天津市静海县第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2017～2018学年度第二学期期中高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）函数在区间上的平均变化率为（）A．2 B．3C．5 D．4（2）函数的斜率等于1的切线有（）A．1条 B．2条C．3条 D．不确定（3）复数的共轭复数为（）A． B．C． D．（4）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根（5）已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1 B．C． D．（6）直线与曲线围成图形的面积为（）A． B．C． D．（7）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．（8）已知函数是定义域上的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上.）（9）设，其中是实数,则_________．（10）计算定积分=_________．（11）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_____万件．（12）观察下列式子：根据以上式子可以猜想：________．（13）已知函数，为的导函数,则的值为______．（14）已知函数．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________．三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知，是虚数单位，复数.

（Ⅰ）若是纯虚数，求的值；（Ⅱ）若复数z对应的点位于第二象限，求的取值范围.（16）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：当时，.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）方程有3个不同的根，求实数的取值范围．（18）（本小题满分13分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）用数学归纳法证明．（19）（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若函数在区间上不单调，求的取值范围；（Ⅱ）令，当时，求在区间上的最大值．（20）（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若的极值为，求的值；（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围．

2017～2018学年度第二学期期中高二数学（理科）参考答案一、选择题1．C2．B3．A4．A5．D6．D7．C8．B二、填空题：9．10．11．912．13．214．三、解答题15．解（Ⅰ）是纯虚数，，·············4分.·············5分（Ⅱ）复数对应的点位于第二象限·············9分·············13分16．解：（Ⅰ）·············1分·············2分·············3分所以切线方程为：即·············4分（Ⅱ）令·············6分·············7分当时，，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.·············9分所以当时，·············10分·············11分故当时，·············13分17．解：（Ⅰ）由，则···1分因为在时，取得极值所以·············3分解得，经验证时满足条件。·············4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得则由，解得或；·············6分，解得或；，解得∴的递增区间为：和；的递减区间为：···8分图像如图所示：又，，······························10分方程有3个不同的根，········································13分18．解：（Ⅰ），·············1分·············2分·············4分（Ⅱ）①由（1）知，·············5分②假设当时成立，即.···6分当时，·············11分即当时成立.根据①和②知，对任何都成立.·············13分19．解：函数的定义域为·············1分（Ⅰ）·············2分令，其对称轴为，函数在区间上不单调，，即，·············4分的取值范围为.·············5分（Ⅱ）函数的定义域为,·······6分①时，令得，令得，所以函数在上单调递减，·············8分②时，由①知：在上单调递增，在上单调递减，·············10分③时，，所以在上单调递增，·············11分④时，令得，令得，所以函数在上单调递增，·············13分综上：时，时，时，·············14分20．解：（1），·············1分当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意.所以令，则当时，·············2分···3分·············4分（2）1．当时，，在单调递增，，不恒成立.·············6分2．当时，，在单调递增，恒成立.·············8分3．当时，，在单调递减，在单调递增.···········9分令，在（0,1）单调递减，单调