2025届高考数学一轮总复习考点突破第八章平面解析几何专题突破16圆锥曲线综合问题

专题突破16圆锥曲线综合问题核心考点精准突破考点一最值（范围）问题例1已知抛物线C：x2=8y，过点M0,4任作一条直线与C相交于A，（1）证明：BD//证明：依题意，设直线AB的方程为y=kx+4，点则直线AO的方程为y=令y=-4，可得联立y=kx+4显然Δ>0，由韦达定理，可得x所以x2=-32x1，所以（2）过抛物线C上任一点（原点O除外）作C的切线，分别与直线y=4，y=-4交于P，[答案]（方法一）设切点Ex因为y=x2则在点E处的切线方程为y-化简得y=x04x则S因为切点Ex0,y0在抛物线即x0=22S△PMQ=16故△PMQ的面积存在最小值，且为16（方法二）如图，设直线y=4与抛物线相交于点则S△将y=4代入x2=8y当点P与点N重合时，PMmin=4故当点N为切点时，△PMQ的面积存在最小值，且为16【点拨】①求与直线或与圆锥曲线有关的某个量的取值范围问题,依据已知条件建立关于该量的函数表达式,转化为求函数值域问题，要正确确定定义域.考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、化归与转化的数学思想等.②解析几何中的几何元素（点、直线、曲线）经常处于运动变化中,并且它们在运动变化中又互相联系、互相制约，这在数学上表现为相应变量之间的联系与制约.若问题中已知（或隐含）某变量的范围,则利用变量间的等量关系实现变量之间的相互转化,从而构造关于未知变量的不等式,即可求变量的取值范围或最值.变式1[2021年全国乙卷]已知抛物线C：y2（1）求C的方程;解：抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F(p2,（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF[答案]设Qx0,y0，又F由P在抛物线上，得10y02=410x0当y0=0时，kOQ=0当y0>0此时0<kOQ≤13，当且仅当25y0=综上，直线OQ斜率的最大值为13考点二定值问题例2已知椭圆E:x2a2+y（1）求椭圆E的标准方程.解：设椭圆E的方程为x24+y2=λ，将22,（2）直线l与椭圆E交于M，N两点，点P在椭圆E上,且OP=OM+证明：由OP=OM+ON,得四边形OMPN为平行四边形.①若直线MN的斜率不存在，要构成平行四边形，直线l的方程必为x=3或x=-②若直线MN的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，由x212+y23=1,y由OP=OM+ON，得Px1+x2,点O到直线l的距离为d=因为MN==1S▱综合①②，知四边形OMPN的面积为定值33【点拨】由特殊到一般法求定值问题的两个常用技巧.变式2已知O为坐标原点，过点M1,0的直线l与抛物线C：y2=（1）求抛物线C的方程.解：设直线l：x=my+1,与y2=2px联立并消去x,得y因为OA⋅所以OA⋅=m=1=1解得p=2.所以抛物线C的方程为（2）过点M作直线l'⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1证明：由（1）知，M1,0是抛物线C原点到直线l的距离d=所以S1因为直线l'过点1,0且l'⊥l，所以S2=2考点三定点问题例3已知抛物线C：y2=2px（1）求抛物线C的方程.解：因为椭圆x24+y依题意，p2=1，则p=2，所以（2）设P，M，N为抛物线C上的不同三点，点Px0,2，且证明：易知P1,2.设直线MN的方程为x=my+n，与抛物线的方程联立,得y2-4my则y1+y由PM⊥PN，则即x1即my整理得m2所以-4n化简得n2即n-解得n=2m+5当n=2m+5时，满足Δ>0，直线即为x-5=当n=-2m+1时，由Δ>0得m≠即为x-1=my-所以直线MN过定点5,-【点拨】圆锥曲线中定点问题有两种解法.①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，在直线过定点问题中体现为寻找过定点直线系方程.②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.变式3已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b（1）求E的方程.解：由题意,得e2=c2a2=a2-因此a=3，b=1.故E（2）设A在直线x=3上的射影为D，证明：直线证明：设Ax1,y1将x=ty+1代入显然Δ>0，所以y1+从而ty直线BD：y=故直线BD过定点2,考点四探究与证明问题例4已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和Cx3-242y-20-422（1）求椭圆C1，抛物线C解：设抛物线C2：y2=2pxp≠0，则有y2设椭圆C1将点-2,0，2,22所以椭圆C1的标准方程为x（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足OM⊥[答案]（方法一）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F1,0.设直线l的方程为x=my由x=my+1,x24+yx1由OM⊥ON，得即x1将①②代入③式，得4-4m所以存在直线l满足条件，且l的方程为y=2x-2（方法二）易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意.当直线l的斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F1设其方程为y=kx-1，与椭圆C1由x24+y得1+于是x1+xy1由OM⊥ON，得OM⋅将①②代入③式，得4k2-所以存在直线l满足条件，且l的方程为y=2x-2【点拨】①解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤为：先假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出，然后列出关于待定系数的方程（组）,若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在.②反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.③求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算.若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.变式4[2021年八省联考]双曲线C:x2a2-y2b2=1a（1）求C的离心率.解：设双曲线的半焦距为c，则Fc,0.当BF⊥AF时,B(c,±b2a)（2）若点B在第一象限，证明：∠BFA证明:设Bx0,y0因为e=2，所以c=2a，b=3a.则渐近线方程为y=±3易得tan∠BFAtan∠BAF所以tan2=2=2=-y因为2∠BAF∈(0,规范答题——解析几何解答题【范例】2023年全国乙卷文第21题理第20题（12分）已知椭圆C:y2a2+x（1）求C的方程；解：由题意可得b=2,a2=b所以椭圆C的方程为y29+x（2）过点-2,3的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N证明：由题意，可知直线PQ的斜率存在.（5分）（说明直线PQ的斜率是否存在.）设PQ:y=kx由y=kx+则Δ=64k2可得x1+x2=-8k2k+因为A-2,令x=0,解得y=2y同理可得N(0,2y2x2+2则2y=2k=32kk2+所以线段MN的中点是定点0,3.（12分）（【拆解】分类参考赋分难易审题要点考查内容第一问4分较易本题第（1）问是“送分题”,难度较小,直接列方程组并求解即可.第（2）问虽为定点问题,实质是定值问题,即求线段PQ的中点纵坐标为定值，求出坐标后代入计算化简是基本思路.在基础性的层次上考查运算求解关键能力，以及椭圆标准方程等必备知识.第二问8分难在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推理、运算求解等关键能力，考查数形结合思想、方程思想以及直线与椭圆的位置关系等必备