信号与系统7-梅森公式的证明及应用

梅森公式的证明及应用电子工程系无22班喻浩赵欣肖元章马存庆蔡金蝉梅森公式大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：梅森公式的回顾（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；第k个前向通道的特征式的余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；梅森公式梅森公式的推导梅森公式的推导（先用一个一般性的图来证明）如右图已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程于是可求得该方程组的系数行列式和

梅森公式的推导根据克莱姆法则得

于是传递函数为分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。梅森公式的推导图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有单独回路增益之和为两两互不接触回路增益乘积之和为

而△值就是

可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。

梅逊公式的推导梅森公式的推导如果把△中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为△k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅逊公式的推导梅森公式的推导故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为

梅逊公式的推导传递函数的分子等于系数行列式△２除以R(s)。而恰好为

前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅森公式的推导

以上我们用一个比较简单但是又不是一般性的图导出了梅森定理。对于一般性的情况，证明也是类似的。一般情况的证明是很麻烦的，下面简述其证明过程中的关键步骤。梅森公式的推导

梅森定理证明的关键步骤:从上面的证明可以看出，信号流图中的一些量与写出来的节点方程组得系数矩阵的一些量是由一定的联系的，事实上它们之间是必然联系的。为了了解这其中的联系，我们引进信号流图的矩阵描述。信号流图有两个显著的特点，即支路和节点的关联，即支路和节点的赋权。因此，我们自然联想到用矩阵来描叙它。梅森公式的推导

定义下列矩阵分支矩阵BB是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列对应于支路。

B=[bij]，bij={}

因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一个元素为1。

汇总矩阵SS也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列对应于支路。

S=[sij]，sij={}

因为每条支路只能有一个终点，故梅列也只能有一个元素为1。梅森公式的推导

显然B-S即为有向图中的节点-支路的关联矩阵A。关联矩阵AA=[aij]，aij={}支路的权矩阵WW是一个b阶对角矩阵（b是图中的支路数）。

W=[wij]，wij={}上述B，S，W三个矩阵完全描叙了信号流图。梅森公式的推导

下面介绍一些定理和性质。对于下列方程组：AX=Y………………（1）式中

A=，Y=有下定理成立：定理1

设矩阵为B，S和W的信号流图描叙了方程组（1），则有：式中I是单位矩阵，阶数n。是B的转置。梅森公式的推导

定理2

设B（或S）的方子矩阵F包括K个节点（1，2，3，…K）和条支路（b1,b2,…bk）。当且仅当K个节点中的每个节点正好有一条出（或入）支路在（b1,b2,…bk）中，则F为非奇异矩阵。定理3B和S对应方子矩阵F1和F2(它们有同样的行和列所定义)均为非奇异的，当且仅当对应于F1和F2的列的支路形成环或不接触环集。不接触环集是由一些不接触环组成的集合。不接触的意义是该集合众人和两个环都没有公共节点。梅森公式的推导

定理4设F1和F2分别为B和S的非奇异子矩阵，令L1，L2，…Lr为对应于F1和F2的列的支路所形成的不接触环集。N为环集（L1，L2，…Lr）中有偶数支路的环数。当且仅当N为偶数时。F1和F2的行列式（即都为1和-1）。定理5

设F1和F2分别为B和S的非奇异子矩阵。支路b1,b2,…bk对应于F1和F2的列。L1，

L2，…Lr是由支路b1,b2,…bk所构成的不接触环集，则当且仅当K和r同时为偶数或奇数时，F1和F2的行列式|F1|和|F2|才相等。梅森公式的推导

定理6

设G为方程组AX=Y所对应的信号流图。A为式（1）所定义的矩阵。G中的环级为（L1，L2，…Lr）。Wi为环Li（i=1，2…r）的传输，则A的行列式

|A|=△=1-Wi+WiWj+…WiWj…Wm

式中a是（i,j…,m）中的元素数，即最多的不接触环集中的环数，△又称图行列式，用文字说明就是:|A|=△=1-（所有环的环传输之和）+（所有两个不接触环的环数）+…+（所有a个不接触环的环传输之和）梅森公式的推导

定理7

设Aij是行列式|A|中aij

余因式，则当ij时，Aij=Pk△k

式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所关联的支路后按（1-42）式算出的图行列式。表示所有可能的从节点i到j的路求和。由定理6和7很容易推出梅森公式。梅森公式的推导

梅森公式不仅能求输入输出函数的比值的（传输函数），对与流图中的任意一个节点的信号与输入结点信号的比值也同样是成立的。这个很好理解，因为输出节点并没有什么特殊的地方，也仅仅是流图中的一般点，只是我们赋予了它特殊的含义罢了。下面就就举一例说明梅森公式对流图中任一点与输入点的信号的比值的作用。梅森公式例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：++--梅森公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：求：前向通道有二，分别为:梅森公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：求：前向通道有二，分别为:梅森公式梅森公式注意事项注