三角形（学案含解析）-中考数学备考复习重点资料归纳

2022年中考数学一轮复习学案

19三角形

中考命题说明

考点课标要求考查角度

①了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、常以选择题、填空题的形

高、角平分线），理解三角形形成的条件，会画式考查三角形的三边关

三角形的有

1出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三系、三角形的内角和定理、

关概念

角形的稳定性；②掌握三角形的内角和定理及外角与内角的关系以及三

推论；③了解三角形重心的概念.角形的中位线等知识.

常以选择题、填空题、证

明题的形式考查三角形全

了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角

2全等三角形等的判定和性质，近年来

形全等的条件和性质.

全等类开放性、探索性试

题是中考命题的热点.

了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角

常以选择题、填空题、解

3等腰三角形形的性质定理.探索并掌握等腰三角形的判定

答题的形式考查.

定理.探索等边三角形的性质定理及判定定理.

了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角

形的性质定理.掌握有两个角互余的三角形是常以选择题、填空题、解

4直角三角形

直角三角形.探索勾股定理及其逆定理，并能答题的形式考查.

运用它们解决一些简单的实际问题.

知识点L三角形的有关檄念

知识点梳理

1___Z

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形.

2.三角形中的主要线段：

(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得到的线段,叫做三角形

这边上的中线.

(2)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和垂足的线

段，叫做三角形这边上的高线(简称三角形的高).

(3)三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个角的平分线与对边交点的线段,

叫做三角形的角平分线.

(4)三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

3.三角形的边之间关系：

(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.

推论：三角形的两边之差小于第三边.

(2)三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形.

②当已知两边时，可确定第三边的范围.

③证明线段不等关系.

【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三

边关系列出不等式求某些量的取值范围.

4.三角形的角之间关系：

(1)三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。.

推论：

①直角三角形的两个锐角互余.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(2)三角形的外角和等于360。：

5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大

边；大边对大角.

6.三角形的分类：

按边分：

f三边都不相等的三角形

三角形底边和腰不相等的三角形

等腰三角形

等边三角形

按角分:

直角三角形

三角形锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

【例1】（3分）（2021•陕西4/26）如图，点。、E分别在线段BC、4c上，连接AD、8E.若

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质.

【分析】由三角形的内角和定理，可得Nl=180-（ZB+ZADB）,ZADB^ZA+ZC,所

以/1=180°-（ZB+ZA+ZC）,由此解答即可.

【解答】解：VZl=180-(ZB+ZADB),ZADB=ZA+ZC,

AZI-180°-(Zfi+ZA+ZC),

AZI=180°-(25°+35°+50°),

.*.Zl=180°-110°,

AZI=70°,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键.

【例2】（4分）（2021•河北18/26）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与的交

点为C,且NA,NB,NE保持不变.为了舒适，需调整NO的大小，使NEFD=110°,

则图中NO应（填“增加”或“减少”）度.

【考点】三角形内角和定理：三角形的外角性质.

【分析】延长EF,交CZ）于点G,依据三角形的内角和定理可求NAC8,根据对顶角相等

可得NCCE,再由三角形内角和定理的推论得到NOGF的度数；利用/EFQ=110°,和三

角形的外角的性质可得/。的度数，从而得出结论.

【解答】解：延长EF,交CQ于点G,如图:

VZACB=180--50°-60°=70°,

...NECE>=NACB=7（r.

ZDGF=NDCE+NE,

:.NDGF=70°+30°=100°.

VZEFD=110°,NEFD=NDGF+ND,

：.ZD=10°.

而图中ND=20°,

；./£）应减小10°.

故答案为：减小，10.

【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理.熟练使用上述定理是

解题的关键.

【例3】（3分）（2021•通辽13/26）一副三角板如图所示摆放，S.AB//CD,贝U/1的度数

【分析】由“两直线平行，内错角相等”得到N2=NC=30。，再根据三角形的外角性质求解

即可.

【解答】解：如图，NA=45。，ZC=30°,

.,.Z2=ZC=30°,

.\Z1=Z2+ZA=300+45°=75°,

故答案为：75°.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关

键.

【例4】（3分）（2020•北京15/28）如图所示的网格是正方形网格，4,B,C,。是网格线

交点，则AABC的面积与△AB。的面积的大小关系为：SAABCSMBD（填，

【答案】见试题解答内容

【分析】分别求出△ABC的面积和△ABO的面积，即可求解.

【解答】解：,.•SA4BC=，X2X4=4,SAABD=2X5--X5X1-1X1X3--X2X2=4,

2222

•'.SMBC—SMBD,

故答案为：=.

【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键.

【例5】（2分）（2021•青海17/25）如图，在AABC中，D,E,尸分别是边AB,BC,

CA的中点，若△〃£厂的周长为10,则△ABC的周长为.

【考点】三角形中位线定理.

【分析】先根据三角形中位线的性质得：AB=2EF,BC=2DF,AC^IDE,根据周长得：

EF+DE+DF^]O,所以2EF+2DE+2QF=20,BPAB+BC+AC^20.

【解答】解：..•点Q，E,尸分别是aABC的AB,BC,CA边的中点，

；.EF、DE、。尸为△ABC的中位线，

：.EF=-AB,DF=-BC,DE=-AC,

222

：.AB=2EF,BC=2DF,AC=2DE,

「△DEF的周长为10,

：.EF+DE+DF=]0,

：.2EF+2DE+2DF=20,

：.AB+BC+AC^20,

：.△ABC的周长为20.

故答案为：20.

【点评】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质：三角形的中位

线平行于第三边且等于第三边的一半是解决问题的关键.

知聚点2：金等三角形

知狼点虢理

1.全等三角形：能够完全_<^_的两个三角形叫全等三角形.

2.三角形全等的判定：

三角形全等的判定定理：

(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”

或“SAS”).

(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”

或“ASA”).

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或

"SSS").

直角三角形全等的判定:

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定

理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可筒写成

“斜边、直角边”或“HL”）.

3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等.

【例6】（4分）（2021•重庆B卷8/26）如图，在△ABC和△OCB中，ZACB=NDBC,添加

一个条件，不能证明△ABC和△OCB全等的是（）

B.AB=DCC.AC=DBD.ZA=ZD

【考点】全等三角形的判定

【分析】根据证明三角形全等的条件AAS,SAS,ASA,SSS逐一验证选项即可.

【解答】解：在△ABC和△OC8中,

VZACB=ZDBC,BC=BC,

A、当时，AABC注ADCB(ASA),

故A能证明;

B、当AB=Z）C时，不能证明两三角形全等,

故B不能证明;

C、当AC=OB时，AABC^ADCB(SAS),

故c能证明;

D、当时，（AAS）,

故D能证明;

故选：B.

【点评】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.

【例7】（5分）（2021•陕西18/26）如图，BD//AC,8£>=8C,点E在8c上，且8E=

AC.求证：ZD-AABC.

A

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】先根据平行线的性质得到然后根据“SAS”可判断△ABCWZXEQB,

从而根据全等三角形的性质得到结论.

【解答】证明：；8O〃AC,

NACB=NEBD,

在AABC和△EDB中，

CB=BD

<ZACB=Z.EBD,

AC=EB

:AABC处AEDB(SAS),

ZABC=ZD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质

证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

♦、

知炊点3：簪腰三角形

知聚点梳理

1.等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角).

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底

边上的中线、底边上的高重合.

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。.

(2)等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角).

③等腰三角形的三边关系：设腰长为。，底边长为〃，则

2

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、NC,则/A=180"2/8,

180°-ZA

NB=NC=

2.等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这

个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

3.等边三角形：

（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.

（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。.

（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60。的等腰三角形是等边三

角形.

ZX

寓更用四

【例8】（3分）（2021•江西13（2）/23）如图，在中，乙4=40°,NABC=80°,

BE平分/ABC交AC于点E,于点Q,求证：AD=BD.

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定.

【分析】先证明/A=/ABE得到△48E为等腰上角形，然后根据等腰三角形的性质得到结

论.

【解答】证明：平分/A8C交AC于点E,

NABE=iZABC=-x80°=40°,

22

•：NA=40°,

ZA=ZABE,

.••△A8E为等腰三角形,

'：ED±AB,

：.AD=BD.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了

等腰三角形的判定.

【例9】（7分）（2021•吉林19/26）图①、图2均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶

点称为格点，小正方形的边长为1,点4,点8均在格点上，在给定的网格中按要求画图,

所画图形的顶点均在格点上.

（1）在图①中，以点A,B,C为顶点画一个等腰三角形；

（2）在图②中，以点A,B,D,E为顶点画一个面积为3的平行四边形.

图①图②

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图一应用与设计作图

【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）.

（2）作一个底为1,高为3的平行四边形即可.

【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）.

（2）如图②中，四边形ABOE即为所求.

图①图②

【点评】本题考查作图一应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

【例10]（4分）（2021•福建7/25）如图，点F在正五边形A3CDE的内部，为等边

三角形，则NAFC等于（）

E,

B

A.108°B.120°C.126°D.132°

【考点】等边三角形的性质；多边形内角与外角

【分析】根据等边三角形的性质得到凡NAFB=NABF=60°,由正五边形的性质得到

AB=BC,NA8C=IO8。，等量代换得到BF=BC,NF8g8。，根据三角形的内角和求出

ZBFC=66°,^ZAFC=ZAFB+ZBFC即可得至U结论.

【解答】解：:△AB尸是等边三角形，

：.AF=BF,ZAFB=ZABF=60°,

在正五边形A2CQE中，AB=BC,/A8c=108。，

:.BF=BC,NFBC=NABCNABF=48°,

NAFC=NAFB+NBFC=126°,

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多

边形的内角的求法是解题的关键.

知识点4：直角三角形

知识点梳理

1.直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.

2.直角三角形的性质：

(1)直角三角形两锐角互余.

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3.直角三角形的判定：

(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

4.勾股定理及逆定理：

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边人人的平方和等于斜边C的平方，即：层+〃2=，.

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边心仄C有关系：/+/=02,那么这个三角形

是直角三角形.

翼型画题

【例11]（4分）（2021•福建3/25）如图，某研究性学习小组为测量学校4与河对岸工厂8

之间的距离，在学校附近选一点C,利用测量仪器测得NA=60。，NC=90。，AC=2km.据此，

可求得学校与工厂之间的距离A8等于（）

A.2kmB.3kmC.26kmD.4km

【考点】直角三角形的性质

【分析】直接利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中30。所对直角边

是斜边的一半，即可得出答案.

【解答】解：VZA=60°,ZC=90°,4c=2km,

/.ZB=60°,

.".AB-2AC-4（km）.

故选：D.

【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键.

【例12]（5分）（2021•新疆7/23）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,

€7），48于点。，E是4B的中点，则DE的长为（）

【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形

【分析】利用三角形的内角和定理可得/8=60。，由直角三角形斜边的中线性质定理可得

CE=BE=2,利用等边三角形的性质可得结果.

【解答】解：vZACB=90°,44=30°,

二ZB=60°,

是A8的中点，AB=4,

：.CE=BE=-AB=-x4=2,

22

...△BCE为等边三角形，

VCD14B,

DE=BD=LBE=、2=T.

22

故选：A.

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键.

【例13]（3分）（2021•山西8/23）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图

形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无

字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，

它体现的数学思想是（）

分类思想C.数形结合思想D.函数思想

【考点】勾股定理的证明

【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想.

【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”,

它体现的数学思想是数形结合思想,

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法

体现的数学思想为数形结合思想.

【例14]（3分）（2021•陕西7/26）如图，AB.BC、CD.OE是四根长度均为5cm的火

柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm,CDLBC,则线段CE的长度是（）

B

【考点】全等三角形的应用；勾股定理的应用.

【分析】过8作8M1_AC于过。作ONLCE于M由等腰三角形的性质得到4M=CM

=3,CN=EN,根据全等三角形判定证得△BCM丝△C£W,得至UBM=CN,在RtZ\8CM中，

根据勾股定理求出8M=4,进而求出.

【解答】解：由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

过8作8MJ_AC于M,过。作。MLCE于N,

22

VCD1BC,

ZBCD=90°,

，ZBCM+ZCBM=ZBCM+ZOCN=90°,

NCBM=NDCN,

在△BCM和△C£W中，

"CBM=NDCN

<4BMC=NCND,

BC=DC

:.ABCM*ACDN(AAS),

:.BM=CN,

在RtAfiCM中，

"：BM=5,CM=3,

：.BM=y/BC2-CM2=V52-32=4,

：.CN=4,

:.CE=2CN=2X4=8,

故选：D.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作

出辅助线，证得△BCM四△crw是解决问题的关键.

【例15］（2分）（2020•河北16/26）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕

达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块（可重

复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块

C.3,4,5D.2,2,4

【考点】勾股定理的逆定理

【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根

据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本

题.

【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时，围成的直角三角形的面积是

VixV474

----------,

2--2

当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时，围成的直角三角形的面积是叵走=迈，

22

当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时，围成的三角形不是直角三角形，

当选取的三块纸片的面积分别是2,2,4时，围成的直角三角形的面积是叵史=3,

22

・・卡V4

.——>——,

22

...所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2,3,5,

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理

解答.

巩囿别练

It

1.（3分）（2021•呼和浩特2/24）如图，在△ABC中，ZB=5O°,NC=7O。，直线。£经过

点A,ZDAB=50°,则NE4c的度数是（）

DA

C.60°D.70°

2.（3分）（2021•鄂尔多斯5/24）一块含30。角的直角三角板和直尺如图放置，若/1=146。33，,

则N2的度数为（）

C.64°33'D.63°33'

3.（2分）（2021•河北13/26）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，NACZ）是△A8C的外角.求证：ZACD^ZA+ZB.

证法1：如图，

•：ZA+ZB+ZACB=\S0°（三角形内角和定理），

又：/ACZ）+/ACB=180°（平角定义），

AZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代换）.

.'.ZACD-ZA+ZB（等式性质）.

证法2：如图，

VZA=76°,ZB=59°,

且NACZ）=135°（量角器测量所得）

又=76°+59°（计算所得）

AZACD^ZA+ZB（等量代换）.

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

4.（4分）（2021♦重庆A卷17/26）如图，三角形纸片ABC中，点。，E,尸分别在边

AC,3c上，BF=4,CF=6,将这张纸片沿直线£>£翻折，点A与点厂重合.若DE//3C,

AF=EF,则四边形4）庄'的面积为_5力_.

5.（4分）（2021•重庆B卷17/26）如图，△ABC中，点。为边5c的中点，连接45,将4

AOC沿直线4）翻折至AABC所在平面内，得△AOC',连接CC,分别与边4?交于点E,

与交于点O.若BC'=2,则的长为3

6.（3分）（2020•广东6/25）已知△ABC的周长为16,点D,E,尸分别为△ABC三条边的

中点，则△。所的周长为（）

A.8B.2应C.16D.4

7.（3分）（2020•宁夏4/26）如图摆放的一副学生用直角三角板,NF=30°,NO45°,AB

与。E相交于点G,当E尸〃2C时，NEG8的度数是（）

C.115°D.105°

8.（3分）（2020•包头5/26）如图,NACQ是的外角,CE//AB.若NACB=75°,

Z£C£>=50°,则/A的度数为（）

A.50°B.55°C.70°D.75°

9.（4分）（2021•重庆A卷7/26）如图，点8,F,C,E共线，ZB=ZE,BF=EC,

添加一个条件，不能判断△ABC丝△£>£：尸的是（）

10.（6分）（2021•云南16/23）如图，在四边形中，AD=BC,AC=BD,AC与8。

相交于点E.求证：ZDAC=NCBD.

11.（8分）（2021•福建18/25）如图，在△ABC中，。是边3c上的点，DELAC,DFA.AB,

垂足分别为E，F,且OE=OF,CE=BF.求证：NB=NC.

12.（5分）（2021•吉林17/26）如图，点。在他上，E在AC上，AB=AC,NB=NC,

求证：AD=AE.

13.（6分）（2021•西藏21/27）如图，AB//DE,B,C,。三点在同一条直线上，ZA=9O°,

ECA.BD,且/U?=C£>.求证：AC=CE.

B■D

14.（5分）（2020•吉林18/26）如图，在△ABC中，A8>AC,点。在边AB上，且BD=CA,

过点。作。E〃AC,并截取。E=48,且点C,E在AB同侧，连接BE.求证：XDEBQX

ABC.

15.（3分）（2020•江西11/23）如图，4c平分/£>CB,CB=CD,D4的延长线交8c于点

E,若NEAC=49。，则/8AE的度数为.

16.（3分）（2021•赤峰6/26）如图，M〃8,点£：在线段3。上，CD=CE.若NABC=3O。,

则ND的度数为（）

A.85°B.75°C.65°D.30°

17.（3分）（2021•西藏6/27）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若

4=25。，则N2的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

18.（5分）（2021•新疆14/23）如图，在△ABC中，AB=AC,ZC=70°,分别以点A,B

为圆心，大于'A3的长为半径作弧，两弧相交于〃，N两点，作直线MN交AC于点O,

2

连接则80

19.（5分）（2021•北京20/28）《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大

意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B,使8,

A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地

面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步，在点C处立

一根杆.取CA的中点Q,那么直线。8表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和

圆规，在图中作CA的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线。B表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂

直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在△ABC中，BA=BC,。是CA的中点，

：.CA±DB（三线合一）（填推理的依据）.

•.•直线DB表示的方向为东西方向，

直线CA表示的方向为南北方向.

20.（3分）（2020•青海14/28）等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数分别是

（）

A.55°,55°B.70°,40。或70。，55°

C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°

21.（6分）（2020•广东20/25）如图，在aABC中，点D,E分别是AB、AC边上的点，

BD=CE,ZABE=ZACD,BE与CO相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.

22.（3分）（2021•河南15/23）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtAABC

中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=\.第一步，在回边上找一点。，将纸片沿C£＞折叠，

点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿C4'折叠，点。落在〃处，如图3.当点。恰

好落在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为-或2-6.

-2——

23.（8分）（2021•包头22/26）某工程队准备从A到5修建一条隧道，测量员在直线他的

同一侧选定C,。两个观测点，如图.测得AC长为迪km,CD长为2e+R）km,BD

24

长为:h”，NACD=60。，/。8=135。（同、B、C、£）在同一水平面内）.

（I）求A、。两点之间的距离；

（2）求隧道4?的长度.

24.（3分）（2021•西藏12/27）如图，在RtaABC中，ZA=30°,ZC=90°,A8=6,点P

是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM=』AB时，P8+PM的最小值为（）

3

AB

M

A.3GB.25C.26+2D.3>/3+3

25.（3分）（3分）（2021•西藏17/27）如图.在RtZ\ABC中，ZA=9O°,AC=4.按以下

步骤作图：（1）以点5为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段84,8c于点M,N；（2）

以点C为圆心，8M长为半径画弧，交线段CB于点。；（3）以点。为圆心，长为半径

画弧，与第2步中所面的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE,与相交于点尸.当

A尸=3时，8c的长是_46一

26.（3分）（2020•陕西6/25）如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,

B,C都在格点上，若8。是△A8C的高，则的长为（）

A.—713B.—V13C.—V13D.—V13

13131313

27.（8分）（2020•山西20/23）阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

X年X月X日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已

经在木板上画出一条裁割线相，现根据木板的情况，要过他上的一点C,作出4?的垂

线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在4?上量出CD=30cw,然后分别以£>,C

为圆心，以50cm与40«〃为半径画圆弧，两弧相交于点E,作直线CE,则NZX芯必为

90°.

图①图②图③

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出加，N两点，然后把木

棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,

保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在45上，在木板上将点M对应的位置标

记为点A.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则

Z/?C5=90°.

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能

作出垂线呢？___

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明4?CS=90。；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出A5的垂线（在木板上保留作图痕迹，不

写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）.

巩固别殊解析

1.（3分）（2021•呼和浩特2/24）如图，在△A8C中，ZB=50。，NC=70。，直线。£经过

点A,ND48=50。，则NE4c的度数是（）

【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理

【分析】根据三角形内角和可以先求出N84C的度数，再根据平角的定义，可知

ZZMB+ZR4C+Z£AC=180°,从而可以求得NE4c的度数.

【解答】解：ZB=50°,NC=70。,

/.ABAC=180°-ZB-ZC=180°-50°-70°=60°,

ZZMB=50°,ZDAB+ZBAC+ZEAC=iSO0,

ZE4c=1800-ZZMB-ZR4c=180°-50P-60°=70°,

故选：D.

【点评】本题考查三角形内角和、平角的定义，解答本题的关键是求出㈤。的度数，利用

数形结合的思想解答.

2.（3分）（2021•鄂尔多斯5/24）一块含30。角的直角三角板和直尺如图放置，若/1=146。33\

则N2的度数为（）

A.64°27'B.63°27'C.64°33'D.63。33'

【考点】平行线的性质：三角形的外角性质

【分析】根据平角的定义得到/4=33。27,再根据三角形外角性质得到/3=63。27,最后

根据平行线的性质即可得解.

【解答】解：如图，

Zl+Z4=180°,Nl=146°33',

.•.N4=33°27',

Z3=Z4+ZA.ZA=30°,

;./3=63。27,

■直尺的对边互相平行，

/.Z2=Z3=63°27,,

故选：B.

【点评】此题考查了平行线的性质及三角形外角性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及

三角形外角的性质是解题的关键.

3.（2分）（2021•河北13/26）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，NAC。是△A6C的外角.求证：ZACD=ZA+ZB.

证法1：如图，

VZA+ZB+ZACB=180"（三角形内角和定理），

又,.,NAa）+NAC5=180°（平角定义），

AZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代换）.

：.ZACD=ZA+ZB（等式性质）.

证法2：如图，

VZA=76°,NB=59°,

且NACZ）=135°（量角器测量所得）

又；135°=76°+59°（计算所得）

：.ZACD=ZA+ZB（等量代换）.

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质.

【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论.

【解答】解：•••证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结

论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，

•••A的说法不正确，不符合题意；

•.•证法1按照定理证明的一般步骤，从己知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，

.♦.B的说法正确，符合题意；

•••定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，

的说法不正确，不符合题意；

•••定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次解答数的多少无关，

二。的说法不正确，不符合题意；

综上，B的说法正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤.依据定理的证明的

一般步骤分析解答是解题的关键.

4.（4分）（2021•重庆A卷17/26）如图，三角形纸片ABC中，点D,E,F分别在边

AC,3C上，BF=4,b=6,将这张纸片沿直线翻折，点A与点F重合.若OE//3C,

AF=EF,则四边形4DFE的面积为_5退_.

【考点】平行线的性质；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）

【分析】由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：0E垂直平分AF,因为。E〃8C,所

以。£为△ABC的中位线，DE」BC=5；由折叠可得AE=EF,因为AF=£F,可得△

2

AEF为等边三角形,ZFAC=60°；在RtZ\AFC中，解直角三角形可得/F的长，四边形

ADEE的面积为,£>ExA尸，结论可得.

2

【解答】解：纸片沿直线/把翻折，点A与点尸重合，

.•.■DE垂直平分4r.

：.AD=DF,AE=EF.

：DE//BC,

.•.£应为△ABC的中位线.

.-.DE=-BC=-（BF+CF）=-（4+6）=5.

222

AF=EF,

.・・△4EF为等边三角形.

/.ZMC=60°.

在RtAAFC中，

PC

tanZMC=—,

AF

口「

AF=--------=2>/3.

tan60°

.•.四边形皿石的面积为：-DExAF=1x5x2^=573.

22

故答案为：5G.

【点评】本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直

角三角形.利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键.

5.（4分）（2021•重庆B卷17/26）如图，ZXABC中，点。为边8C的中点，连接4）,将4

AOC沿直线4）翻折至AABC所在平面内，得△AOC',连接CC,分别与边交于点E,

与49交于点O.若AE=BE,BC=2,则49的长为3.

【考点】翻折变换（折叠问题）

【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到8的长，然后全等三角形的判定和性

质可以得到40的长，从而可以求得4）的长.

【解答】解：由题意可得，

△DCA仝l\DCA,OC=OC,NC8=NCOD=90°,

.•.点O为CC的中点，

.,点。为3c的中点，

:.6）隹缸BCC的中位线，

.•.OO=1BC,OD//BC,

2

:.ZCOD=ZEC'B=90°,

AE=BE,BC'=2,

:.OD=\,

在△EC8和中，

ZEC'B=NEOA

"NC'EB=ZOEA,

BE=AE

△EC'BEOA（AAS）,

:.BC^AO,

:.AO=2,

AD=AO+OD=2+}=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查翻折变换、三角形的中位线、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键

是求出和AO的长，利用数形结合的思想解答.

6.（3分）（2020•广东6/25）已知△A8C的周长为16,点O,E,F分别为△A8C三条边的

中点，则AOE尸的周长为（）

A.8B.2母C.16D.4

【考点】三角形中位线定理

【分析】根据中位线定理可得OF=』AC,DE=-BC,EF=』AC,继而结合△ABC的周

222

长为16,可得出△£>£'/的周长.

【解答】解：E、F分别为AABC三边的中点，

：.DE.DF、