0,由%=2,%+%=12,得。闯+%才=12,

答案第1页，共11页

则+g_6=0,解得q=2,

所以a“=a/T=2".

故答案为：2"

7T

7.450/-

4

【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得.

【详解】正方体48GA中，CD//AB,因此/CD。异面直线与。G所成的角

或其补角，

而/£C£>=90\CD=CCl,因此ZCDQ=45°.

所以异面直线与所成角的大小为45。.

故答案为：45°

8.（0,1）

【分析】由奇函数定义可得了=/(x)解析式，即可求得值域.

【详解】当x>0时，-x<0,因为g(x)为奇函数，贝l|g(-x)=-g(x)=2T-l=1；j-1,所

以g(x)=l-(夕，所以/(==1一(夕，工«0,叱)时〃》)值域为(0,1).

故答案为：(0,1).

9.2

【分析】由题设结合复数的乘法求出Z2,再借助复数的几何意义求出结果.

【详解】依题意，z2=i-(l+i)=i-l,则Z2-Z]=i-1-(l+i)=-2,

所以|存卜馋；_西卜2.

故答案为：2

答案第2页，共11页

10.60

【分析】从5人中选1人两天都参加，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，并列

式计算即得.

【详解】从5人中选1人两天都参加，有C；种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、

周日参加，有A；种方法，

所以不同安排方式共有C;A；=5x12=60(种).

故答案为：60

11.134

【分析】由题设信息，第一层有加根，共有〃层，利用等差数列前〃项和公式列出关系式，

再借助整除的思想分析计算得解.

【详解】设第一层有加根，共有"层，则加+*1=2024,

〃(25+〃-1)=4048=2*xllx23,显然〃和2机+〃一1中一个奇数一个偶数，

「"=11]〃=161〃=23伍=11]〃=16\n-23

则2工加+,〃-1=326版8或，2m+,n-\1=2”532或1m=1776A'即1m=17Q9或1加=11Q9或I加=7777，

显然每增加一层高度增加56厘米,

\n=\\厂

当《，”时，6=10x5^+10^96.6厘米＜150厘米，此时最下层有189根；

\m=179

[n=16广

当｛-c时，〃=15X5G+10B139.9厘米＜150厘米，此时最下层有134根；

[加=119

伍=23厂3

当《"时，”=22x5/+10。200.52＞150厘米，超过二米，

[m=772

所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为134根.

故答案为：134

12.(arccosg,兀)

【分析】设等差数列6,c的公差为加，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得

tan竺=3tanb,由正切函数性质可得相随6增大而增大，再由。的临界值点得6=3+兀，代

22

入利用二倍角的余弦求解即得.

答案第3页，共11页

【详解】设等差数列。也。的公差为冽,a=b-m,c=b+m,依题意，cosa-cosb=cosc-cos”，

2b—m—TYI

于是cos(b-m)-cosb=cos(Z)+m)-cos(/7-m),整理得-2sin-----sin——=-2sinbsinm,

22

m

即nnsi-n(---b)sm—=si-nbzsi•nm=2cs.mb7si.n沈—cos—,因m止匕rrsi-n—cos匕i一cos—sinft=2sin/>cos—,

2222222

即有tan—=3tan6,则加随6增大而增大，而机>0

2

当ae(0,兀)，6€(私|^)时，c到达2兀时是临界值点，此时6=1+兀,

代入得2cos。=cost—+TT)+cos2TI,即2cos〃=-cos—+1,整理得4cos22+cos2—3=0,

2222

而3E(0巴)，解得cosg=3,贝!Jcosa=2COS2@-l=』，a=arccos—,

2224288

所以实数。的取值范围是。e(arccosi71).

o

故答案为：ae(arccos^,K)

o

【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析。的临界值点

是解决本问题的关键.

13.D

【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解.

【详解】对于A,函数/(x)=-In%在(0,+8)上单调递减，A不是;

,I\l-x,x<l

对于B,函数/(x)=x-1=17在(0,1］上单调递减，B不是；

对于C,函数〃x)=L在(°，+⑹上单调递减，C不是；

对于D,函数/0)=-工在(0,+oo)上为严格增函数，D是.

X

故选：D

14.C

【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【详解】对于ABD,取Q=2,b=l,c=—2,d=—4,满足。>b>0>c>d,

a+d=—2<—1—Z?+<?9ad——8<—2—be,cic=—4=bd,ABD专昔；

对于C,a>b>0>c>d,则a+c>6+d,C正确.

故选：C

15.B

答案第4页，共11页

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出成绩不低于120分的概率，再进行估计

得解.

【详解】依题意，P(80<X<120)=0.75,而X服从正态分布NQOO,工),

因此尸(X>120)=|-1P(80<X<120)=0.125,

所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为3200x0.125=400.

故选：B

16.C

【分析】根据给定条件，令Z=(3,0),各=(0,4),设以=(加,〃)，利用向量模及数量积的坐标

表示探求也”的关系，再借助平行线间距离分析判断得解.

【详解】由|万|=3,|1|=4,不妨令〃=(3,0),3=(0,4),设x=(九〃),

\x+a\<\x+b\9得|x+〃+司2,而x+〃=(冽+3,〃)，x+3=(冽,〃+4),

则(加+3)2+n2<m2+(麓+4)2,整理得6加-8〃-7<0,由得3冽一4〃〉0,

|0-(-7)1

平行直线6加一8〃-7二0和3加一4〃二0间的星巨离为d==0.7,

V62+82

到直线6冽-8〃-7=0和直线3冽-4〃=0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35,

如图，阴影部分表示的区域为集合A,因此无论2是否属于A,都有旨-q=0.5,

所以命题①②都正确.

故选：C

“八3m—4〃=。/

%机-8〃-7=0

【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向

量的坐标表示，利用代数方法解决.

17.(1)证明见解析

⑵2亚

答案第5页，共11页

【分析】(1)连接尸o,NO,根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推

理即得.

(2)连接尸作于证明AH_L平面尸BC,再计算即得.

【详解】(1)连接尸。，/。交3C于点由“8C为等边三角形，得。是的中心,

则/。工8C,

而尸。工平面/BC,BCu平面/BC,则尸。工3C,又尸0|"|/0=。,尸0,/0匚平面48。，

因此平面尸CM,又BCu平面P8C,

(2)连接尸M,作于H,由(1)知5C/平面尸CM,///u平面尸。/,则BC_L加/,

而2Cn尸"=M,2C,尸“u平面PBC,则AH1平面PBC,

显然M0=g/o=i,po=2V2»贝UPM=JPCP+〃。2=3=/〃，

ifnZAMH-ZPMO,于是■之RtA尸MO,因此/〃=尸0=20，

所以点A到平面尸3c的距离为2VL

18.(1)非奇非偶函数，理由见解析；

力3A/3±V7

【分析】(1)利用给定周期求出/(X),再利用奇偶函数的定义判断得解.

(2)利用已知求出角A,再利用余弦定理求解即得.

【详解】(1)由y=/(x)的最小正周期为2兀，得。=三=1,则注x)=sinx,

271

..71

于是F(x)=sinx+sin(x+—)=sinx+cosx,

F(-x)+F(x)=sin(-x)+cos(-x)+sinx+cosx=2cosxw0；

F(-x)-F(x)=sin(-x)+cos(-x)-sinx-cos%=—2sinxw0,

所以函数2x)非奇非偶函数.

答案第6页，共11页

(2)当①=2时，则/(x)=sin2x,/(/+?=sin(2Z+-^-)=0,

在。中，Q=2,6=3,则0＜4＜］，有＜2/+-,

于是2/+?=兀，解得/=自，由余弦定理得/=c?+62一2仍cos1，

36

即4=。?+9一3百c,整理得02一3戊+5=0,解得c=3=土⑺,

2

所以c=36±6.

2

19.(1)88.5

⑵工

v720

(3)有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异

【分析】(1)将这40个数据从小到大排列，取第30人和第31人时间的平均值即可.

(2)利用古典概型的方法即可求得概率.

(3)利用列联表代入公式即可.

【详解】(1)根据题意，将这40个数据从小到大排列，

61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78,

81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94

40x75%=30,故取第30人和第31人时间的平均值为配士丝=88.5；

2

(2)设选出的工人为优秀为事件A,第一种正产方式A的基本事件数是2个，

第二种生产方式A的基本事件数是10个，

所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为

P；=1

04。20-

(3)

第一种生产方式第二种生产方式总计

优秀21012

合格181028

总计202040

答案第7页，共11页

n(ad-be)?40(20-180)2

z2=«7.619>3,841,

(q+b)(c+d)(a+c)(b+d)12x28x20x20

故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异.

丫2

20.⑴1+/=i

4£

(2)

353

(3)x+2y=0

【分析】(1)依题意可得6=1,e=±=业,再由02=.2一62,即可求出。，从而得到椭圆

a2

方程；

(2)依题意不妨取直线/为夕=-云-1,联立直线与椭圆方程，求出8、C点的坐标，从而

求出M、N的坐标，再求出的重心坐标；

(3)设直线/：＞-1=左。+2)(左＜0),3区,乂)，C(x2,y2),联立直线与椭圆方程，消元、

列出韦达定理，由直线的方程得均，同理得到由面积的关系得到

+2(/+X2)+4=2，从而求出左.

2k

【详解】(1)依题意6=1,e=±=显,又°2=/-62,

a2

解得。=2,所以椭圆「的方程为?+/=1；

(2)因为命题“对任意直线/,线段血W的中点为定点”为真命题，

r2f__8

—+y2=1X-f=0

可以取直线/为尸-x-1,由4-，解得「或x,,

.3[了=一1

[y=-x-lJ^=-

所以4一%|1,C(0,-l),

贝/皿：＞=；工+1,所以可(一4,0),曝：x=0,所以N(0,0),

一1411

设的重心为G,贝U%=§(-4+0+0)=_§，PG=§(。+0+1)=§，

所以即A/AW的重心坐标为.

(3)依题意可得直线/的斜率存在、不为0且斜率为负数，

设直线/：y-l=《(x+2)(后＜0),2(项,弘)，C®,%)(国40,迎片0,必W1,%W1),

答案第8页，共11页

yVi—1—x,—Xc

则直线43：了-1=------无，令y=o,得X"=------同理可得：x=—二；

国7i-iNy2T

~-x-xx,x2x.-x

所以=97}7=77।c、779二厂z入7

%—1%一1k(5+2)k(x2+2)k(/+2)(X2+2)

设直线/与轴交于。点，则。(左+所以|/。|=左，，

V0,21),11-2S.=l|AGV|=y-『。、

2k(Xj+2)(x2+2)

S"8C=^\AQ\(X2-X1),

因为S/UMV=2S^BC>故得(再+2)(X2+2)=xYx2+2(Xj+x1)+^=—^(\),

y=kx+2k+\

2222

由，■-x2(1+4^)X+(16k+8A:)x+16^+16^=0,

——+y2=1

14

16左2+8左16/+16左

贝！JX]+%=—X,Xy=~

1+4左2121+4/

16〃+16左32〃+原+4,

代入①得解得后=±g，

2

1+4后21+4廿2k

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程，设交点坐标为(西,乂)、(%,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或>)的一元二次方程，必要时计算△；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为国+%、占々的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.(1)是，理由见解析；

(2)k>-l

(3)证明见解析;

【分析】(1)由.v=/(x)与y=g(x)不为相关函数对，得到;■(a)+g(b)V0且/•伍)+g(a)V0,

从而若为相关函数，由/(a)