江苏省淮安市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足方程（i是虚数单位），则（）A.1 B.i C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，即，所以.故选：C.2.今年全国两会上，“大兴调查研究之风”写入政府工作报告.某地为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参与环保调查研究.已知甲村、乙村、丙村人数之比是，被抽到的参与环保调查研究的村民中，甲村的人数为40人，则参加调查研究的总人数是（）A.80 B.800 C.100 D.60〖答案〗A〖解析〗由题意可得，甲村人数占总体比例为，故调查的总人数为.故选：A.3.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗只要两个向量不共线，即可作为基底向量，对于A，因为，，所以，则共线，故A不符合；对于B，因为，，所以，则共线，故B不符合；对于C，因为，，所以，则共线，故C不符合；对于D，因为，，所以，则不共线，故D符合.故选：D.4.随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍.已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为（）A.0.9 B.0.85 C.0.95 D.0.8〖答案〗B〖解析〗由对立事件的概率公式可知，不用现金支付的概率为.故选：B.5.在中，边长，，，则的外接圆的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，，所以，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以的外接圆的面积是.故选：A.6.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥 B.C. D.事件与事件相互独立〖答案〗D〖解析〗由题意得Venn图如下：由图知：，，，所以事件与事件不互斥，，，.故选：D.7.若，，则（）A.50° B.60° C.70° D.80°〖答案〗D〖解析〗因为，则，又因为，则，显然不成立，所以，解得.故选：D.8.在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，设，由、、、四点共面，设，则，即，得，又，，不共面，则，解得：，即，设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，所以，，，同理，，，，，则四棱锥与四棱锥的体积比为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列结论中正确的有（）A.为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位B.若数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为7，方差为6C.在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16D.已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为共有1001件产品，所以所编的号码的位数最少是4位，故A正确；对于B，一组数据，这个数据的平均数为2，方差为3，则，，对于数据，其平均数，方差，故B不正确；对于C，设中间一个小长方形的面积为，其他8个小长方形的面积之和为，则有，解得：，所以中间一组的频数，故C正确；对于D，一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，所以它的众数3，6，8，中位数为5，故D正确.故选：ACD.10.在平行四边形中，，，为中点，为中点，延长交于点，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗如图所示，，，，为中点，为中点，，A选项错误；设，则，由与共线，，解得，，所以，B选项正确；，所以，C选项正确；，D选项正确.故选：BCD.11.棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（）A.平面B.与所成的角为60°C.平面截正方体的截面形状是五边形D.点在平面内运动，且平面，则的最小值为〖答案〗AC〖解析〗对于A，如下图，连接，易得又，平面，又平面，故A正确；对于B，如下图，取的中点，连接，则又，则或其补角为与所成的角，又正方体棱长为2，易求得，则，故B错误；对于C，如下图，增补两个正方体，取的中点，连接，则为的中点，连接交于连接交于，连接，则得到截面为五边，对于D，如下图，连接取得中点，连接，过作平面平面则点在线段上，最小值即为，又，，又，，故D错误.故选：AC.12.在中，，为线段上（不与端点重合）的两点，且，下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若，，则D.若，，则的面积是〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，，因为，为线段上的两点，且，所以，且，则，故A错误；对于B，，化简得，所以，取BC的中点G，连接AG，则，所以三角形ABC是等腰三角形，且，故B正确；对于C，当时，点分别是线段的三等分点，设，则，，设，则，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即，化简得，因为，所以，即，故C正确；对于D，由，，可得点分别是线段的三等分点，则，设，，依题意有，，，，所以，，在中，由正弦定理得，即，所以，，同理在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理得，即，整理得，即，因为，所以或，即或，当时，，不合题意舍去，故可得，此时，，，，在中，由正弦定理得，即，而，所以可得，整理可得，因为，所以，解得，则此时，，所以的面积，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知淮安最近10天每天最高气温（单位：）分别为31，26，28，25，24，28，26，30，27，30，则这10天平均气温的上四分位数为______.〖答案〗30〖解析〗将样本数据由小到大排列依次为：24，25，26，26，27，28，28，30，30，31，因为，所以这组数据的上四分位数为第8个数30.故〖答案〗为：30.14.复数与复数在复平面内对应的点分别为、，若为坐标原点，则钝角的大小为______.〖答案〗〖解析〗依题意，，，，则，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故〖答案〗为：.15.在古代数学中，把正四棱台叫做“方亭”，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了“方亭”的体积公式，为方亭的下底面边长，为上底面边长，为高.某市为改善城市形象，决定开挖一条笔直的景观河道，该河道横截面为等腰梯形，上底为80米，下底为40米，开挖深度10米，河道长度10.98千米.同时在沿岸修葺30座亭台、楼阁，它们的地基都设计为同样大小的“方亭”结构，为了便于施工，决定使用开挖河道产生土方的1%修筑地基.已知设计“方亭”地基的下底面边长为30米，上底面边长为24米，则“方亭”地基的高为______米.〖答案〗3〖解析〗设“方亭”地基的高为米，根据题意可得，解得，则“方亭”地基的高为米.故〖答案〗为：3.16.在中，角的对边为，，则______，若的面积为，则______.〖答案〗〖解析〗第一个空：由得，即，即，所以异号且都不为，由正弦定理得，因为都不为，所以，即，所以；第二个空：由得：，即，即，由正弦定理得，所以的面积为：，所以，因，所以，所以解得，即.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数，，i为虚数单位.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若为实数，求.解：（1）因为，若为纯虚数，则，解得.（2）因为，若为实数，则，解得，即，解法一：因为，则；解法二：可得18.如图，四棱锥的底面为正方形，平面.（1）求证：平面；（2）平面，平面交平面于，交底面于.求证：.解：（1）∵底面为正方形，∴，∵平面，平面，∴，又∵，，平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面平面，∴.同理有，∴.19.已知，，.（1）求；（2）求.解：（1）因为，则，所以.（2）由（1）可得：，因为，则，可得，所以.20.为全面贯彻落实“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.（1）根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；（2）现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率.解：（1）根据频率直方图可得：每组的频率依次为，估计平均数为：，因为，可知中位数位于内，设为，则，解得，所以可估计中位数为.（2）由（1）可知：未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为；未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为，；从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在的情况有，，，，，，，，共8种情况，所以恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率.21.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，平面平面.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.解：（1）取中点为，连接，，，由侧面为正三角形，知，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，在