人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4. 3 .1 对数的概念

4.3对数

4.3.1对数的概念

【学习目标】1.了解对数的概念2会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.

知识梳理梳理教材夯实基•础

-------------------------------------------------------------------N--------------------

知识点一对数的有关概念

对数的概念：

一般地，如果/=Ma>0,且aWl)，那么数x叫做以a为底。的对数,记作x=k)g“N,其中

a叫做对数的底数,N叫做真数.

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e(e=Z71828…)为底的对数称为自然对数,logioN

可简记为3，logeN简记为皿.

知识点二对数与指数的关系

一般地，有对数与指数的关系：

x

若“>0,且a#1,则a=N^>\ogl,N—x.

对数恒等式：log”=E(a>0,且aWl).

知识点三对数的性质

1.1的对数为零.

2,底的对数为1.

3.零和负数没有对数.

■思考辨析判断正误

1.若3，=2,则x=log32.(V)

2.因为"=a(a>0且aWl),所以k>gaa=l.(V)

3.log«N>0(a>0且aW1,N>0).(X)

4.若lnN=；,则N=(g)e(x)

题型探究探究重点素养提升

-------------------------------------------------------------------N--------------------

一、指数式与对数式的互化

例1将下列指数式与对数式互化：

⑴2-2=；；⑵102=]00；

--1

(3)efl=16；(4)643=4；

(5)log39=2；(6)logry=z(x>0且xW1,y>0).

解(l)log2；=-2.

(2)logiol00=2,即1g100=2.

(3)k>gel6=a,即In16=a.

(4)log/=_g.

⑸32=9.

(6)『=y

反思感悟指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的繇作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幕，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

跟踪训练1将下列指数式与对数式互化：

(l)log216=4；(2)logf27=-3；

3

(3)43=64；(4)日-2=16.

解⑴由log216=4,可得24=16.

⑵由log,27=-3,可得(j)3=27.

3

(3)由43=64,可得log464=3.

(4)由(；)-2=[6,可得log|16=-2.

4

二、利用对数式与指数式的关系求值

例2求下列各式中”的值：

(l)log64X=一孕(2)lo以8=6；(3)lglOO=x

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

二_2]

解⑴x=64§=(4,尸=4-2=而

11

3

⑵因为f=8,所以8==86=(2)6=22=72.

(3)10，=100=102,于是x=2.

反思感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幕的运

算性质求解.

跟踪训练2(1)计算Iog927；log将81的值；

(2)求下列各式中x的值：

2

①log27X=_g；②log.』6=-4.

解(1)设X=log927,则＞=27俨=33,

.3

・・2x=3,x=2.

设X=k)g柩81,贝！](折)=81,34=3、.寸=4,x=16.

2

⑵①•.•10g27X=-

22.

.•・X=273=(33)3=3-2得.

②•门0&16=—4,

；.丁4=16,即/=+=(；)4，

•J

••x2■

三、利用对数性质及对数恒等式求值

例3求下列各式中x的值：

(l)log2(log5X)=0；(2)log3(lgr)=l；(3)IF

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

解(I)；log2(logK)=0,log5X=20=1,.*.JC=51=5.

(2)：log3(lgr)=l,，lgx=3i=3,；.x=1()3=1000.

7

(3)A=71-10875=7+7'0875=7+5=].

反思感悟(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问

题.1。8—=0q7=1；k)g“N=l今N="使用频繁，应在理解的基础上牢记.

NN

(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：a'°^=N,\oSaa=N.

跟踪训练3⑴设3幅。田＞=27,则X=.

『答案』13

(2)若K＞g2(logM)=log3(log4y)=log4(log2Z)=0,则x+y+z的值为()

A.9B.8C.7D.6

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

『答案』A

「解析』,.,log2（k>g3X）=0,10g3X=1.

，x=3.同理y=4,z=2.，x+y+z=9.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.将@）-2=9写成对数式，正确的是（）

A.logW=-2B.log,9=-2

3

C.log1（-2）=9D.Iog9（-2）=|

3

『答案』B

『解析』根据对数的定义，得log19=-2,故选B.

3

2.若log„x=l,则（）

A.x=lB.a=IC.x=〃D.x=10

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

『答案』C

3.方程2吟="的解是（）

A.x=/B.X--^C.x=y[5D.X—9

考点对数式与指数式的互化

题点对数式与指数式的互化

『答案』A

『解析』..•2唳/=2-2,.•.iogjX=-2,•••X=3-2=/.

4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

A.e0=l与lnl=0

--111

B.83=]与108丐=一§

C・k）g39=2与9?=3

D.Iog77=l与71=7

考点对数式与指数式的互化

题点对数式与指数式的互化

『答案』c

5.已知k)gJ6=2,则x=.

『答案』4

『解