北京市石景山区2023届高三数学一模试卷

北京市石景山区2023届高三数学一模试卷一、单选题1．已知集合A={x|−2≤x≤2}，B={x|x2+x−2≤0}A．[−2，2] B．[−2，1] C．[0，2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(−2，−1)，则A．−1−2i B．−2−i C．−1+2i D．2−i3．已知双曲线x24−A．12 B．23 C．3 D．4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）A．f(x)=sinx C．f(x)=x3+x5．设x>0，y>0，则“x+y=2”是“xy≤1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N∗A．34 B．35 C．367．若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，A．π3 B．π6 C．π48．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+Mm)A．2t02 B．t02+9．已知直线l：kx−y−2k+2=0被圆C：x2+(y+1)A．6条 B．7条 C．8条 D．9条10．已知正方体ABCD−A1B1C①若点P总满足PD1⊥D②若点P到直线BB1与到平面CDD③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．向量a=(2sinθ，cosθ)，b=(112．抛物线C：x2=4y的焦点坐标为，若抛物线C上一点M的纵坐标为2，则点M到抛物线焦点的距离为13．若(x+1x)n的展开式中含有常数项，则正整数14．设函数f(x)=x3−3x，x≤a−x，x>a，①若a=0，则f(x)的最大值为；15．项数为k(k∈N∗，k≥2)的有限数列{an}①若k=2，则a2②若k=3，则满足条件的数列{a③存在a1=1的数列④所有满足条件的数列{a其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在△ABC中，AC=42，C=π6，点D在边BC（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为22，求AB17．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）(4(7(10(13第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.（1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(7，（2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为(7，10]厘米，求X的分布列和数学期望（3）用“ξk=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为(4，10]，“ξk=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为(10，16]厘米，18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点（1）求证：EF//AD；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小.条件①：AE=2条件②：平面PAD⊥平面ABCD；条件③：PB⊥FD.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(−1，1)且互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点及20．已知函数f(x)=e（1）当m=1时，（ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0，（ⅱ）求证：∀x∈(0，π2（2）若f(x)在(0，π221．若无穷数列{an}①a1=1，当n≥2时，②若存在某一项am≤−5，则存在k∈{1，2，⋅⋅⋅，（1）若a2<0，写出所有（2）若a2>0，判断（3）在所有的τ数列中，求满足am=−2021的

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】C11．【答案】112．【答案】(0，13．【答案】3（只要是3正整数倍即可）14．【答案】2；(15．【答案】①②④16．【答案】（1）解：因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADC=−cos∠ADB=−在△ADC中，因为∠ADC∈(0所以sin在△ABD中，由正弦定理得，AD所以AD=AC⋅（2）解：△ABD的面积为22，得因为∠ADB+∠ADC=π，所以sin又因为AD=3，所以BD=2在△ABD中，由余弦定理得A所以AB=3.17．【答案】（1）解：设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(7，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7，所以P(A)估计为2040（2）解：设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(7，设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(7，根据题中数据，P(B)估计为1640=25，根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.3，且P(X=0)=P(AP(X=1)=P(ABP(X=2)=P(ABCP(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=3则X的分布列为：X0123P2111293所以EX=0×21（3）解：D理由如下：P(ξ1=1)=P(ξ2=1)=P(ξ3=1)=所以Dξ18．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AD//BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD//平面PBC又因为平面ADF与PB交于点E.AD⊂平面ADFE，平面PBC∩平面ADFE=EF所以EF//（2）解：选条件①②侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=即PA=AD=2，PA⊥AD平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，所以PA⊥AB，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，则A因为AE=2，所以点E为PB的中点，则从而：PC=设平面ADFE的法向量为：n=则n⋅令x=1，可得n设平面PCD的法向量为：n=n⋅令b=1，可得n所以|则两平面所成的锐二面角为π选条件①③侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2AD⊥AB，PA∩AB=A，且两直线在平面内，可得AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，则又因为PB⊥FD，则PB⊥平面ADFE，AE⊂平面ADFE因为PA=AB，所以△PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点又因为AE=2，所以△PAB下面同①②选条件②③侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π即PA=AD=2平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，则PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为PB⊥FD，AD∩FD=D，且两直线在平面内，则PB⊥平面ADFE，则PB⊥AE因为PA=AB，所以△PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点.下面同①②19．【答案】（1）解：椭圆C：x2a2+所以b=3ca=12a（2）解：当直线l1的斜率不存在时，则直线l1：x=−1，代入椭圆方程得所以M(−1，32)，N(−1，−3所以|PM||PN||PS||PT|当直线l2的斜率不存在时，同理可得|PM||PN|当直线l1，l2的斜率均存在，不妨设直线l1的方程为y=k(x+1)+1，则直线l2的方程为则y=k(x+1)+1x24+yΔ>0恒成立，所以x1所以|PM||PN|==(1+k同理可得，将k换成−1k所以|PM||PN||PS||PT|综上所述，|PM||PN||PS||PT|的取值范围是[20．【答案】（1）解：当m=1时，f（ⅰ）f'(0)=e0−cos0=0（ⅱ）f(x)=ex−1−sinx，f所以ex−所以f(x)在(0，π2（2）解：f(x)=ex当m≤1时，所以−mcosf'由（1）知，f'所以f(x)在(0，所以当m≤1时，f(x)=e当m>1时，f'因为y=ex与y=−mcos所以f'(x)在所以f'(0)=1−m<0，所以∃x0∈(0所以当0<x<x0时，f'(x)<0，因此当x0<x<π2时，f'故函数f(x)在(0，π2)上恰有一个极小值点，21．【答案】（1）解：由条件①知，当n≥2时，an=−a因为a2<0，由条件①知所以τ数列的前四项为：1，−1，1，−1；（2）解：若a2>0，由条件①知，当n≥2时，an=−a因为a2>0假设τ数列中存在最小的正整数i（i≥3），