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第四节常系数齐次线性微分方程一、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法三、小结一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数线性微分方程的一般形式是:称为二阶常系数线性非齐次微分方程.称为二阶常系数线性齐次微分方程；二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根一般地，我们有线性方程解的叠加原理.有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为求二阶常系数线性齐次方程的通解步骤如下：第一步：写出微分方程的特征方程

第二步：求出特征方程的两个特征根第三步：根据两个根的不同情况，写出方程的通解.（1）若是特征方程

的相异

的通解为：实根，则方程上一页下一页返回结束

的通解为：（2）若是特征方程

的两个相等实根，则方程（3）若是特征方程

的两个共轭复根，

的通解为：则方程上一页下一页返回结束定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1例2求方程满足初始条件的特解。解所给方程的特征方程为其根为所求方程的通解为将条件带入上式所求方程的特解为解特征方程为解得故所求通解为例3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)

特征根的情况

通解的表达式实根21rr¹实根21rr=复根bair±=2,1xrxreCeCy2121+=xrexCCy2)(21+=)sincos(21xCxCeyxbba+=1.求方程的通解.

的通解.2.

求方程解此方程的特征方程为

所求方程的通解为解此方程的特征方程为

上一页下一页返回结束练习的通解.3.

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