2024年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校中考数学三模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．2．（3分）河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（）A．17×104人 B．1.7×105人 C．1.7×106人 D．0.17×106人3．（3分）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°4．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至2022年，世界上共有65位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：年龄/岁27293132333435363738394045人数1354446599771则该组由年龄组成的数据的众数是（）A．9 B．37 C．45 D．37，385．（3分）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，“数”相对的面上的字是（）A．发 B．现 C．之 D．美6．（3分）计算+的结果是（）A．3m+n4 B．m3+4n C．3m+4n D．3m+4n7．（3分）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD＝∠CBD′，连接CD′．若∠ADB＝100°，则∠DD′C为（）A．30° B．60° C．50° D．40°9．（3分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是（）A．（9，3） B．（9，6） C．（10，3） D．（10，6）10．（3分）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：x2﹣1＝．12．（3分）郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．则所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）为米．（参考数据sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）13．（3分）化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、AI（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、AI、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC和正方形ADEF的顶点A，C，D均在坐标轴上，点F是边AB的中点，点B，E在反比例函数（x＞0）的图象上．若OA＝1，则k的值为．15．（3分）如图，点M是等边三角形ABC边BC的中点，点P是三角形内一点，连接AP，将线段AP以A为中心逆时针旋转60°得到线段AQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算；（2）解不等式组：．17．（9分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（填推理的依据）．即PQ⊥l．18．（9分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分，如下表：续航里程（分）百公里加速（分）智能化水平（分）甲款汽车8290100乙款汽车8010090两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：a．网友评价得分（满分10分）：甲：455667891010乙：4567778899b．网友评价得分统计表：平均数中位数方差甲款汽车7m4.2乙款汽车772.4根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的m＝；（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由．19．（9分）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣第2个等式：×（1+）＝2﹣第3个等式：×（1+）＝2﹣第4个等式：×（1+）＝2﹣第5个等式：×（1+）＝2﹣…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．20．（9分）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且．若，则线段PD长为．21．（9分）某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10元/kg、15元/kg，乙种水果在销售30kg后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示．（1）甲种水果每千克的销售价为元；（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）当M，N的坐标分别为（1，4），（3，4）时，抛物线的对称轴为；（2）若抛物线的对称轴为x＝2，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（3）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＜2，都有y1＞y2，求t的取值范围．23．（10分）已知点O是线段AB的中点，直线l与线段AB交于点P（点P与点A，B不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点C，点D．（1）【猜想验证】如图1，当点P与点O重合时，线段OC和OD的数量关系是；（2）【探究证明】如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，判断OC和OD的数量关系并说明理由；（3）【拓展延伸】若∠OCD＝30°，|AC﹣BD|＝2，当△POC为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

2024年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：A．【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2．（3分）河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（）A．17×104人 B．1.7×105人 C．1.7×106人 D．0.17×106人【解答】解：17万＝1.7×105，故选：B．【点评】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．3．（3分）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．4．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至2022年，世界上共有65位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：年龄/岁27293132333435363738394045人数1354446599771则该组由年龄组成的数据的众数是（）A．9 B．37 C．45 D．37，38【解答】解：由表格可知：这一组数据中37，38出现的次数最多，因此该组由年龄组成的数据的众数是37，38．故选：D．【点评】本题主要考查了众数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．5．（3分）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，“数”相对的面上的字是（）A．发 B．现 C．之 D．美【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“数”与“美”是相对面，故选：D．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的表面展开图是解题的关键．6．（3分）计算+的结果是（）A．3m+n4 B．m3+4n C．3m+4n D．3m+4n【解答】解：∵m个3相加可记为3m，n个4相乘可记为4n，∴计算+的结果是3m+4n，故选：D．【点评】本题考查乘法的意义，乘方的意义，理解乘法和乘方的意义时解题的关键．7．（3分）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝2，解得：k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，解得：k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，解得：k＝0，选项C不符合题意；D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，解得：k＝＞0，∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD＝∠CBD′，连接CD′．若∠ADB＝100°，则∠DD′C为（）A．30° B．60° C．50° D．40°【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD′，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBD′+∠DBC＝60°，∴∠DBD′＝60°，又∵BD＝BD′，∴△BDD′为等边三角形，∴∠BD′D＝60°，在△ABD和△CBD′中，，∴△ABD≌△CBD′（SAS），∴∠BD′C＝∠BDA＝100°，∴∠DD′C＝∠BD′C﹣∠BD′D＝100°﹣60°＝40°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是解答本题的关键．9．（3分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是（）A．（9，3） B．（9，6） C．（10，3） D．（10，6）【解答】解：∵点A（8，0），O（0，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，延长FP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∴四边形PFOE是矩形，∴，∴，∴点D到弦OB的距离最大为PF+OD＝4+5＝9，∴点D的坐标为（9，3），．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．10．（3分）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QN，交AD于点M，N，∴四边形PMNQ是矩形，∴MN＝PQ，∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，∴，，∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣ND，＝，∴PQ＝8，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．（3分）郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．则所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）为5.0米．（参考数据sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）【解答】解：由图可知，台阶有4节，DH占了3节，∴米，过点B作BG⊥AH，垂足为G，可得四边形BCHG是矩形，∴GH＝BC＝1米，∴AG＝AH﹣GH＝AD+DH﹣GH＝1+1.2﹣1＝1.2米，在直角三角形AGB中，，∴米，∴AD+AB+BC＝1.0+3.0+1.0＝5.0米，故答案为：5.0．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．13．（3分）化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、AI（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、AI、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是．【解答】解：设Mg用A表示、AI用B表示、Zn用C表示，Cu用D表示，根据题意，画树状图如下：由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的有9种，∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是，故答案为．【点评】本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC和正方形ADEF的顶点A，C，D均在坐标轴上，点F是边AB的中点，点B，E在反比例函数（x＞0）的图象上．若OA＝1，则k的值为2．【解答】解：设AF＝a，∵点F是边AB的中点，∴AB＝2a，∵矩形OABC和正方形ADEF，OA＝1，∴AB＝OC＝2a，AB∥x轴，OA＝BC＝1，AF＝DE＝AD＝a，DE∥x轴，∴B（2a，1），E（a，a+1），∵点B，E在反比例函数（x＞0）的图象上，∴a（a+1）＝2a，解得a＝1，a＝0（舍去），∴k＝a（a+1）＝2a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形性质，反比例函数性质，熟练掌握性质是解题的关键．15．（3分）如图，点M是等边三角形ABC边BC的中点，点P是三角形内一点，连接AP，将线段AP以A为中心逆时针旋转60°得到线段AQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为．【解答】解：如图所示，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60度得到AE，连接PM，ME，QE，∵点M是等边三角形ABC边BC的中点，∴，AM⊥BC，∴；由旋转的性质可得AM＝AE，AP＝AQ，∠PAQ＝∠MAE＝60°，∴△AME是等边三角形，∴，∵∠PAQ﹣∠MAQ＝∠MAE﹣∠MAQ，∴∠PAM＝∠QAE，∴△PAM≌△QAE（SAS），∴QE＝PM＝1，∵MQ≥ME﹣QE，∴当点Q在ME上时，MQ有最小值，最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）＝9﹣4﹣（﹣3）＝5+3＝8；（2）不等式组，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为1＜x＜2．【点评】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，正确求解是解答的关键．17．（9分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形四边相等的四边形是菱形（填推理的依据）．∴PQ⊥AB菱形的对角线互相垂直（填推理的依据）．即PQ⊥l．【解答】解：（1）如图所示．（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．即PQ⊥l．故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（9分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分，如下表：续航里程（分）百公里加速（分）智能化水平（分）甲款汽车8290100乙款汽车8010090两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：a．网友评价得分（满分10分）：甲：455667891010乙：4567778899b．网友评价得分统计表：平均数中位数方差甲款汽车7m4.2乙款汽车772.4根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的m＝6.5；（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意，得数据排序如下：455667891010，中位数是第5个数据，第6个数据的平均数即，故答案为：6.5．（2）乙车的平均数是：（分）．（3）∵乙车的中位数大于甲车，乙车的方差小于甲车，更稳定，从安全角度思考，∴我推荐乙车．【点评】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键．19．（9分）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣第2个等式：×（1+）＝2﹣第3个等式：×（1+）＝2﹣第4个等式：×（1+）＝2﹣第5个等式：×（1+）＝2﹣…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：（1）×（1+）＝2﹣；（2）×（1+）＝2﹣．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．20．（9分）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为2；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且．若，则线段PD长为．【解答】（1）解：①设O为圆心，连接BO，CO，如图1.1，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，∴，∴，∴△ABC的最大面积为；（2）证明：如图1.2，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）解：解法一：∵AD＝BC＝3，CD＝AB＝2，∴，∵，∴△PAD中AD边上的高等于△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图2，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又∵CD＝2，∴，∵，∴，∴；解法二：如图3，作直径DG，连接PG，∵△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，∴∠CDF＝∠CED＝45°，∴CD＝CE＝2，∴DE＝2，∵∠DPC＝∠GDC，∴tan∠DGC＝tan∠DPC＝＝，∴CG＝1.5，EG＝0.5，∵DG是直径，∴∠DPG＝∠EPG＝90°，∴PE＝EG＝，∴PD＝DE﹣PE＝2﹣＝．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹．21．（9分）某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10元/kg、15元/kg，乙种水果在销售30kg后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示．（1）甲种水果每千克的销售价为20元；（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．【解答】解：（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，故单价为元；故答案为：20．（2）当0≤x≤30时，是正比例函数，设解析式为y＝mx，把点（30，750）代入解析式，得750＝30m，解得m＝25，故解析式为y＝25x；当30＜x≤120时，是一次函数，设解析式为y＝kx+b，把点（30，750），（120，2100）代入解析式，得，解得，故解析式为y＝15x+300．（3）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，故单价为元；故甲的解析式为y＝20x．由两种水果销售额相同，且销售额大于0，得20x＝15x+300，解得x＝60，∴甲水果销售额为y＝20x＝1200；乙水果销售额为y＝15x+300＝1200，∴甲水果销售利润1200﹣10×60＝600；乙水果销售利润为1200﹣900＝300，∴两种水果的总利润为300+600＝900（元）．【点评】本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（10分）在平面