2024年湖南省部分学校中考一模数学试题

2024年初中学业水平模拟考试

数学

本试卷共6页，25小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔分别填写在试题卷和答

题纸规定的位置上.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题

卷上的作答一律无效.

第I卷（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

cos30。1

1.sin30°J的数值大小为（

A,与B.6C.4D.-73

2.如图所示为某几何体的主视图（上）和俯视图（下），那么这个几何体不可能为（）

A.半个圆柱B.四棱柱C.三棱柱D.五棱柱

3.下面选项中的汉字是轴对称图形的是（）

A齐B鲁0大D地

4.2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%.将数据“17.85亿"用科学计

数法表示为（）

A.17.85xl08B.1.785xl09C.1.785xlO8D.1785xl06

5.如图，正五边形A5CDE的外接圆为：。厂为劣弧A5上一点，则NAFB=（）

A

5

----

A.136°B.162°C.108°D.144°

6.象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二

枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则

该棋子为黑马的概率为（）

7.将Mb-加？因式分解，正确的是（）

23>2

A.而,2-及）B.a^ab—bjC.ab（a+b）（a-b）D.ab（a-b）

8.中国古代重要的数学著作《九章算术》有这么一个问题：今有善行者一百步，不善行者六十步.今不善行

者先行一百步，普行者追之.问：几何步及之？大致题意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，

走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走尤步才能追上，则可列方程为

（）

60100-100100

A.x=x+100B.x=x+100C.x—x—100D.------%=100

1006060100-60

9.若直线y=m与函数y=||x|x—2x—3|的图象有四个交点，则机的取值范围是（）

A.2<m<4B.m>2C.2<m<4D.m<4

10.如图，四边形ABCD为菱形,ZABC=60。,E为A3上一点，CE的垂直平分线交A。于点尸，若A3=2,

记△AEF的面积最大值为S,周长最小值为/,则（）

A___F_______,

tD

BC

A.S=^B.S=B

C.1=26D./=373--

432

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题：本题共6小题,每小题4分，共24分.

11.若，”和〃为实数，J->+J—〃=2,则加+〃=.

12.直线/与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线/的函数解析式为.

13.一元二次方程收2+4%—5=0的两个实数根分别为者,々，则,+'=__________.

X]x2

21

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y=—的图象上一点，0P交反比例函数y=—图象于

xx

点A,过点尸作平行于X轴的直线交反比例函数y=L图象于B点，则的面积为.

x

15.如图，在5x5的正方形网格内，线段a的端点都在格点上，将线段。绕点P旋转得到线段6,线段6端

点也都在格点上，若小正方形的边长为1,则点尸的坐标为.

16.如图，E,尸分别为矩形ABCD边8c和上的点，若NBAE=/DAF=NCEF,DE=1,

3

tan/DEF=则矩形ABCD的面积为.

4

三、解答题：本题共9小题，共86分.写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（12分）

21

（1）解分式方程：——=——；

2-x%—1

（2）解不等式组：1；

（3）计算:-（2024"+1）°+（1+后.

18.（6分）

如图，四边形A6CD为矩形，对角线AC上的点E和歹满足A£=CF\

证明：四边形石BED为平行四边形.

AD

BC

19.（8分）

植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日.按时间长短可

分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节.提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环

保的重要性.1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日.新中国成立后的1979

年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节.某学校在植树

节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：

组别成绩加分频数

A50<m<602

B60<m<70a

C70</7z<8014

D80<m<90b

E90<m<10010

频数

0

1

18

n6

14

n2

10

18

6

4

2

05060708090100成绩/分

（1）a=,b=；

（2）补全条形统计图；

（3）该班级的平均成绩可能小于70分吗？可能大于90分吗？说明理由.

20.（8分）

小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视.小华想起物理课上学习过的光

的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小

华在好奇心驱使下验证了自己的设想.如图所示，为竖直的平面镜（C。足够长），A3的长度为信号传

感器可接收信号的水平宽度，A3LCD,小华坐在距离A5距离为d的点H,然后小华用遥控器水平对着平

面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设红外线在。点反射），求信号传感器可

接收信号的水平范围A3.（结果含外尸,d）

D

21.（8分）

如图，。过点A,B,并交△A6C边AC于。点，直线0。分别与：。和边A3于点E,F,连接

和。尸，己知AB=324。，3c.

(1)证明：BC为。的切线；

(2)若BF=CF=L求弧BE的长度.

22.(10分)

如图，。为坐标原点，反比例函数y=&的图象交直线y=2x+3于根］和2.

(1)求A和8两点的坐标；

(2)求△493的面积；

(3)直接写出不等式2d+3尤2—乙＞。的％的取值范围.

23.(10分)

某商店有两种热销糖果，一种是牛奶糖果，另一种为巧克力糖果，临近新春佳节，商店有活动，买他斤巧克

力糖果送竺机斤牛奶糖果，已知一位顾客买32斤牛奶糖果和2斤巧克力糖果花了100元，另一位顾客买三9斤牛

424

奶糖果和1斤巧克力糖果花了80元.

(1)求这两种糖果每斤各多少元；

(2)之后商店改了另一套优惠方案，购买糖果可以享受折扣，对于牛奶糖果，若买机斤糖果，则这也斤糖果

可以打10—-折；对于巧克力糖果，买”斤可以打10-二折，且每种糖果一次最多可以买25斤，若仅买一

1010

种糖果，当购买斤数大于多少时，买巧克力糖果比买牛奶糖果便宜？

24.(12分)

如图，四边形ABCD和。EFG都是正方形，E,F,G,。四点按逆时针方向分布，点E在正方形ABCD内，

AD=yflDE,过点A作直线b的垂线交直线CF于点H.

(1)如图1,连接3H,求3H和b满足的数量关系;

(2)如图2,连接EH,证明：EH=EF；

(3)如图2,连接BF,若AH=6,E"=5,直接写出的值.

25.(12分)

如图，。为坐标原点，抛物线G:y=——以与x轴交于M(T,O),顶点为A.

图1图2

(1)如图1,求直线AM的函数解析式；

(2)如图1,将直线4以绕点M顺时针旋转45。得到直线MV并交抛物线C1于点N,若。为x轴上一点，

求5NQ+J5MQ的最小值；

(3)如图2,将抛物线G平移得到。2,顶点由A平移到3(4力)，若点8在直线40上，点。和E分别在

抛物线G和。2上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出。点坐标，若不可以，说明理由.

参考答案

一、选择题

12345678910

ADCBDBCACA

二、填空题

43-A/224

11.-412.y=-2x-l13.-14.——15.(2,2)或(2,3)16.一

5425

三、解答题

411I—

17.(1)%=-；(2)-2<x<2；(3)5+—V5.

35

18.思路：证明尸(S4S),得到NBEA=NDFC,BE=DF,所以/BEF=/DFE,所以

BE//DF,所以四边形ABCD为平行四边形，证明过程略.

19.(1)4；20；(2)略；

(3)均不可能.理由如下：

若所有学生的成绩均为所在组别的最低分，则平均成绩为

50x2+60x4+70x14+80x20+90x10“八

-------------------------------------------------=76.4分，

50

若所有学生的成绩均为所在组别的最低分，则平均成绩为

60x2+70x4+80x14+90x20+100x10»“八

--------------------------------------------------=86.4分，

50

所以平均成绩介于76.4分和86.4分，因此不可能.

20.解：

设信号接收点为尸，延长PQ到点G且过点G作GE垂直A3,垂足为E.

由题意，NDQH=ZCQP=ZGQD=ZEGQ,GE=d,

当NDQ”为a时，点P与A重合，ZEGQ-a,EA^dtana.

当ND”为夕时，点P与B重合，NEGQ=/3,EB=dtm0.

所以AB=EB-EA=<7(tan-tantz).

其中tan，可以写成品国'

tana可以写成--」------r•

tan(90。-a)

£R

一X-6

n/

^/✓

z

z/

z

zO

^

、

^、

z、

z、

/X

D\\

、

G、

一..?-•

21脩

连接O3,OA.

在△06E和△OB4中，

OB=OB

<OE=OAnAOBE/AOBA(SSS)=>ZOBE=ZOBA,

BE=AB

所以05LAE,

因为OE为。直径，所以A£>J_AE,

又因为AC_L6C,所以AE〃6C,所以06L6C,

所以为3。的切线.

(2)取中点G,过点。作垂足为"

因为BF=CF,所以FGL5C,又因为AC_LBC,

所以FG〃AC,所以尸为。。和AB中点，所以石DLAB,

所以OB=BD=OD,所以△06。为等边三角形，

2

120x2TIx—7=r-

BF_2________734V3£

所以ZEOB=2ZODB=120°,03=,所以弧BE==

sin600乖)3609

22.解:

(1)将4点坐标代入丁=2》+3得4〔；,4],将A点坐标带入y=(得左=2；

21

联立y二—和y=2x+3得2f+3x—2=0,解得x=—或—2,所以5(—2,—1).

x2

(2)过点A作x轴的垂线AC且则3c=』,AC=5,

2

2

因为点A,5在反比例函数y二—上，所以SABOQ=SAAOE=1,

x

25.115

所以S&AOB=S&BBC-S&BOD-^AAOE—^i&^ODCE=-----]—]=

424

(3)明显x=0不在不等式的解集里，所以f>0,

9

不等式两边同除必得2%+3——>0

x

2

所以要求2/+3/_2>0的解集，即求2%+3〉一的解集,

x

由图可知解集为一2(尤<0或x〉L.

2

23.解:

(1)设牛奶糖果每斤。元,巧克力糖果每斤b元,

32

2^+(1--)tz=100

a=20

则有<,所以牛奶和巧克力糖果各为每斤20元和40元.

9106=40

6+(------)tz=80

44

(2)设购买斤数为x斤，则购买x斤牛奶糖衢要花费c=20x1-上,购买无斤巧克力糖果需要花费

I100

67=40X|1--,设丁=4—c,则当y<0时，买巧克力糖果便宜,

(100

y-40x(1--^XX

-20x1--—=-(200-6x-100+X)=-(100-5X),

I100(100

对称轴为x=10,与x轴的交点为(0,0),(20,0),

当％<10时，y随x增大而增大，当x>10时，y随x增大而减小，

所以当x>20时，y<0,所以购买斤数大于20斤时，巧克力糖果比牛奶糖果便宜.

24.解：

(1)CF=y[lBH.

证明：连接AF,D£AC,

因为四边形ABCD和DEFG为正方形，所以AD=CD,NBCA=ZEFD=ABAC=45°,

所以AC=AB=垃AB,DF=DE=叵DE,

sin45°sin45°

因为/10=伍>七，所以AD=£>F=CD,

所以ZDAF=ZDFA,ZDFC=NDCF,

在四边形AFCD中，ZDAF+ZDFA+/DFC+/DCF+ZADC=360°,

即2(ZDFA+ZDFC)+90°=360°,所以ZAFC=135°,

所以NAFH=45°,因为AH_LCF,

所以Ab=--------=垃AH,NHAF=45°,AAFH为等腰直角三角形，

sin45°

所以NBAC=NHAF,即+ZH4B+ZSAF,

所以NC4F=NB4H,又AC=6AB,AF=RH

所以△AC/S/XABH,所以CF=J^BH.

（2）思路（证明相似的过程略）：连接AE和。产，

根据AAHF和ADEF均为等腰直角三角形易得AHFESAAPD，所以A。=41EH,

所以EH=DE=EF.

(3)416.

25.解：

(1)y=—x+2(过程略)；

-2

(2)设MN交y轴于G(O,/n),AM交y轴于“(0,2),过点H作MG的垂线交于点K,过点。作直线40的

垂线交于工点，

则MH=^MO2+OH2=2区MG=^MO2+OG2=J16+W,HK=MHsin45。=屈,

所以sinN〃MO=@，

5

由AMGH面积等于工加。.GH=-MGHK,

22

所以4(一加+2)=而+m2•V10,

4、

解得