高考数学复习第九章　第四节　圆与圆的位置关系及圆的综合问题（导学案）

第四节圆与圆的位置关系及圆的综合问题【课程标准】1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【必备知识精归纳】圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则位置关系公共点个数d,R,r的关系公切线条数外离0d>R+r4外切1d=R+r3相交2R-r<d<R+r2内切1d=R-r1内含0d<R-r0点睛(1)上面是几何法判断两圆的位置关系,利用两圆的圆心距与两圆的半径和或差的绝对值之间的关系判断;(2)代数法判断两圆的位置关系,联立两圆组成方程组,依据解的情况判断两圆的位置关系.【常用结论】设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,1.若两圆相交,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③,方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.2.若两圆相切,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③,方程③表示圆C1与C2的公共切线所在直线的方程.3.过已知两圆C1和C2的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不含圆C2),其中λ为参数且λ≠-1.4.直线与圆相交时,弦心距d,半径r,弦长的一半12l满足关系式r2=d2+(12l)【基础小题固根基】教材改编结论应用易错易混1,34,52,61.(教材变式)圆C1:x2+y2-2y=0与圆C2:x2+y2-23x-6=0的位置关系为 ()A.外离 B.外切C.相交 D.内切解析：选D.圆C1:x2+y2-2y=0的圆心为C1(0,1),半径为r1=1.圆C2:x2+y2-23x-6=0的圆心为C2(3,0),半径为r2=3,所以|C1C2|=(3)又r2-r1=2,所以|C1C2|=r2-r1=2,所以圆C1与圆C2内切.2.(考虑不全面)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a= ()A.±213 B.±25C.0 D.±25或0解析：选D.圆C1:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆C2:(x+4)2+(y-a)2=25的圆心为(-4,a),半径为5.若两圆相切,分两种情况讨论:当两圆外切时,有(-4)2+a2=(1+5)2,解得a=±25;当两圆内切时,有(-4)2+a2=(1-5)2,解得a=0.综上可得,实数a的值为0或±25.3.(教材提升)圆x2+y2+4x-2y=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于A,B两点,则相交弦AB的垂直平分线的方程为 ()A.6x-2y+3=0 B.x+3y-1=0C.2x-2y+3=0 D.x-3y-1=0解析：选B.由题意,得两圆的圆心分别为M(-2,1),N(1,0),两圆相交弦的垂直平分线是通过圆心M,N的直线.由直线方程的两点式,得直线MN的方程为y-10-1=x+24.(结论1)若圆x2+y2+4x-4y-1=0与圆x2+y2+2x-13=0相交于P,Q两点,则直线PQ的方程为.

解析：两个圆的方程两端相减,可得2x-4y+12=0,即x-2y+6=0.答案:x-2y+6=05.(结论4)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为.

解析：由x2+y2-4=0又圆x2+y2=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为22=2由勾股定理得弦长的一半为4-2=2,所以所求弦长为2答案:226.(考虑不周全)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.

解析：圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2.依题意得0<a2所以0<|a|<22.所以a∈(-22,0)∪(0,22).答案:(-22,0)∪(0,22)题型一圆与圆的位置关系[典例1](1)已知圆M:x2+y2-2ax=8(a>0)截直线l:x-y=0所得的弦长为34.则圆M与圆N:x2+(y-1)2=4的位置关系是 ()A.内切 B.相交C.外切 D.相离解析：选B.圆M的圆心M(a,0),r=a2+8,弦心距d=a2,依题意(a2+8)2=(a2)2+(342)2,所以a2=1,故M(1,0),r=3,而N(0,1),半径R=2,所以|MN|=2<r+R,|(2)(多选题)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x-32+y+42=r2rA.若圆C1与圆C2无公共点,则0<r<4B.当r=5时,两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0C.当r=2时,P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则PQ的取值范围为2D.当0<r<4时,过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线,则切线长相等解析：选BCD.由已知,圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为r1=1;圆C2:x-32+y+42=r2r>0的圆心为C23,-A选项,若圆C1与圆C2无公共点,则只需C1C2<r-1或C1C2>r+1,解得r>6或0<r<4,所以A错;B选项,若r=5,则圆C2:x-32+y+42=25,由x2+y2=1与x-32+y+42=25两式作差,可得两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0,所以B正确;C选项,若r=2,则C2:x-32+y+42=4,此时C1C2=5>2+1=3,所以圆即2≤PQ≤8,所以C选项正确;D选项,当0<r<4时,由A选项可知,两圆外离;记直线6x-8y+r2-26=0上任意一点为Mx0,y0,则6x0-8y0所以MC1=MC2=x0-3因此切线长分别为d1=MC12-12=x02即d1=d2,所以D正确.【方法提炼】圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长l2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解【对点训练】1.已知直线l:mx+y-m-1=0与圆M:(x-2)2+(y-2)2=4交于A,B两个不同点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:x2+(y-m)2=1的位置关系是 ()A.内切 B.相离 C.外切 D.相交解析：选D.易知直线l:mx+y-m-1=0过定点P(1,1),弦AB最短时直线l垂直PM,又kPM=2-所以1·(-m)=-1,解得m=1,此时圆N的方程是x2+(y-1)2=1.两圆圆心之间的距离|MN|=(2-0又2-1<5<2+1,所以这两圆相交.2.(2023·沈阳模拟)若点P,Q分别是圆C:x2+y2=1与圆D:(x-7)2+y2=4上一点,则|PQ|的最小值为.

解析：因为|CD|=7>1+2,所以两圆相离,所以|PQ|的最小值为7-1-2=4.答案:43.已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0,圆C2:x2+y2+2x-2y-2=0,则两圆的公切线条数是.

解析：由x2+y2-2x+4y-4=0,得(x-1)2+(y+2)2=9,可得圆C1的圆心坐标为(1,-2),半径为3.由x2+y2+2x-2y-2=0,得(x+1)2+(y-1)2=4,可得圆C2的圆心坐标为(-1,1),半径为2.所以两圆的圆心距d=(1+1)2则3-2=1<d<3+2=5,故两圆相交,其公切线的条数为2.答案:2【加练备选】已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为 ()A.x2+(y-3)2=2 B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3 D.x2+(y+3)2=3解析：选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故a-1×13=-1,解得a故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0的距离为11+3=1所以直线x-3y=0截得x2+y2-2x=0所成弦长为212-14=3,圆心(0,3)到直线x-3所以直线x-3y=0截圆所得弦长为2r2-(32)

故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.题型二与两圆有关的综合问题[典例2](1)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为 ()A.x2+y2-6x+2y-3=0B.x2+y2+6x+2y-3=0C.x2+y2-6x-2y-3=0D.x2+y2+6x-2y-3=0解析：选A.由x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0解得两圆交点为M（2+102,2+N（2-102,因为kMN=1,所以线段MN的垂直平分线斜率k2=-1;MN中点P坐标为(1,1),所以垂直平分线为y=-x+2,由y=解得x所以所求圆的圆心坐标为(3,-1),所以r=(3-2+10所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=13,即:x2+y2-6x+2y-3=0.(2)已知圆O:x2+y2=94,圆M:(x-a)2+(y-1)2=1,若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,使得∠APB=π3,则实数a的取值范围是 (A.[-15,15]B.[-3,3]C.[3,15]D.[-15,-3]∪[3,15]解析：选D.由题可知圆O的半径为32,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,使得∠APB则∠APO=30°,在Rt△PAO中,|PO|=3,所以点P在圆x2+y2=9上,由于点P也在圆M上,故两圆有公共点.又圆M的半径等于1,圆心坐标M(a,1),所以3-1≤|OM|≤3+1,所以2≤a2所以a∈[-15,-3]∪[3,15].(3)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ()A.17 B.17-1C.6-22 D.52-4解析：选D.如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径为1,点M关于x轴对称的点为M',圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,由图可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,且|PM|+|PN|的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,即|C'1C2|-3-1=(3-2)【方法提炼】1.求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)的折线段最值问题的基本思路(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.2.两圆公共弦长的求法(1)求出公共弦(两圆方程相减即得公共弦方程)所在直线的方程;(2)转化为直线与圆相交的弦长问题;(3)公共弦长要通过解直角三角形获得.【对点训练】1.已知圆C过圆C1:x2+y2+4x-2y-10=0与圆C2:(x+3)2+(y-3)2=6的公共点.若圆C1,C2的公共弦恰好是圆C的直径,则圆C的面积为 ()A.11π5 B.26π5 C.130π5 解析：选B.圆C1,C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2+4x-2y-10=0和(x+3)2+(y-3)2=6的两式相减,化简可得x-2y+11=0,又C2(-3,3)到x-2y+11=0的距离d=|-3-2×3+11故公共弦长为26-(2故圆C的半径为265,故圆C的面积为2652.已知点P(t,t),点M是圆O1:x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆O2:(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 (A.1 B.5-2 C.5+2 D.2解析：选D.如图,可得圆x2+(y-1)2=14的圆心O1(0,1),圆(x-2)2+y2=14的圆心O2(2,0),这两个圆的半径都是12.要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,由图可得,|PN|最大值为|PO2|+12,|PM|的最小值为|PO1|-12,故|PN|-|PM|的最大值是（|PO2|+12）-（|PO1|-12）=|PO2|-|PO1|+1,点P(t,t)在直线y=x上,O1(0,1)关于y=x的对称点为O1'(1,0),直线O2O1'则|PO2|-|PO1|=|PO2|-|PO1'|≤|O2O1'|=1,故|PO2|-|PO1|+1的最大值为1+1=2.3.若M,N分别为圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上的动点,P为直线x+y+5=0上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ()A.45-3 B.6C.9 D.12解析：选C.易得圆C1的圆心为(-6,5),半径为2,圆C2的圆心为(2,1),半径为1,设圆C3的圆心为(a,b),半径为1,(a,b)与(2,1)关于直线x+y+5=0对称,则b-解得a=-6b=则|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-2-1=|PC1|+|PC3|-3=|C1C3|-3=9.【加练备选】已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0外切,此时直线l:x+y=0被圆C2所截得的弦长为.

解析：由题可知:C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-8x+6y+m=0,即(x-4)2+(y+3)2=25-m,且25-m>0⇒m<25,由两圆相外切可知(4-0)2+(-3-0)2=2+25-m,解得m=16,所以C2:(x-4)2+(y+3)2=9,C2(4,-3)到直线的距离为d=|4-3|12+12答案:34题型三与圆有关的最值问题角度1斜率型最值问题[典例3]已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则yx的最大值和最小值分别为解析：原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.yx所以设yx=k,即y=当直线y=kx与圆相切时(如图),斜率k取最大值或最小值,此时|2k-0|k2所以yx的最大值为3,最小值为-3答案:3,-3角度2截距型最值问题[典例4]已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,则x+y的最大值为 ()A.5+2 B.5-2C.6 D.5解析：选A.方法一:因为x2+y2-6x-4y+12=0,所以(x-3)2+(y-2)2=1,设x+y=t,则x+y-t=0,因为点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,所以圆心到x+y-t=0的距离小于等于半径,即|3+2解得5-2≤t≤5+2,所以x+y的最大值为5+2.方法二:因为x2+y2-6x-4y+12=0,所以(x-3)2+(y-2)2=1,令x=3+cos则x+y=5+2sin（θ+π4）所以当sin（θ+π4）=1时,x+y的最大值为5+2角度3距离型最值问题[典例5]已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+y2的最大值和最小值分别为.

解析：如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.答案:7+43,7-43【方法提炼】与圆上的点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法(1)形如u=y-bx-a型的最值问题,可转化为过点(a,b(2)形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题;(4)形如|ax+by+c|型的最值问题,可转化为动点(x,y)到直线ax+by+c=0距离的a2+b【对点训练】1.已知x,y满足x2+y2=4y-3,则3x+yx2A.1 B.2