2024届湖北省宜昌西陵区五校联考中考三模数学试题含解析

2024届湖北省宜昌西陵区五校联考中考三模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

2x+2

1.解分式方程--+——=3时，去分母后变形为

x-11-x

A.2+（x+2）=3（x-l）B.2—x+2=3（x—1）

C.2-（x+2）=3（l-?）D.2-（x+2）=3（x-l）

2.下列运算正确的是（）

A.-3a+a=-4aB.3x2«2x=6x2

2J22（）

C.4a-5a=aD.2x32^2X2=2X4

3.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，贝!IsinA的值为（）

A/10

D.

7o~

4.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=50。，则N2的度数为（）.

6.若二次函数＞=。必一2奴+。的图象经过点（-1,0）,贝历程——2ox+c=0的解为（）

A.“I=-3,%2——1B.X]—1,%2=3C."1=一1，“2=3D.Xj——3）X,—1

7.在武汉市举办的“读好书、讲礼仪”活动中，某学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，

还有师生捐献的图书.下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图，根据图中信息，该班平均每人捐书的册数

是（）

8.如图，在边长为6的菱形ABC。中,NZMB=60°,以点。为圆心，菱形的高。/为半径画弧，交AO于点E,交CD于

点G,则图中阴影部分的面积是（）

A.18—3乃B.18百一9万C.9A/3-^D.186一3兀

9.有个零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的主视图是（）

11.十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长

80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）

A.8xl012B.8xl013C.8xl014D.0.8xl013

l-2x<3

12.不等式组x+1的正整数解的个数是（）

-------<2

I2

A.5B.4C.3D.2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，把4ABC绕点C按顺时针方向旋转35。,得到△A?BC,A，B，交AC于点D,若NA，DC=90。,则/A='

14.如图，直线yi=mx经过P（2,1）和Q（—4,—2）两点，且与直线y2=kx+b交于点P,则不等式kx+b>mx>—2

的解集为.

15.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点

Q在对角线OB上，若OQ=OC,则点Q的坐标为.

16.新定义［a,b］为一次函数（其中存0,且a,b为实数）的“关联数”，若“关联数”［3,m+2］所对应的一次函数是正

比例函数，则关于x的方程£］的解为

17.在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+x+2上有一动点P,直线y=-x-2上有一动线段AB,当P点坐标为时,

△PAB的面积最小.

J1,

△

X

18.如图，四边形A5CD内接于。O,AD.的延长线相交于点£,AB.DC的延长线相交于点E若NE+N尸=

80°,则NA=

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)某商场柜台销售每台进价分别为160元、120元的4、3两种型号的电器，下表是近两周的销售情况:

销售数量

销售时段销售收入

A种型号B种型号

第一周3台4台1200元

第二周5台6台1900元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

(1)求A、3两种型号的电器的销售单价；

(2)若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电器共50台，求A种型号的电器最多能采购多少台？

(3)在(2)中商场用不多于7500元采购这两种型号的电器共50台的条件下，商场销售完这50台电器能否实现利润

超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

20.(6分)(1)计算：(―；)-1+厄-(7t-2018)0-4cos30°

3x>4(%-1)

(2)解不等式组：Lx-2,并把它的解集在数轴上表示出来.

2-x<-------

I3

21.(6分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.

(I)AABC的面积等于；

(II)若四边形DEFG是正方形，且点D,E在边CA上，点F在边AB上，点G在边BC上，请在如图所示的网格

中，用无刻度的直尺，画出点E,点G,并简要说明点E,点G的位置是如何找到的（不要求证明）

22.（8分）由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200

元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50

台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.完成下

列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x的取值范围；

售价（元/台）月销售量（台）

400200

250

X

（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

23.（8分）阅读下面材料，并解答问题.

材料：将分式一'—JJ拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

-x2+l

解：由分母为-x2+l,可设-x4-x2+3=（-x2+l）（x2+a）+b则-x14-x?+3=（-x2+l）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=

-x4-（a-1）x2+（a+b）

（2—1=1

・・,对应任意x,上述等式均成立，工｛,Aa=2,b=l

a+b=3

-x4-x2+3_(-x2+l)(x2+2)+1_(-x2+l)(x2+2)+47rx2+2+Tz这样'分式-x4-x2+3

被拆分成

—%2+1—%2+1—%2+1-x2+l

了一个整式3与一个分式看的和.

——6%2+8—无4—6%2+8

解答：将分式、十"拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.试说明二~的最小值

-x2+l-x2+l

为1.

24.(10分)(1)计算：|-3|-加-2sin30°+(--)-2

2

2x2).x-2y

（2）化简:~~22

x+yx+y九一丁

25.（10分）已知△ABC中，AD是NBAC的平分线，且AD=AB,过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点

H.

(1)如图1,若NBAC=600.

①直接写出NB和NACB的度数;

②若AB=2,求AC和AH的长;

（2）如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明.

26.（12分）先化简，再求值：三二―其中x满足――4%+1=0.

x-lIX-xJ

27.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。O,交BC于点D,连接AD.过点D作DEJ_AC,

垂足为点E.求证：DE是。。的切线；当。O半径为3,CE=2时，求BD长.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

2x+2

试题分析：方程一+——=3,两边都乘以x-1去分母后得：2-(x+2)=3(x-1),故选D.

x-11-x

考点：解分式方程的步骤.

2、D

【解题分析】

根据合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法逐项计算，结合排除法即可得出答案.

【题目详解】

A.-3a+a=-2a,故不正确；

B.3x2»2x=6x3,故不正确；

C.4a2-5a2=-a2,故不正确；

D.(lx3)2-?2X2=4X64-2X2=2X4,故正确；

故选D.

【题目点拨】

本题考查了合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.

3、B

【解题分析】

连接CD,求出CDJ_AB,根据勾股定理求出AC,在R3ADC中，根据锐角三角函数定义求出即可.

【题目详解】

解：连接CD(如图所示)，设小正方形的边长为1,

22

VBD=CD=^/i+1=72，NDBC=NDCB=45。，

:.CDLAB,

在RtAADC中，AC=A/10)CD=A/2，则sinA=---=-^==——.

ACV105

故选B.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角

形.

4、B

【解题分析】

解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得N3=N1=5O。,

根据平角为180°可得，N2=90。-50°=40°.

【题目点拨】

本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键.

5、A

【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2歹!),每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

考点：三视图

»视频

6、C

【解题分析】

•.,二次函数y=a%2—2奴+。的图象经过点(-1,0),.•.方程—2ax+o=。一定有一个解为：x=-1,1•抛物线

的对称轴为：直线x=L.•.二次函数y=以2一2以+。的图象与x轴的另一个交点为：(3,0),...方程4a?—2ax=。

的解为：%=-1,4=3.

故选C.

考点：抛物线与x轴的交点.

7、B

【解题分析】七年级⑴班捐献图书的同学人数为9+18%=50人，捐献4册的人数为50x30%=15人，捐献3册的人数

为50-6-9-15-8=12人，所以该班平均每人捐书的册数为(6+9x2+12x3+15x4+8x5)+50=3.2册，故选B.

8、B

【解题分析】

由菱形的性质得出AD=AB=6,ZADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF,图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面

积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可.

【题目详解】

•••四边形ABCD是菱形，NDAB=60。，

/.AD=AB=6,ZADC=180°-60°=120°,

VDF是菱形的高，

ADFIAB,

DF=AD»sin60°=6x叵=3石，

2

•••阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6x373—20万;;；立)一6一97r.

=18

故选B.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.

9、C

【解题分析】

根据主视图的定义判断即可.

【题目详解】

解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C正确.

故选：C.

【题目点拨】

此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键.

10、D

【解题分析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代

入计算可得.

【题目详解】；点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称，

l+m=3>1-n=2,

解得：m=2、n=-1,

所以m+n=2-1=1,

故选D.

【题目点拨】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题

的关键.

11、B

【解题分析】

80万亿用科学记数法表示为8x1.

故选B.

点睛：本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为oxi。"的形式，其中1<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的

绝对值<1时,n是负数.

12、C

【解题分析】

先解不等式组得到-1VXW3,再找出此范围内的正整数.

【题目详解】

解不等式L2xV3,得:x>-l,

V-U1

解不等式:—<2,得：xW3,

2

则不等式组的解集为-1<XW3,

所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出一元一次不等式组的解集.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、55.

【解题分析】

试题分析：•••把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到AA，B，C

NACA，=35。，ZA=ZA\.

■:ZA,DC=90°,

NA'=55°.

:.ZA=55°.

考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.

14、-4<x<l

【解题分析】

将P(L1)代入解析式yi=mx,先求出m的值为:，将Q点纵坐标y=l代入解析式y=gx,求出yi=mx的横坐标

x=-4,即可由图直接求出不等式kx+b>mx>-l的解集为时，x的取值范围为-4VxVL

故答案为

点睛：本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出函数图象的交点坐标及函数与轴的交点坐标是解题的关键.

15、(亚，也)

【解题分析】

如图，过点Q作QDLOA于点D,

:.NQDO=90°.

:四边形OABC是正方形，且边长为2,OQ=OC,

•,.ZQOA=45°,OQ=OC=2,

/.△ODQ是等腰直角三角形,

•*.OD=OQ=2_=«.

.••点Q的坐标为盛扬

16、：

【解题分析】

试题分析：根据“关联数”［3,m+2］所对应的一次函数是正比例函数,

得到y=3x+m+2为正比例函数，即m+2=0,

解得：m=-2,

则分式方程为£，=】，

去分母得：2-(x-1)=2(x-1),

去括号得：2-x+l=2x-2,

解得：X=g,

经检验x］是分式方程的解

考点：1.一次函数的定义；2.解分式方程；3.正比例函数的定义.

17、(-1,2)

【解题分析】

因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P点，然后求

得平移后的直线，联立方程，解方程即可.

【题目详解】

因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，

若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点，

设平移后的直线为y=-x-2+b,

•直线y=-x-2+b与抛物线y=x2+x+2相切，

/.x2+x+2=-x-2+b,即x2+2x+4-b=0,

则A=4-4(4-b)=0,

平移后的直线为y=-x+l,

：y=-x+l得*=』，

解"+»2y=2,

.••P点坐标为(-1,2),

故答案为(-1,2).

【题目点拨】

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点

即为P点是解题的关键.

18、50

【解题分析】

试题分析：连结EF,如图，根据圆内接四边形的性质得NA+NBCD=180。，根据对顶角相等得/BCD=NECF,则

ZA+ZECF=180°,根据三角形内角和定理得NECF+N1+N2=18O。，所以N1+N2=NA,再利用三角形内角和定理得

到NA+NAEB+N1+N2+NAFD=18O。，则NA+8(T+NA=180。，然后解方程即可.

试题解析：连结EF,如图，

■:四边形ABCD内接于。O,

.\ZA+ZBCD=180o,

而NBCD=NECF,

.".ZA+ZECF=180°,

■:ZECF+Z1+Z2=18O°,

/.Z1+Z2=ZA,

■:ZA+ZAEF+ZAFE=180°,

BPZA+ZAEB+Z1+Z2+ZAFD=18O°,

.,.ZA+80°+ZA=180°,

/.ZA=50°.

考点：圆内接四边形的性质.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)A型电器销售单价为200元，B型电器销售单价150元；(2)最多能采购37台；(3)方案一：采购A型36

台B型14台；方案二：采购A型37台B型13台.

【解题分析】

(1)设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电器收入1200元，5台A

型号6台B型号的电器收入1900元，列方程组求解；

(2)设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器(50-a)台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；

(3)根据A型号的电器的进价和售价，B型号的电器的进价和售价，再根据一件的利润乘以总的件数等于总利润列

出不等式，再进行求解即可得出答案.

【题目详解】

解：(1)设A型电器销售单价为x元，B型电器销售单价y元，

3x+4y=1200

则｛,

[5x+6y=1900

x=200

解得：1

[y=150

答：A型电器销售单价为200元，B型电器销售单价150元；

(2)设A型电器采购a台，

则160a+120(50-a)<7500,

解得：aw",

2

则最多能采购37台；

(3)设A型电器采购a台，

依题意，得:(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850,

解得：a>35,

贝!I35<a<—,

2

；a是正整数，

•*.a=36或37,

方案一：采购A型36台B型14台；

方案二：采购A型37台B型13台.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系和不等关系，列方程组和不等式求解.

20、(l)-3;(2)2<x<4.

【解题分析】

分析：

(1)代入30。角的余弦函数值，结合零指数塞、负整数指数塞的意义及二次根式的相关运算法则计算即可；

(2)按照解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集规范的表示到数轴上即可.

(1)原式=(—g)+712-(^-2018)°-4cos30°

=—2+26—1—4x3

2

=-3.

,3x24(x-l)①

(2)\x-2否

2-xK-------(2)

I3

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x>2,

...不等式组的解集为：2<x<4

不等式组的解集在数轴上表示：

0

点睛：熟记零指数塞的意义：a°=l(awO),ap=^~(。/0,。为正整数)即30。角的余弦函数值是本题解题的

ap

关键.

21、6作出NACB的角平分线交AB于F,再过F点作FELAC于E,作FGLBC于G

【解题分析】

(1)根据三角形面积公式即可求解，(2)作出NAC5的角平分线交AB于居再过F点作FE±AC于E,作FGLBC于

G,过G点作GD1AC于。，四边形DEFG即为所求正方形.

【题目详解】

解：(1)4x3+2=6,故AABC的面积等于6.

(2)如图所示，作出NAC5的角平分线交A3于尸，再过F点作fELAC于E,作FG,3c于G四边形DEFG即为所求

正方形.

故答案为：6,作出NAC5的角平分线交A5于区再过F点作FELAC于E,作尸G,3c于G.

【题目点拨】

本题主要考查了作图-应用与设计作图、三角形的面积以及正方形的性质、角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质及

正方形的性质作出正确的图形是解本题的关键.

22、(l)390,L5x,y=-5x+l(300WxW2);(2)售价定位320元时，利润最大，为3元.

【解题分析】

(1)根据题中条件可得390,l-5x,若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根

据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值.

(2)用x表示y,然后再用x来表示出w,根据函数关系式，即可求出最大w.

【题目详解】

⑴依题意得：

化简得:y=-5x+l.

⑵依题意有：

x>300

-5x+2200>450

解得300<x<2.

(3)由(1)得：w=(-5x+l)(x-200)

=-5x2+3200x-440000=-5(x-320)2+3.

；x=320在300WxW2内，.•.当x=320时，w最大=3.

即售价定为320元/台时，可获得最大利润为3元.

【题目点拨】

本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解

法的运用，解答时求出二次函数的解析式时关键.

23、(1)=X2+7+-^—(2)见解析

-x~+1

【解题分析】

(1)根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式即可；

(2)原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可.

【题目详解】

(1)设-x4-6x+l=(-x2+l)(x2+a)+b=-x4+(1-a)x2+a+b,

1-«=-6

可得《

a+b=8

解得：a=7,b=l,

则原式.+上

-x4-6x2+8

(2)由(1)可知,=X2+7+—I—

-x2+l-x2+l

,.•x2>0,/.X2+7>7；

当x=0时，取得最小值0»

**•当x=0时，x2+7+-----最小值为1,

—x'+1

即原式的最小值为L

24、(1)2;(2)x-y.

【解题分析】

分析：(D本题涉及了二次根式的化简、绝对值、负指数累及特殊三角函数值，在计算时，需要针对每个知识点分别

进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.(2)原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除

法法则变形,约分即可得到结果.

详解：(1)原式=3-4-2x%4=2；

⑵原式=生红•生”㈡=x-y.

x+yx-2y

点睛：(1)本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数

指数塞、二次根式的化简、绝对值及特殊三角函数值等考点的运算；(2)考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

25、(1)①45。，②必8；(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.证明见解析.

2

【解题分析】

(1)①先根据角平分线的定义可得NBAD=NCAD=30。，由等腰三角形的性质得NB=75。，最后利用三角形内角和可

得NACB=45。；②如图1,作高线DE,在RtAADE中，由NDAC=30。，AB=AD=2可得DE=LAE=若，在

RtACDE中，由NACD=45。，DE=1,可得EC=1,AC=73+1,同理可得AH的长；(2)如图2,延长AB和CH

交于点F,取BF的中点G,连接GH,易证AACH之△AFH,贝！］AC=AF,HC=HF,根据平行线的性质和等腰

三角形的性质可得AG=AH,再由线段的和可得结论.

【题目详解】

(1)①；AD平分NBAC,ZBAC=60°,

:.ZBAD=ZCAD=30°,

VAB=AD,

.•“幽卫=75。,

2

:.ZACB=180°-60°-75°=45°；

②如图1,过D作DELAC交AC于点E,

图1

在RtAADE中，VZDAC=30°,AB=AD=2,

.\DE=1,AE=5

在RtACDE中，VZACD=45°,DE=1,

/.EC=1,

-,.AC=V3+b

在RtAACH中，VZDAC=30°,

1V3+1

.\CH=-AC=

22

/.AH=7AC2-CH2(6+1)2-

2

(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.

证明：如图2,延长AB和CH交于点F,取BF的中点G,连接GH.

易证AACH丝△AFH,

；.AC=AF,HC=HF,

；.GH〃BC,

VAB=AD,

；.NABD=NADB,

:.ZAGH=ZAHG,

,*.AG=AH,

AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【题目点拨】

本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形全等