河南省郑州汝州区五校联考2024届中考数学五模试卷含解析

河南省郑州汝州区五校联考2024学年中考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开

始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此

种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（）

A.810年B.1620年C.3240年D.4860年

2.一组数据：1、2、2、3,若添加一个数据2,则发生变化的统计量是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

3.不等式组｛《二'为的解集在数轴上表示正确的是（）

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同

学，则根据题意列出的方程是（）

1

A.x(x+l)=132B.x(x-l)=132C.x(x+l)=132x-D.x(x-l)=132x2

2

6.下列各式：①36+3=66；②;币=1；③6,+#）=&=2及;④三=20;其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

7.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S^:SAABF=4:25,则DE：

EC=（）

8.如图，在△ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=1.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角NACM

的平分线于点F,则线段DF的长为（）

A.7B.8C.9D.10

9.如图，是直角三角形，ZAOB=90，OB=2OA,点4在反比例函数y='的图象上.若点3在反比例

X

函数丁=8的图象上，则左的值为（）

x>a

10.若关于X的不等式组c恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（）

x<2

A.a<-1B.-2<a<-1C.a<-1D.-2<a<-1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若关于x的函数丫=以2+2*-1与*轴仅有一个公共点，则实数k的值为.

12.等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当

点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.

13.如图，在ABC中，AB=AC=6行'，ZBAC=90°,点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两

点重合于点F,若DE=5,则AD的长为

14.如图，点A、B、C是圆。上的三点，且四边形ABCO是平行四边形QFLOC交圆O于点F,贝！）NBAF=_.

15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意

可列方程是.

16.八位女生的体重（单位：kg）分别为36、42、38、40、42、35、45、38,则这八位女生的体重的中位数为kg.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）先化简，再求值：上一一y十手j—（x—2y）（x+y）,其中x=—l,y=2.

（x+y）x--y

18.（8分）数学活动小组的小颖、小明和小华利用皮尺和自制的两个直角三角板测量学校旗杆MN的高度，如示意图,

△ABC和是他们自制的直角三角板，且△ABC丝小颖和小明分别站在旗杆的左右两侧，小颖将

△ABC的直角边AC平行于地面，眼睛通过斜边AB观察，一边观察一边走动，使得A、B、M共线，此时，小华测

量小颖距离旗杆的距离DN=19米，小明将A的直角边BC，平行于地面，眼睛通过斜边B，A，观察，一边观察一

边走动，使得『、A\M共线，此时，小华测量小明距离旗杆的距离EN=5米，经测量，小颖和小明的眼睛与地面的

距离AD=1米，B，E=1.5米，（他们的眼睛与直角三角板顶点A,B，的距离均忽略不计），且AD、MN、B，E均与地面

垂直，请你根据测量的数据，计算旗杆MN的高度.

A>

£

19.（8分）先化简，再求值：（x-1）其中x为方程%2+3%+2=0的根.

X+1

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6,OC=4,以OA,

OC为邻边作矩形OABC,动点M,N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO

向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP_LBC,交OB于点P,

连接MP.

(1)直接写出点B的坐标为,直线OB的函数表达式为;

(2)记AOMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0</<6)；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值.

21.(8分)如图，在四边形ABCD中，ZBAC=ZACD=90°,ZB=ZD.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=-AB,点P从B点出发，以lcm/s的速度沿BC-CD-DA运动至A点停止，则

3

从运动开始经过多少时间，ABEP为等腰三角形.

4p

22.(10分)某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果

分为非常了解”、“反了解”、“C基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

⑴这次调查的市民人数为_______人,m=,〃=；

⑵补全条形统计图；

(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“4非

常了解”的程度.

280

240

200

160

120

80

B

56%

OB等级

23.（12分）如图所示，在AABC中，AB=CB,以BC为直径的。。交AC于点E,过点E作。O的切线交AB于点

（1）求证：EFJLAB；

（2）若AC=16,。。的半径是5,求EF的长.

24.在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在

AD右侧作等腰三角形ADE,使NDAE=90。，连接CE.

探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.

应用：在探究的条件下，若AB=拒，CD=1,则ADCE的周长为.

拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.

（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案.

【题目详解】

由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，

故镭的半衰期为1620年，

故选B.

【题目点拨】

本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键.

2、D

【解题分析】

解：A.原来数据的平均数是2,添加数字2后平均数仍为2,故A与要求不符；

B.原来数据的中位数是2,添加数字2后中位数仍为2,故5与要求不符；

C.原来数据的众数是2,添加数字2后众数仍为2,故C与要求不符；

n由衣将用.七至(1—2)2+2x(2—2)2+(3—2)21

D.原来数据的方差=-------------------------—=-，

42

沃4m将方,二贴士以(1—2)2+3x(2—2)2+(3—2

55

故方差发生了变化.

故选D.

3、D

【解题分析】

试题分析：匾，由①得：x>l,由②得：xV2,在数轴上表示不等式的解集是：系^^>，故选D.

考点：1.在数轴上表示不等式的解集；2.解一元一次不等式组.

4、C

【解题分析】

根据轴对称图形的概念求解.

【题目详解】

A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

5、B

【解题分析】

全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，

那么X名同学共赠：X（X-1）件，

所以，x（x-1）=132,

故选B.

6^A

【解题分析】

343=6也，错误，无法计算；②^=1,错误；③亚+屈=瓜=2立,错误，不能计算；④率=20,

7,3

正确.

故选A.

7、B

【解题分析】

V四边形ABCD是平行四边形，

AAB/7CD

AZEAB=ZDEF,ZAFB=ZDFE

AADEF^ABAF

••SOEF：^AABF~（DE：AB）

・・S・Q-4.95

•0ADEF*0AABF-f，

ADE：AB=2：5

VAB=CD,

ADE：EC=2：3

故选B

8、B

【解题分析】

根据三角形中位线定理求出DE,得到DF〃BM,再证明EC二EF='AC,由此即可解决问题.

2

【题目详解】

在RTAABC中，・・・NABC=90。，AB=2,BC=1,

•*,AC=J^4^2+BC?=A/S2+62=1°，

VDE良&ABC的中位线，

，DF〃BM,DE=-BC=3,

2

，ZEFC=ZFCM,

VZFCE=ZFCM,

二ZEFC=ZECF,

1

；.EC=EF=-AC=5,

2

；.DF=DE+EF=3+5=2.

故选B.

【解题分析】

要求函数的解析式只要求出3点的坐标就可以，过点4、3作ACLx轴，轴，分别于C、D,根据条件得

到一ACO〜一得到：—=—=—=2,然后用待定系数法即可.

OCAC0A

【题目详解】

过点A、3作AC,尤轴，轴，分别于C、D,

设点A的坐标是（根,〃），则AC=〃，OC=m9

ZA(9B=90°,

・•・ZAOC+ZBOD=90°,

ZDBO+ZBOD=90。,

ZDBO=ZAOC,

ZBDO=ZACO=90°9

.BDO~^OCA>

.BDOPOB

"0C-AC-OA，

OB=2OA,

：.BD=2m,OD=2n>

因为点4在反比例函数y=’的图象上，则根〃=1,

X

点3在反比例函数y=月的图象上，3点的坐标是（-2”,2间，

x

k=-2n-2m—-4mn=—4.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点

的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.

10、B

【解题分析】

根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出字母a的取值范围.

【题目详解】

x>a

解：二”的不等式组"恰有3个整数解，

x<2

二整数解为1,0,-1,

.\-2<a<-l.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、0或一1。

【解题分析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：

当k=0时，函数y=2x-l是一次函数，与x轴仅有一个公共点。

当后0时，函数丫=叁2+2*-1是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则kx2+2x-1=0有两个相等的实数根,

即A=22—4-k-1)=0=>k=—1o

综上所述，若关于x的函数丫=履？+2*_1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或一1。

12、7秒或25秒.

【解题分析】

考点：勾股定理；等腰三角形的性质.

专题：动点型；分类讨论.

分析：根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析:

®PA±AC®PA±AB,从而可得到运动的时间.

:.AD=IAB2-BD2=?>,

分两种情况：当点P运动t秒后有PALAC时，

VAP2=PD2+AD2=PC2-AC2,:.PD2+AD2=PC2-AC2,

/.PD2+32=(PD+4)2-52/.PD=2.25,

.,.BP=4-2.25=1.75=0.25t,

；・t=7秒，

当点P运动t秒后有PALAB时，同理可证得PD=2.25,

:.BP=4+2.25=6.25=0.25t,

t=25秒,

点P运动的时间为7秒或25秒.

点评：本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解.

13、3行或2Jj不

【解题分析】

过点A作AGLBC,垂足为G,根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=6,设BD=x,贝!|DF=BD=x,EF=7-x,

然后利用勾股定理可得到关于X的方程，从而求得DG的长，继而可求得AD的长.

【题目详解】

如图所示，过点A作AGLBC,垂足为G,

；AB=AC=6逝，ZBAC=90°,

•••BC=7AB2+AC2=12,

VAB=AC,AG1BC,

；.AG=BG=CG=6,

设BD=x,贝!JEC=12-DE-BD=12-5-x=7-x,

由翻折的性质可知：NDFA=NB=NC=NAFE=45。，DB=DF,EF=FC,

DF=x,EF=7-x,

在RtADEF中，DE?二DF2+EF2,即25=x2+(7-x>,

解得：x=3或x=4,

当BD=3时，DG=3,AD=,32+62=36,

当BD=4时，DG=2,AD=6+62=2而，

二AD的长为3A/5或2JI6，

故答案为：3下或2M.

【题目点拨】

本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是解题的关

键.

14、15°

【解题分析】

根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到小AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到N30F=NA0r=

30。，根据圆周角定理计算即可.

【题目详解】

解答：

c

连接08,

:四边形ABC。是平行四边形，：.OC=AB,XOA=OB=OC,

：.OA=OB=AB,：./XA0B为等边三角形.

'：OFLOC,OC//AB,：.OFLAB,：.ZBOF=ZAOF=m°.

由圆周角定理得/痴/=工/3。尸=15,

2

故答案为15°.

15、50(1-x)2=1.

【解题分析】

由题意可得，

50(l-x)2=l,

故答案为50(l-x)2=l.

16、1

【解题分析】

根据中位数的定义，结合图表信息解答即可.

【题目详解】

将这八位女生的体重重新排列为：35、36、38、38、40、42、42、45,

则这八位女生的体重的中位数为失竺=lkg，

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数，如果数据有

奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数.

三、解答题(共8题，共72分)

17、1

【解题分析】

分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式的除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

/22、

y_孙+y(x-y)(x+y)

详解：原式=一(x-2y)(x+y),

、x+yx+y/x-y

一盯(x-y)(x+y)

(x2-xy-2y2),

x+y^-y

=-xy-x2+xy+2y

=-x2+2y2,

当x=-l>y=2时，

原式=-(-1)2+2X22

=-1+8

=1.

点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

18、虫米

【解题分析】

过点C作CE_LMN于E,过点C，作C，F_LMN于F,贝!JEF=B，E-AD=1.5-1=0.5(m),AE=DN=19,BF=EN=

5,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【题目详解】

解：过点C作CELMN于E,过点C，作C，F，MN于F,

则EF=BrE-AD=1.5-1=0.5(m),AE=DN=19,BrF=EN=5,

,.,△ABC^AABT%

/.ZMAE=ZB,MF,

■:ZAEM=ZBTM=90°,

/.△AMF^AMBT,

'.AEME,

MF=^F

/.19MF+0.5

MF=-5~

：.MF=is,

7

'：NF=B'E=1.5,MN=MF+NF,

'"MN=MF+B'E=y+1.5=11

答：旗杆MN的高度约为11米.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的应用，正确的作出辅助线是解题的关键.

19、1

【解题分析】

先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适

的x值，代入求值.

【题目详解】

解：原式+2—；+

X~T1—IX-1］

解d+3x+2=0得，

玉——2,2V2=—,

2

=时，----无意义，

x+1

**•取x——2.

当％=—2时，原式=—(—2)—1=1.

21

20、(1)(6,4),y=§x；(2)5=-j(r-3)2+3(0<Z<6),1,1.

【解题分析】

(1)根据四边形OABC为矩形即可求出点B坐标，设直线OB解析式为>=依，将B(6,4)代入即可求直线OB的解

析式；

(2)由题意可得=6-/,由(1)可得点P的坐标为［［，，表达出△OMP的面积即可，利用二次函数的性

质求出最大值.

【题目详解】

解：(1)；OA=6,OC=4,四边形OABC为矩形，

.\AB=OC=4,

点B(6,4),

2

设直线OB解析式为>=依，将B(6,4)代入得4=6左，解得左=§,

2

：•y二—%,

3

2

故答案为：(6,4)；y——X

3

(2)由题可知，CN=AM=t,

/.OM-6—t

由(1)可知，点P的坐标为

12

=X

•二SOMP2°M*§%，

=-x(6-t)x—t

23

=--t2+2t

3

1,

=--a-3)2+3(0<^<6)

...当/=3时，S有最大值1.

【题目点拨】

本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式.

21、(1)证明见解析；(2)从运动开始经过2s或gs或号s或竺二名旦s时，ABEP为等腰三角形.

355

【解题分析】

(1)根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边

形是平行四边形；(2)分别考虑P在BC和DA上的情况求出t的值.

【题目详解】

解：⑴VZBAC=ZACD=90o,

AAB/7CD,

VZB=ZD,ZB+ZBAC+ZACB=ZD+ZACD+ZDAC=180°,

/.ZDAC=ZACB,

；.AD〃BC,

.••四边形ABCD是平行四边形.

(2)VZBAC=90°,BC=5cm,AB=3cm,

由勾股定理得：AC=4cm,

即AB、CD间的最短距离是4cm,

1

VAB=3cm,AE=-AB,

3

AE=lcm,BE=2cm,

设经过ts时，△BEP是等腰三角形,

当P在BC上时,

①BP=EB=2cm,

t=2时，△BEP是等腰三角形;

②BP=PE,

作PM1AB于M,

0

1

BM=ME=—BE=lcm

2

ABBM3

VcosZABC=——=——=-，

BCBP5

.5

..BP=—cm,

3

t=9时，△BEP是等腰三角形;

3

③BE=PE=2cm，

作ENJ_BC于N,贝!JBP=2BN,

BN3

..cosB==—，

BE5

•BN3

••—―,

25

6

BN=—cm,

5

12

/.BP=——，

5

12

，t=不时，ABEP是等腰三角形；

当P在CD上不能得出等腰三角形,

；AB、CD间的最短距离是4cm,CA±AB,CA=4cm,

当P在AD上时，只能BE=EP=2cm,

过P作PQLBA于Q,

・••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

/.ZQAD=ZABC,

VZBAC=ZQ=90°,

/.△QAP^AABC,

，PQ：AQ：AP=4；3：5,

设PQ=4xcm,AQ=3xcm,

在AEPQ中，由勾股定理得：(3x+l)2+(4x)2=22,

.2721-3

.・x=-------------,

25

AP=5x=2西-3加,

5

•­26-3_68-25

•*t-5+5+3---------------------------,

55

答：从运动开始经过2s或3s或Us或竺二ZYUs时，ABEP为等腰三角形.

355

【题目点拨】

本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形.

22、(1)500,12,32；⑵补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“4非常了解”的程度.

【解题分析】

(1)根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A,C的百分比；(2)根据对“社

会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的人数为：32%x500=160,补全条形统计图；(3)根据全市总人数乘以A项目

所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数.

【题目详解】

试题分析：

试题解析：(1)280+56%=500人，604-500=12%,1-56%-12%=32%,

(2)对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的人数为：32%X500=160,

补全条形统计图如下：

(3)100000x32%=32000(人)，

答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度.

23、(1)证明见解析；(2)4.8.

【解题分析】

(1)连