5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（分层作业）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)（分层作业）（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：三角函数图象之间的变换1.要得到y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移eq\f(π,8)个单位 B．向右平移eq\f(π,8)个单位C．向左平移eq\f(π,4)个单位 D．向右平移eq\f(π,4)个单位【答案】A【解析】因为y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))，所以将y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,8)个单位，得到y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象．2.把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移eq\f(π,6)个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq\f(2,3)倍，所得图象的解析式是y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝3sinxC．f(x)＝3cosx＋3 D．f(x)＝sin3x【答案】A【解析】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq\o(→,\s\up25(纵坐标伸长),\s\do35(到原来的\f(3,2)倍))y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq\o(→,\s\up25(横坐标缩短),\s\do35(到原来的\f(1,2)倍))y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))eq\o(→,\s\up35(向左平移\f(π,6)个),\s\do20(单位))y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)＋\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝3cosx3.将函数y＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．【答案】y＝－eq\r(2)cos2x－3【解析】y＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得y＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq\r(2)cos(2x＋π)＝－eq\r(2)cos2x，再向下平移3个单位长度得y＝－eq\r(2)cos2x－3的图象．4.将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋eq\f(π,4)＋1的图象？[解]法一：(先伸缩法)①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位，得y＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象．法二：(先平移法)①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移eq\f(π,4)个单位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象．题型二：已知函数图象求解析式5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2【答案】A【解析】由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq\f(1,2)，又因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，6))在函数f(x)的图象上所以6＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，所以eq\f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)所以φ＝－eq\f(π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．[解]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－eq\f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜eq\f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．[解]由最低点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离为eq\f(π,2)，故eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).题型三：三角函数图象与性质的综合应用8.已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(14,3)C.eq\f(26,3)D.eq\f(38,3)【答案】B【解析】因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，所以直线x＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,4)是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，所以当x＝eq\f(π,4)时，f(x)取得最小值．所以eq\f(π,4)ω＋eq\f(π,3)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq\f(10,3)，(k∈Z)又因为T＝eq\f(2π,ω)≥eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－eq\f(10,3)＝eq\f(14,3).9.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．[解]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝eq\f(π,2).由f(x)的图象关于点M对称，可知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq\f(3π,4)ω＋eq\f(π,2)＝kπ，解得ω＝eq\f(4k,3)－eq\f(2,3)，k∈Z.又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，所以T≥π，即eq\f(2π,ω)≥π.∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1时，ω＝eq\f(2,3)；k＝2时，ω＝2.故φ＝eq\f(π,2)，ω＝2或eq\f(2,3).【能力提升】一、单选题1．把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用平移求得，再由三角函数对称性即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，∵所得函数图象关于轴对称，即=，∴，∵，∴当时，的最小值为故选：C2．函数，给出下列四个命题：①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是其中，正确的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将函数进行化简，结合三角函数的图像和性质即可求函数图像的单调区间、对称轴、平移、值域．【详解】，求函数的单调减区间：由，得，时，有在区间上是减函数，①正确；求函数的对称轴：由，得，时，是函数图像的一条对称轴，②正确；由向左平移个单位后得到，③不正确；当时，，有，所以的值域为，④不正确．故正确的是①②，正确的命题个数是2个.故选：B3．函数在区间上的零点个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先转化原问题转化为求两个函数的图象的交点的个数的问题，然后画出图像，确定图象的交点个数即可.【详解】函数在上零点的个数即方程在上解的个数，方程化简可得，所以方程方程的解的个数为函数与函数的图象交点的个数，其中，在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，故函数在区间上的零点个数为4，故选：C．二、多选题4．已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（

）A． B．C．的图像关于点对称 D．在上单调递减【答案】ABD【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可【详解】由图像可知函数的最大值为2，最小值为，所以，，又又所以又，所以所以，故A正确，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得，故B选项正确，由所以的图像关于点对称，故C错误.由即所以选项D正确故选：ABD.5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ABC【分析】先通过部分图像求出函数解析式，通过赋值法可知AB错误；根据图像平移的左加右减原则，可知C错误；求出在上的单调区间以及最值，可知D正确.【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，所以，又，所以，所以．当时，，故A中说法错误；当时，，故B中说法错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C中说法错误；当时，，则当，即时，单调递减，当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，所以D中说法正确．故选：ABC．6．函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（

）A．B．的一个对称中心为C．函数图像向右平移个单位可得图象D．是函数的一条对称轴【答案】AB【分析】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.【详解】解：因为为该图像最高点，所以，又函数的图象与轴交于点，则，又，所以，则，则，所以，由图可知，所以，所以，所以，故A正确；对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误；对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.故选：AB.7．已知函数，直线和点是的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（

）A．函数为偶函数 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上为单调函数 D．函数在区间上有23个零点【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质结合条件可得，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.【详解】由题可知的最小正周期为，所以，由，，，又，所以，，所以为偶函数，故A正确；因为，为一个对称中心，故B正确；当时，，所以函数区间上不单调，故C错误；由，，可得，所以，，即函数在区间上有23个零点，故D正确．故选：ABD.8．下列说法正确的是（

）A．若，则的范围为B．若在第一象限，则在第一、二象限C．要得到函数的图像，只需将函数向右平移个单位D．在中，若，则的形状一定是钝角三角形【答案】ACD【分析】A选项：利用不等式的性质求范围即可；B选项：根据题意将的范围表示出来，再通过的范围得到的范围，即可判断的位置；C选项：根据函数图象平移的结论平移即可；D选项：利用正切的和差公式表示出来，再分类讨论即可.【详解】A选项：因为，所以，又，，所以，所以，故A正确；B选项：因为在第一象限，所以，所以，在第一、二象限或轴正半轴上，故B错；C选项：因为，所以向右平移个单位得到，故C正确；D选项：，因为，所以，由题意知，当时，则或小于零，此时或为钝角，为钝角三角形；当时，，所以为锐角，为钝角，为钝角三角形，故D正确.故选：ACD.9．函数（，，）的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（

）A．直线是函数图像的一条对称轴B．函数的图像关于点，对称C．函数的单调递增区间为，D．将函数的图像向由右平移个单位得到函数的图像【答案】BCD【分析】根据给定的函数图象结合“五点法”作图，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】观察图象得：函数的周期，有，即，则，由得：，而，则，因此，对于A，，即直线不是函数图像的一条对称轴，A不正确；对于B，由得：，函数的图像关于点，对称，B正确；对于C，由得：，函数的单调递增区间为，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD三、填空题10．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．【答案】【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间上恰有个零点得到，求得答案.【详解】由已知得：恒成立，则，，由得，由于在区间上恰有3个零点，故，则，，则,只有当时，不等式组有解，此时，故，故答案为：11．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是______.【答案】【分析】直接利用函数的关系式变换和函数的图象的平移变换的应用求出函数，再利用函数的零点是方程的根和三角函数的性质求出的最小值.【详解】由题意，可知函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，所以.因为是函数的一个零点，所以，即，所以，因此有或，解得或.因为，所以当时，的最小值是；当时，的最小值是.综上，的最小值是.故答案为：.12．函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．【答案】【分析】根据最高点求出A,周期求出，代入求出，得到，利用相位变换求出.【详解】由题图可知：，，又，所以．又，，又，所以令，得.所以，所以．故答案为：.13．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t的最小值为________．【答案】【分析】由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移的知识可以得出的最小值．【详解】解：由图象可得时，函数的函数值为0，即，，，将此函数向左平移个单位得，，又为奇函数，，，的最小值是．故答案为：.14．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为_________.【答案】4【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得，根据在区间内单调，可得，进而可求解.【详解】由于函数为偶函数，则满足，故直线为函数图像的一条对称轴，所以，，则，，又，即，解得，又，当时，在单调递增，满足要求，所以，故的最大值为4.故答案为：4四、解答题15．已知函数.(1)求函数在区间上的单调减区间；(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案；（2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解【详解】（1）依题意可得，当时，，则由得，即在上单调递减，所以函数在区间上的单调递减区间是；（2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，于是得，因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，故，解得，所以.所以的取值范围.16．（2022·山东东营·高一期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为；(2)【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，所以，，所以，由，可得，，所以函数的单调递增区间为，由得，所以所求对称轴方程为（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，由得，所以，，所以，，所以x的取值范围为17．已知点，是函数图象上的任意两点，函数f(x)的图象关于直线x=对称，且函数f(x)的图象经过点，当时，的最小值为．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定的条件，结合正弦型函数