安徽省安庆示范高中2024届高三年级下册4月联考试题 数学及其详细解析

安庆示范高中2024届高三联考

数学试题2024.4

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

uumuuu

1.已知线段A5是圆。的一条长为4的弦，则AO-AB=()

A.4B.6C.8D.16

2.复数z满足(4+3i+z)i=2—i,则目=()

A.B.426C.V34D.572

3.已知圆锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（)

A.4:1B.3:1C.2:1D.8:1

一_/_

4.已知一组数据七,％2,…,乙的平均数为G，另一组数据%,%，，%的平均数为7GH7）•若数据

一一一1一

国,々，，七“,％,丁2，一，%的平均数为2=。兀+（1—。）丁，其中5<。<1，则机,〃的大小关系为（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.以”的大小关系不确

定

5.已知抛物线C:犬=2py（p>0）的焦点F到其准线的距离为2,点加（冷弘）,'（々,％）是抛物线。上

33

6.己知函数/。;）=却才的图象经过点（2,8）,则关于％的不等式9/（%）+7（4—/）<0的解集为（）

A.（-w,-4）J（l,+w）B.（T,l）

C.（-oo,-l）（4收）D.（-1,4）

7.在正方体ABC。-AB©，中，点E尸分别为棱AB,AO的中点，过点及£和三点作该正方体的截

面，贝I」（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱8区的交点是棱8月的一个三等分点

c.ACJ_平面和石尸

D.平面A耳2〃平面GE产

8.若项数均为心2,〃eN*）的两个数列{4},也}满足以—。*=左（左=1,2,…川，且集合

{%,%,4,优也，…也}={1,2,3,…,2"},则称数列{4},{>“}是一对“〃项紧密数列”.设数列

{见},{2}是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对.

A.5B.6C.7D.8

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知集合A={;ceZ|x2—2%—8<0卜集合3={$9'>3'",meR,xeR},若A8有且仅有3个不

同元素，则实数机的值可以为（）

A.0B.1C.2D.3

10.已知函数/（X）=binx|+cos|2x],则（）

A.函数4月的最小正周期为万

TT

B.函数/（%）在0,（上单调递增

C.函数“力的最大值为三

8

9

D.若方程〃x）=a（a£R）在[f上有且仅有8个不同的实根，则—

8

11.直线/与双曲线E:x?-匕=1的左、右两支分别交于A、3两点，与E的两条渐近线分别交于。、D

9

两点，AC、D、5从左到右依次排列，则（）

A.线段与线段CD的中点必重合B.“1=1即

C.线段AC,CD,的长度不可能成等差数列D.线段AC,CD,£右的长度可能成等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在3盯2+_的展开式中，不含字母y的项为.

Iy）

13.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一

个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若

所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

14.由函数/（力=1m•图象上一点2向圆。：炉+（3；—2）2=4引两条切线，切点分别为点4瓦连接,

当直线的横截距最大时，直线的方程为,此时cosNAPB=.（第1空2分，

第2空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分13分）

随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”.某校生物学

社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据

（x,.，X）0=1,2,3,.,40,20<x;.<60）,其中超表示年龄，、表示脂肪含量，并计算得到£=48；=27,

作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为y=0.591x+b.

（1）请求出6的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？

（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标,

于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材,

并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：

甲款使用年限统计表

使用年限5年6年7年8年合计

台数10403020100

乙款使用年限统计表

使用年限5年6年7年8年合计

台数30402010100

如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用

更长久？

16.（本题满分15分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,AB±AD,AP±DP,CD=3AB=3,AD=2AP=4,PB=45,

AD=4AE,连接BE,CE,PE.

（1）求证：平面？平面PCE；

（2）求直线CE与平面PCD所成角正弦值的大小.

17.（本题满分15分）

已知函数/'（X）=xlwc-ax^aeR）在点（e,/（e））处的切线平行于直线x-y=O.

（1）若/'（x）之e?对任意的xw（0,+oo）恒成立，求实数机的取值范围；

⑵若》是函数人（%）=/（%）+%2的极值点，求证：/（%0）+3Ao>0.

18.（本题满分17分）

已知数列｛%｝的首项等于3,从第二项起是一个公差为2的等差数列，且出,%，％成等比数列•

（1）求数列｛q｝的前〃项的和口

(2)设数列｛b｝满足tan/?,,=」-且2c

n，若数列也,｝的前〃项的和为I,求tan].

S„

19.（本题满分17分）

已知椭圆Ci：亍+/=1,圆。2：/+/=1.

（1）点3是椭圆G的下顶点，点尸在椭圆G上，点0在圆。2上（点P，Q异于点8），连BP,BQ,直线

5P与直线8。的斜率分别记作加白，若左2=4左，试判断直线尸。是否过定点？若过定点，请求出定点

坐标；若不过定点，请说明理由.

（2）椭圆G的左、右顶点分别为点A，4,点E（异于顶点）在椭圆G上且位于X轴上方，连

分别交y轴于点M,N,点E在圆。2上，求证：M0・印=0的充要条件为防〃兀轴.

安庆示范高中2024届高三联考

数学试题参考答案

题号1234567891011

选项CDABACBBABACDABD

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

nunum1UU121

1.C【解析】由条件知=—A3=-X42=8,故选C.

22

2.D【解析】由条件知z=『—4—3i=——"3i=—5—5i,所以忖=50,故选D.

3.A【解析】根据条件可知其外接球与内切球的半径之比为2:1,所以其表面积之比为4:1,故选A.

4.B【解析】由题意可知%+%+・+/=加工，%+%=〃y，%i+%+・+（+%+

%++%=（m+〃）z,于是mx+ny=（jn+n）z,又z=ax+（l-a^y,所以

mx+=+=++—,所以相=+=,两式相减得

m—n=（m+n）（2<2—1）>0,所以相>〃，故选B.

5.A【解析】由已知得炉=4y,所以X；==4%，根据（匹+6*2）（西—瓜）=8得x；—3x；=8

NF1

即4%—12y2=8,于是％+1=3（%+1），BP|MF|=3|7VF|,所以成下=屋故选A.

6.C【解析】由题意知/（2）=4a=8,解得a=2,所以/（%）=2x|x|,其在R上单调递增，且函数

为奇函数，9/（x）=/（3%）,所以不等式9/（x）+/（4-x2）<0可化为

f（3x）<-/（4-x2）=/（x2-4）,于是3x<%2—4,即/一3工—4>0,解得x>4或x<-L,故选C.

7.B【解析】将线段EE向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱CD的延长线交于C,H,连GCG”

分别与棱BB「DD［交于P,Q,则可得到截面多边形C］PEFQ是五边形,A错误；因BG==gAG，

,,BPBC1

所cr以一=—L=-，于是截面与棱8月的交点尸是棱8月的一个三等分点，B正确，因A。与G。不垂

PBlBG2

直，GPu平面QEF，所以A。与平面JEF不垂直,选项C错误；因4C，平面AB.D,,所以平面QEF

与平面AB［。］不平行，选项D错误，故选B.

8.B【解析】由条件知。1一4二1,。2一02=2,。3一63=3,。4一d=4,

于是+。2+。3+。4)—("1+4+&+")=10,

又(％+%+%+〃4)+(4+4+&+4)=--------=36,

所以％+2+/+“4=23,4+a+&+%=13,

于是“4项紧密数列”有{an}:8,5,4,6,也}:7,3,1,2;{%}:8,4,6,5,{bn}:7,2,3/；

{%}:7,3,5,8,{bn}:6,1,2,4;{«„}:3,8,7,5,也}:2,6,4,1;{«„}:2,7,6,8,{/?„}:1,5,3,4;{%}：2,6,

8,7,{2}:1,4,5,3共有6对，故选B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.AB【解析】由条件知4=卜€胃白一2x_8<0}={—1,0,1,2,3},B={x|9x>3m,rneR,xeR}=

IT]vn

\xx>-\,要使A3有且仅有3个不同元素，则0W—<1,解得0<相<2,结合备选答案，AB符

[2J2

合，故选AB.

10.ACD【解析】由条件可知/(%)=|sinx|+cos12%|=|sint|+cos2%,因

+=卜in(尤++cos2(尤+")=卜inx|+cos2x=/(x),又函数y=|sinx|与y=cos2x的最小正

周期均为"，所以函数4》)的最小正周期为万，A正确；X/(-%)=|sin(-x)|+cos(-2x)=/(%)，所

TT

以函数/(%)为偶函数，考虑当xe0,万时，

/（0）=1,/|=0,作出函数的大致图象，即可判断D正确，故选ACD.

y=kx+m

11.ABD【解析】设直线/:y=直+肛4（芭,％）,巩%,％），°（%3，，3），。（%4，p4），联立＜

x=

y=kx+m

2c72c八十口2kmm+9陋__/口

x-2kmx-m-9=0,于是毛+斗=---r，MM=-------r，联立《。v2得

9一429-222-2_o

Ix9=

2

22kmm

（9_r）/_2kmx-m=0，于是x+x，所以玉+%=%3+%4，因此线段AB

349-k2…一。

与线段CD的中点必重合，A正确；设中点为P,贝”/科=|/科,归。|=1加1所以依。|=忸。］，B正确;

假设线段AC,CD,08的长度成等差数列，贝/4。|+|功1=2|6|，所以|人却=3|8|,于是

归1_9|=3,3—耳，两边同时平方并整理得(M+%)2_4%1々=9［(/+xj_4七%］,于是

屈勺］-4x~m~~9=9(用彳］—4x二^,展开整理得8//?+42=9,该方程有解，所以存

9-k2)9-k2\y9-k2)9-k2

在直线/,使得线段AC,CD,的长度成等差数列，C错误；同上推理，当线段AC,CD,£归的长度相等

时，线段AC,CD,的长度成等比数列，D正确，故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.135%2

【解析】由条件可知不含字母y的项为(3孙2)2=135/.

y）

]_

13.

3

l+2+C^-Cj_9

【解析】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件B,贝UP(A)=

Cj-C^=25

=-,故填L

33

e2-7

14.ex-y-2-0,----

-e2+l

【解析】设点P&lnf),则以线段PC为直径的圆的方程为MxT)+(y—2)(y—1皿)=0,整理得

x2+y2-tx—(2+In/)y+21nr=0,与圆C:x?+(y-2)2=4相交，得直线

AB:ZX+(ln/—2)y-21n，=0,令y=0,则％=—,构造函数g(z)=—,对其求导得

g，(z)=2(Jn/),令且,⑺=0,则％=已，于是函数g⑺在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

9

其最大值为g(e)=—,此时直线AB的方程为

e

--------AC2

2

ex-y-2=0,P（e,1）,|PC|=Ve+1,sinZAPC=~=2，于是cosZAP5=cos2ZAPC=

,e2-7

l-2sin2ZAPC=^—.

e2+l

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.解：（1）因线性回归直线方程经过样本中心（输,工），

所以将1=48,7=27代人y=0.591x+6,

得到b=Tl-0.591x48=-1.368.

于是y=0.591x—1.368,

当x=35时，y=0.591x35—1.368=19.317.

所以匕的值为-L368,估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317.

（2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为X（单位：年），则X的分布列为

X5678

p0.10.40.30.2

于是E（X）=5x0.1+6x0.4+7x0.3+8x0.2=6.6.

设乙款健身器材使用年限为y（单位：年），则y的分布列为

Y5678

P0.30.40.20.1

于是石（F）=5xO.3+6xO.4+7xO.2+8xO.l=6.L

因石（x）＞E（y）,所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久.

71

16.解：（1）因AP，£）P,A£）=2AP=4,所以/出O=—,

3

又AD=4AE,所以AE=1,

根据余弦定理知

PE~=AE2+AP2-2xAExAPxcosZPAD=l+4-2xlx2x-=3,

2

又C£）=3AB=3,AD=4,AB，AD,所以BE=6,CE=3^,BC=2小,

于是BE?+PE2=PB2,所以PELBE,

BE-+CE~=BC2,于是

因PECE=E,所以5EJ_平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面？平面PCE.

(2)如图，以点E为原点，分别以ED,EP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则尸倒,0,若）,C（3,3,0）,°（0,3,0）,3（1,-1,0）

于是EC=（3,3,0）,

设平面PCD的法向量为加=（羽y,z）,

又PC=（3,3,-73）,DC=（3,0,0）,

m-PC=3x+3y-A/3Z=0/\

于是1,所以不妨取"?=0,1,6r,

mDC=3x^0''

设直线CE与平面PCD所成角为e,

EC-m342

则sin6=cos（EC,m

\EC\-\m\-372x2-4

所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为也.

4

17.解：对函数/(%)求导得/'(x)=lnx+l—a,

所以/'(e)=1+1—a=2—a=1,

解得a=l.

nx

(1)由题意可知X1—>m对任意的无e(o,+8)恒成立，

2(c2>(

BPInx-1+—e2加对任意的x£(0,+oo)恒成立，只需lnx-l+—>m,

e

令乳%)=Inx-lH---,x>0,

对其求导得g'(x)=g_§=WU，

所以当xe(0,e2)时，g'(无)<0,函数g(x)单调递减；

当xe(e2,+co)时，gf(x)>0,函数g(x)单调递增.

所以8。濡=8付)=2-1+1=2,

于是租<2,因此实数加的取值范围是(-8,2].

(2)由条件知人(%)=xlnx—%+%2,对其求导得"(％)=lnx+2x,

2

函数/z'(x)在(0,y)上单调递增，且加-l+-<0,h,(l)=2>0,

:e

所以存在使〃(％)=0,即1叫)+24=0,

当xw(O,Xo)时，/z,(%)<0,函数人(无)单调递减；

当xe(xo，+s)时，〃(x)>0,函数/z(x)单调递增，

于是％是函数/i(x)的极值点，

所以/(%o)+3x0=xolnxo+2x0=-2x1+2x0=2x0(l-x0)>0,即得证.

18.解：(1)因〃2，。4，。8成等比数列，所以。：=。2。8，即(％+4)2=〃2(〃2+12)，

解得“2=4,

所以当〃22,〃wN”时，an=2nf

又％=3不符合上式,

3,〃二1

所以数列｛4｝的通项公式为为=<

2n,n>2

因此S]=%=3,

(〃—1)(4+2〃)

当〃22,〃wN*时，=3+4+6++2〃=3+=〃2+〃+1,

2

又$=3符合上式,

所以当V〃wN*时，5„=n2+n+l.

1(n+l)-n

(2)由(1)知tan%=

n2+n+ll+(n+l)n

4tanc„=n,c„el0,1L

粤ytas-K=

所以tan。”=

l++1+tan%+』anc〃

又bne[0,,c〃+i-％e„所以bn=c,

因此7；=4+么+&++勿=（。2—弓）+（。3_。2）+（。4一。3）++（c〃+i_c〃）=c,+i_Ci，

tanc〃+1-tanqH+1-1n

所以tan?；=tan(c“+]_cj=

1+tanc〃+Janq1+n+l〃+2

n

于是tan[=

〃+2

19.解：⑴设尸（七,必）,。（々,％），则?+才=Lx；+y；=1,

十目4（%+1）玉%+1_%

J7E----------------------,--------=----------，

王%-1%y2T

因点B（O,-1）,^=4匕，所以%+1=4（必+1），于是=^―-

%再切一，%—1

整理得再%—=%一9，

又直线P。的方程为y—%=义二h（x—再），

x2-xr

即y=AZA尤—AzAxi+%=AzAx+=AzAx+1,

—

X?—XjX2%]X?—XjXy—X?X2—

所以直线PQ过定点，定点坐标为（0,1）.

（2）设石（%3，%），尸（%”），则?■+¥=1,就+y：=1，设M（O，M，N（O,〃）,

因A（—2,0）,所以直线AE:y=^^（x+2）,所以m=」匚，

1^3+21^3+2

因4（2,0）,所以直线—2