高考物理一轮基础复习：7.2万有引力定律

高考物理一轮基础复习：7.2万有引力定律一、太阳与行星间的引力1．猜想行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关．2．模型简化行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．3．太阳对行星的引力F＝eq\f(mv2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πr,T)))eq\s\up20(2)·eq\f(1,r)＝eq\f(4π2mr,T2).结合开普勒第三定律得：F∝eq\f(m,r2).4．行星对太阳的引力根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝eq\f(M,r2).5．太阳与行星间的引力由于F∝eq\f(m,r2)、F′∝eq\f(M,r2)，且F＝F′，则有F∝eq\f(Mm,r2)，写成等式F＝Geq\f(Mm,r2)，式中G为比例系数．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．2．表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2).3．引力常量G：由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式F＝Geq\f(Mm,r2)中G是比例系数，与太阳、行星都没关系．(√)(2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律． (√)(3)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡． (×)(4)月球绕地球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的． (√)(5)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力． (×)2．行星之所以绕太阳运行，是因为()A．行星运动时的惯性作用B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转C．太阳对行星有约束运动的引力作用D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳C[行星之所以绕太阳运行，是因为受到太阳的吸引力．]3．两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为1×10－8N，若它们的质量、距离都增加为原来的两倍，则它们之间的万有引力为()A．4×10－8N B．1×10－8NC．2×10－8N D．8×10－8NB[原来的万有引力为：F＝eq\f(GMm,r2)，后来变为：F′＝eq\f(G·2M·2m,2r2)＝eq\f(GMm,r2)，即：F′＝F＝1×10－8N．故选B.]太阳与行星间引力的理解[观察探究]如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动．(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系？(3)行星对太阳的引力与太阳的质量是什么关系？提示：(1)因为行星受太阳的引力，引力提供向心力．(2)与行星的质量成正比．(3)与太阳的质量成正比．[探究归纳]1．两个理想化模型(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．2．推导过程(1)太阳对行星的引力(2)太阳与行星间的引力3．太阳与行星间的引力的特点：太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．【例1】(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是()A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知G＝eq\f(Fr2,Mm)，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力BD[由F＝eq\f(GMm,r2)，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，选项B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，选项A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，选项C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，选项D正确．]1．(多选)下列叙述正确的是()A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝meq\f(v2,r)，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝eq\f(2πr,T)，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式eq\f(r3,T2)＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用以上三个公式，都是可以在实验室中得到验证的AB[公式F＝meq\f(v2,r)中，eq\f(v2,r)是行星做圆周运动的加速度，故这个关系式实际上是牛顿第二定律，也是向心力公式，所以能通过实验验证，故A正确；v＝eq\f(2πr,T)是在匀速圆周运动中，周长、时间与线速度的关系式，故B正确；开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，故C、D错误．]万有引力定律的理解[问题探究]无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力．(1)公式F＝Geq\f(Mm,r2)中r的含义是什么？(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)计算出来吗？提示：(1)r指的是两个质点间的距离．(2)不能．万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定．[探究归纳]1．F＝Geq\f(Mm,r2)的适用条件(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离．(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离．2．万有引力的四个特性特性内容普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关【例2】如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且r＝eq\f(R,2)，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为多少？思路点拨：①由于大球体被挖去一小球体后，不能看成质点，不能直接应用万有引力定律．②设想将挖出的小球体放回大球体中，使之成为完整的均匀球体，则可应用万有引力定律算出完整球体与质点P之间的万有引力．③再求出挖出的球体对质点P的万有引力，将两个引力求差即可．[解析]设原球体质量为M，质点P的质量为m，球心与质点P之间的距离为r0，则它们之间的万有引力F＝Geq\f(Mm,r\o\al(2,0))被挖去的球的质量：m1＝eq\f(V小,V大)·M＝eq\f(\f(4π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(3),\f(4,3)πR3)·M＝eq\f(M,8)被挖去的球原来与质点P的万有引力F1＝Geq\f(m1m,r\o\al(2,0))＝Geq\f(\f(M,8)m,r\o\al(2,0))＝eq\f(F,8)所以，原球体剩余部分对质点P的万有引力变为F2＝F－F1＝eq\f(7,8)F.[答案]eq\f(7,8)F2．(多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列说法正确的是()A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C．m1和m2所受引力大小总是相等的D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力AC[引力常量G是由英国物理学家卡文迪什通过实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误．]万有引力与重力的关系[观察探究]假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点．(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？提示：(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心．(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心．[探究归纳]1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝Geq\f(Mm,R2).2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果．3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大．(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即Geq\f(Mm,R2)＝mrω2＋mg，所以mg＝Geq\f(Mm,R2)－mrω2.(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝Geq\f(Mm,R2).(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜Geq\f(Mm,R2)，重力的方向偏离地心．4．重力、重力加速度与高度的关系(1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，所以地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2).(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝Geq\f(Mm,R＋h2)，所以h高度的重力加速度g＝eq\f(GM,R＋h2).【例3】设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为()A.eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3) B.eq\f(GMT2,GMT2＋4π2R3)C.eq\f(GMT2－4π2R3,GMT2) D.eq\f(GMT2＋4π2R3,GMT2)A[在赤道上：Geq\f(Mm,R2)－FN＝meq\f(4π2,T2)R，可得FN＝Geq\f(Mm,R2)－meq\f(4π2,T2)R；在南极：Geq\f(Mm,R2)＝F′N，联立可得：eq\f(F′N,FN)＝eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3)，故选项A正确，选项B、C、D错误．]处理万有引力与重力关系的思路(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝Geq\f(Mm,R2).(2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg＝Geq\f(Mm,R2)；赤道处：mg＋F向＝Geq\f(Mm,R2).3．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq\f(1,2)g，则该处距地球表面的高度为()A．(eq\r(2)－1)R B．RC.eq\r(2)R D．2RA[设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝Geq\f(Mm,R2)，在高度为h处的重力eq\f(1,2)mg＝Geq\f(Mm,R＋h2)，解以上两式得：h＝(eq\r(2)－1)R，A正确．]课堂小结知识脉络1.牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动．2．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F＝Geq\f(m1m2,r2).3．引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，是英国物理学家卡文迪什通过实验测出的.【课堂同步练习】1．由万有引力定律可知，两个物体的质量分别为m1和m2，其间距为r时，它们之间万有引力的大小为F＝Geq\f(m1m2,r2)，式中G为引力常量．在国际单位制中，G的单位是()A．N·m2/kg2 B．kg2/(N·m2)C．N·m2/kg D．N·kg2/m2A[根据万有引力定律知F＝Geq\f(m1m2,r2)，则G＝eq\f(Fr2,m1m2)，可知G的单位为：N·m2/kg2＝N·m2·kg－2，故A正确．]2．(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的eq\f(1,4)，下列办法可以采用的是()A．使两物体的质量各减小一半，距离不变B．使其中一个物体的质量减小到原来的eq\f(1,4)，距离不变C．使两物体间的距离增大为原来的2倍，质量不变D．使两物体间的距离和质量都减小为原来的eq\f(1,4)ABC[由万有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，A、B、C选项中两物体间的万有引力都将减少到原来的eq\f(1,4)，而D选项中两物体间的万有引力保持不变，故应选A、B、C.]3．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝eq\f(m,r2)，行星对太阳的引力F′∝eq\f(M,r2)，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是()A．由F∝eq\f(m,r2)和F′∝eq\f(M,r2)，F∶F′＝m∶MB．F和F′大小相等，是作用力与反作用力C．F和F′大小相等，是同一个力D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力BD[F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.]4．关于万有引力F＝Geq\f(m1m2,r2)和重力，下列说法正确的是()A．公式中的G是一个比例常数，没有单位B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的eq\f(1,4)C．m1、m2受到的万有引力是一对平衡力D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力也变为原来的一半B[G的单位是N·m2/kg2，A错误；设地球质量为M，半径为R，则地球表面的重力加速度为eq\f(GM,R2)，到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为eq\f(GM,4R2)，所以B正确；m1、m2受到的万有引力是一对作用力与反作用力，C错误；根据万有引力公式，若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力应变为原来的4倍，D错误．]《7.2万有引力定律》同步训练一、行星与太阳间的引力r.天文观测测得行星公转周期为T，则向心力F＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r①根据开普勒第三定律：eq\f(r3,T2)＝k②由①②得：F＝4π2keq\f(m,r2)③由③式可知太阳对行星的引力F∝eq\f(m,r2)根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′∝eq\f(m太,r2)则行星与太阳间的引力F∝eq\f(m太m,r2)写成等式F＝Geq\f(m太m,r2).二、月—地检验1.猜想：地球与月球之间的引力F＝Geq\f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律a月＝eq\f(F,m月)＝Geq\f(m地,r2).地面上苹果自由下落的加速度a苹＝eq\f(F′,m苹)＝Geq\f(m地,R2).由于r＝60R，所以eq\f(a月,a苹)＝eq\f(1,602).2.验证：(1)苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8m/s2.(2)月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108m.月球公转周期T＝27.3d≈2.36×106s则a月＝(eq\f(2π,T))2r＝2.7×10－3m/s2(保留两位有效数字)eq\f(a月,a苹)＝2.8×10－4(数值)≈eq\f(1,602)(比例).3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律.三、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.2.表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量.四、引力常量牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.1.判断下列说法的正误.(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(√)(2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量.(×)(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大.(×)(4)把物体放在地球中心处，物体受到的引力无穷大.(×)(5)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力.(×)2.两个质量都是1kg的物体(可看成质点)，相距1m时，两物体间的万有引力F＝________N，其中一个物体的重力F′＝________N，万有引力F与重力F′的比值为________.(已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，取重力加速度g＝10m/s2)答案6.67×10－11106.67×10－12一、对太阳与行星间引力的理解导学探究1.是什么原因使行星绕太阳运动？答案太阳对行星的引力使行星绕太阳运动.2.在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动怎么简化处理的？用了哪些知识？答案将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律.知识深化万有引力定律的得出过程(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝eq\f(m,r2)，行星对太阳的引力F′∝eq\f(M,r2)，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是()A.由F′∝eq\f(M,r2)和F∝eq\f(m,r2)，得F∶F′＝m∶MB.F和F′大小相等，是作用力与反作用力C.F和F′大小相等，是同一个力D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力答案BD解析由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.二、万有引力定律导学探究(1)通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图1，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100kg，相距1m)间的万有引力我们却感受不到？图1(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？N，因引力很小，所以通常感受不到.(2)相等.它们是一对相互作用力.知识深化1.万有引力定律表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.2.万有引力定律公式适用的条件(1)两个质点间的相互作用.(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离.(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离.关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是()A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)计算C.由F＝eq\f(Gm1m2,r2)知，两物体间距离r减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大D.引力常量的大小是牛顿首先测出来的，且约等于6.67×10－11N·m2/kg2答案C解析任何两物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)来计算，B错；物体间的万有引力与它们之间距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪什首先精确测出的，D错.如图2所示，两球间的距离为r0.两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()图2A.Geq\f(m1m2,r\o\al(2,0)) B.eq\f(Gm1m2,r\o\al(2,1))C.eq\f(Gm1m2,r1＋r22) D.eq\f(Gm1m2,r1＋r2＋r02)答案D解析两个匀质球体间的万有引力F＝Geq\f(m1m2,r2)，r是两球心间的距离，选D.一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图3所示.已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：图3(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？答案(1)Geq\f(mm2,25r2)(2)Geq\f(41mm2,225r2)解析(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为F2＝Geq\f(mm2,d－r2)＝Geq\f(mm2,5r2)＝Geq\f(mm2,25r2)(2)将挖为F1＝Geq\f(8m·m2,6r2)＝Geq\f(2mm2,9r2)m2所受剩余部分的万有引力为F＝F1－F2＝Geq\f(41mm2,225r2).三、重力和万有引力的关系1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图4所示.图4(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝Geq\f(Mm,R2).(2)当物体在赤道上时：F′＝mω2R最大，此时重力最小Gmin＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f(Mm,R2).2.重力与高度的关系若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.3.特别说明(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq\f(Mm,R2).(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来.用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体.下列说法正确的是()A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq\f(Mm,R2)B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq\f(Mm,R2)C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)答案AC解析物体在两极时，万有引力等于重力，则有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则有F3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D错误.火星半径是地球半径的eq\f(1,2)，火星质量大约是地球质量的eq\f(1,9)，那么地球表面上质量为50kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10m/s2)(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航员在地球表面能跳1.5m高，那他在火星表面能跳多高？答案(1)222.2N(2)3.375m解析(1)在地球表面有mg＝Geq\f(Mm,R2)在火星表面上有mg′＝Geq\f(M′m,R′2)代入数据，联立解得g′＝eq\f(40,9)m/s2宇航员在火星表面上受到的重力G′＝mg′＝50×eq\f(40,9)N≈222.2N.(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝eq\f(v\o\al(2,0),2g′)综上可知，h＝eq\f(g,g′)H＝eq\f(10,\f(40,9))×1.5m＝3.375m.1.(对万有引力定律的理解)对于万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列说法正确的是()A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大C.对于m1与m2间的万有引力，质量大的受到的引力大D.m1与m2受到的引力是一对平衡力答案A解析万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，选项A正确；当r趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B错误；m1与m2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C错误；m1与m2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D错误.2.(月—地检验)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证()A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq\f(1,602)B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq\f(1,602)C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq\f(1,6)D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq\f(1,60)答案B3.(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为()A.2F B.4FC.8F D.16F答案D解析两个小铁球之间的万有引力为F＝Geq\f(mm,2r2)＝Geq\f(m2,4r2).实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量为m′，则eq\f(m′,m)＝eq\f(r′3,r3)＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝Geq\f(m′m′,2r′2)＝16F，故选D.4.(重力加速度的计算)据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为()A.eq\f(k,p)B.eq\f(k,p2)C.eq\f(k2,p)D.eq\f(k2,p2)答案B解析由mg＝Geq\f(Mm,R2)可知：g地＝Geq\f(M地,R\o\al(2,地))，g星＝Geq\f(M星,R\o\al(2,星))，eq\f(g星,g地)＝eq\f(M星,M地)·eq\f(R\o\al(2,地),R\o\al(2,星))＝eq\f(k,p2)，所以选项B正确.考点一万有引力定律的理解1.下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是()A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一种性质的力B.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力D.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比答案A2.(多选)关于引力常量G，下列说法中正确的是()A.在国际单位制中，引力常量G的单位是N·m2/kg2B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1kg的可视为质点的物体相距1m时的相互吸引力D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪什测出，与单位制的选择无关答案AC解析由F＝Geq\f(m1m2,r2)得G＝eq\f(F·r2,m1m2)，所以在国际单位制中，G的单位为N·m2/kg2，选项A正确；引力常量是一个常数，其大小与两物体质量以及两物体间的距离无关，选项B错误；根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1kg的可视为质点的物体相距1m时的相互吸引力，选项C正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪什测出，但其数值大小与单位制的选择有关，选项D错误.3.图1(a)是用来“显示桌(或支持)面的微小形变”的演示实验；图(b)是用来“测量万有引力常量”的实验.由图可知，两个实验共同的物理思想方法是()图1A.极限的思想方法 B.放大的思想方法C.控制变量的方法 D.猜想的思想方法答案B考点二万有引力定律的简单应用4.要使两物体间的万有引力减小到原来的eq\f(1,4)，下列办法不正确的是()A.使两物体的质量各减小一半，距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的eq\f(1,4)，距离不变C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变D.使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的eq\f(1,4)答案D解析根据万有引力定律可知F＝Geq\f(Mm,r2).使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的eq\f(1,4)，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的eq\f(1,4)，距离不变，则万有引力变为原来的eq\f(1,4)，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的eq\f(1,4)，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的eq\f(1,4)，则万有引力大小不变，D错误.5.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F.若此物体受到的引力减小到eq\f(F,4)，则此物体距离地面的高度应为(R为地球半径)()A.2RB.4RC.RD.8R答案C解析根据万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,R2)，由题意可知eq\f(1,4)F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，解得h＝R，选项C正确.6.地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq\f(g,2)，则该处距地球表面的高度为()A.(eq\r(2)－1)RB.RC.eq\r(2)RD.2R答案A解析设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，根据万有引力近似等于重力，则有eq\f(GMm,R2)＝mg，eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\f(g,2)，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(eq\r(2)－1)R，选项A正确.7.(多选)如图2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法正确的是()图2A.地球对一颗卫星的引力大小为eq\f(GMm,r－R2)B.一颗卫星对地球的引力大小为eq\f(GMm,r2)C.两颗卫星之间的引力大小为eq\f(Gm2,3r2)D.三颗卫星对地球引力的合力大小为eq\f(3GMm,r2)答案BC解析根据万有引力定律，地球与一颗卫星间的引力大小为F＝eq\f(GMm,r2)，A错误，B正确；三颗卫星等间隔分布，由几何关系可知任意两卫星之间的距离为eq\r(3)r，故两卫星之间的引力大小为F′＝eq\f(Gmm,\r(3)r2)＝eq\f(Gm2,3r2)，C正确；任意两卫星对地球引力的夹角为120°，故任意两卫星对地球引力的合力与第三颗卫星对地球的引力大小相等、方向相反，三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D错误.8.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为()A.1∶9B.9∶1C.1∶10D.10∶1答案C解析设月球质量为m，则地球质量为81m，月球球心距地球球心的距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球球心的距离为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则Geq\f(mm0,r′2)＝Geq\f(81mm0,r－r′2)，所以eq\f(r－r′,r′)＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确.9.如图3所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝eq\f(R,2)，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为()图3A.eq\f(F,2)B.eq\f(F,8)C.eq\f(7F,8)D.eq\f(F,4)答案C解析原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为eq\f(R,2)的球体的质量为原来球体质量的eq\f(1,8)，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－eq\f(F,8)＝eq\f(7,8)F.10.(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系.如图4所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动.如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则()图4A.每颗小星受到的万有引力为(eq\f(\r(3),2)＋9)FB.每颗小星受到的万有引力为(eq\r(3)＋9)FC.母星的质量是每颗小星质量的3倍D.母星的质量是每颗小星质量的3eq\r(3)倍答案BC解析假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，正三角形的边长为a，则小星绕母星运动的轨道半径为r＝eq\f(\r(3),3)a.根据万有引力定律：F＝Geq\f(mm,a2)，9F＝Geq\f(Mm,r2)联立解