实际问题与反比例函数教学设计学情分析教材分析课后反思

26.2实际问题与反比例函数（4）

【教学目标】

1.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想

2.深刻理解反比例函数在现实生活中的应用

3.倡导学生合作交流的学习方式

【重点难点】

重点：把反比例函数与其他学科整合

难点：从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，用数学知

识解决实际问题

【学法指导】自主、合作、探究

?5动

一、复习引入

1、举例说明什么是反比例函数，并说出此函数的性质。

2、电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）及用电器的电阻R

（欧姆）有如下关系：PRR2.这个关系也可写为P=R=

二、自主学习

彳列1.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为H0〜220欧姆。已知电压为220伏，这个

用电器的电路图如图所示_|u|一,

（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？

（2）用电器输出功率的范围多大？i

想一想，为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？

你还能举出生活中的哪些用电器用反比例函数性质工作的例子？

例2.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通

过湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务,

（1）你能理解这样做的道理吗？

（2）若人和木板对湿地地面的压力合计600牛，那么如何用含S（木板面积）的

代数式表示P（压强）？

（3）当木板面积S为0.2m2时，压强P多大？

（4）当压强是6000Pa时，木板面积多大？

压强P=压力/面积

例3、气球充满了一定质量的气体，

当温度不变时，气球内的气压P（kPa）是气球体积V的反比例函数。当气球体积是

0.8m3时，气球内的气压为120kPa.

（1）写出这一函数表达式。

（2）当气体体积为lm3时，气压是多少？

（3）当气球内气压大于192kPa时，气球将爆炸。为安全起见，气球体积应小于

多少？

三、巩固练习

1•（4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体

积时，气体的密度也会随之改变，密度P（依布3）是VQ〃3）的反比例函数，它的图象如图所示，

当V=1（）加时，气体的密度是（）

A-5kg/m3B.2kgim?C,l00kg/m3D.1kg/m?

2.（4分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（Aa）是

气体体积V（帆3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120A血时，气球将爆

炸，为了安全起见，气体体积应（）

5544

A•不小于W利3B.小于163C•不小于5帆3D.小于1加3

3•(4分)蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流1(A)与

电阻R(0之间的关系图象如图所示，若点P在图象上，则I

与R(R>0)的函数关系式是.

5-(5分)在对物体做功一定的情况下，力F(M与物体在力的方向上移动的距

离s(M成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到10N时，物体在力的方

向上移动的距离是m.

6•(5分)某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地.为了

安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干木板，构筑成一条临时通道

木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(,〃2)的反比例函数，其图象如图所示，当木

板压强不超过6000Pa时，木板的面积至少应为.

7.(5分)当压力一定时，压强与受力面积成反比例.一块长方体大理石板的

A，B，C三个面上的边长如图所示，如果大理石板的A面向下放在地上时地面

所受的压强为m帕，则把大理石板的B面向下放在地上，地面所受压强为—帕.

8(9分)零汽车的功率P(W)为一定值它的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)

有关系式v=,，且当F=3000N时，7=20mk.

(1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的表达式；

(2)当它所受的牵引力为2500N时，汽车的速度为多少？

(3)如果限定汽车的速度不超过30mis，则牵引力F在什么范围内？

丘刀H60000

解：(1)P=VF=3000x20=60000瓦，V=口

(2)当F=2500N时，V=怨鬻=24m/s

上60000

⑶由V=—^40,得/H史2000N

r

四、小结

1、通过这节课，你有那些收获？

2、从实际问题中获取信息，转化为数学问题，建立反比例函数模型，利用反比例函数知识

解决问题。

3、能综合运用函数、方程、不等式以及数型结合的思想解决复制的数学实际问题。

五、检测

9•(18分)如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木

杆中点0左侧固定位置B处，悬挂重物A，在中点0右侧用一个弹簧秤向下拉,

改变弹簧秤与点0的距离X(C、M)，观察弹簧的示数y(M的变化情况，实验数据记

录如下：

x(cm)-1015202530…

y(N)…3020151210…

(1)根据表格中记录的数据，猜测y与X之间的函数关系，并求出函数关系式;

(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与。点的距离是多少厘米？随着弹簧

秤与0点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将会发生怎么样的变化？

解：⑴丫=呼

⑵当y=24时，x=］『=12.5cm,随着弹簧秤与0点的距离不断减小，弹

簧称上的示数会不断变大

10-(20分)某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种

在自然光照且温度为18c的条件下生长最快的新品种.下图是某天恒温系统从开

启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC

段是双曲线y=5的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18c的时间有多少小时？

(2)求k的值；

(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18°C的时间为10小时

（2）\•点B（12,18）在双曲线y=§上，.*.18=75，/.k=216

⑶当x=16时,y二16=13.5,所以当x—16时,大棚内的温度约为13.5℃.

11•（22分）（2014.舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时

内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=

k

—200X2+400X刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=-

（k>0）刻画（如图所示）.'

（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最

大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值；

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升

时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：

00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.

伏毫克/百毫升）

O5%（时）学

解：（1）①y=-200x2+400x=-200（x—1）2+200,，喝酒

后1小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百

k

毫升）；②，・,当x=5时,y=45,y=-（k>0）,，k=xy=45x5

X

=225

(2)不能驾车上班;理由：：晚上20：00到第二天早上7：00,一共有11

小时，，将x=ll代入尸2子25，则尸2答25〉20,，第二天早上7：00不能驾

车去上班

六、作业

习题26.25.6.7

学情分析

班级整体水平分析：学生整体学习习惯不太好，书写普遍不

够端正，整体的数学水平参差不齐。对于基础知识，同学们普遍

掌握的不够扎实，对关于发表自己的意见与感觉的能力就更差了。

普遍学习不够积极不够主动。

在这个班里学困生较多，他们的基础知识特别差，有许多最

基础的知识和方法及能力都没有，计算也不会，基本的分析能力

也欠缺。学习习惯更是极差，上课听讲不专心，作业质量不高，

老师有时候催促也不写。在老师和同学的帮助下，虽然有些进步，

但是学习仍然缺乏自学性，作业态度欠端正，作业马虎。

效果分析

1、以学生熟悉的实际问题为主线，让学生主动展开探索，寻找

实际问题中两个变量之间的关系，以反比例函数为数学模型，利

用反比例函数的图像与性质解决数学问题，进而解决实际问题，

进一步渗透了数学建模思想。

2、不断总结范例的解题规律，方法，把它运用到问题的解决

过程中，使解题方法得到迁移，形成解题技能，发挥实际问题的

育人功能。

3、不足：虽然在题目的设计和教学设计上我注重了由浅入深的

梯度，但有些问题的处理方式不是恰到好处，有的学生课堂表现

不活跃，这也说明老师没有调动起所有学生的学习积极性，本节

课的时间分配上还可以再调整；总之，我会在以后的教学中注意

细节问题的.

教材分析

1.反比例函数是《义务教育数学课程标准（2011年版）》

“数与代数”领域的内容，是本套教科书安排的又一类函数.其

学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及两个量的反比例关

系；学习中可以类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方

法，在对反比函数的概念、图象、性质学习基础上进行应用.本

节重点研究的是反比例函数在实际问题中的应用.

2.现实世界中存在大量成反比例关系的问题，这为结合具体

情境体会反比例函数的意义提供了丰富的素材.本节选取的实际

问题时：电压一定时，输出功率和电阻成反比例关系.呈现的模

式都是先给出具体的问题情境，然后把这些问题抽象为数学模型

—反比例函数，并根据已知条件确定这些反比例函数的表达式,

然后运用反比例函数的性质解决这些问题.通过这些问题的解决,

进一步加深对反比例函数的认识，培养学生运用数学知识分析和

解决问题的能力.

3.本节课的学习，充分体现了数学既是科学技术的语言，又

是科学技术的工具.反比例函数不仅在数学本身如图形的面积问

题，体积问题，动点问题等中有着大量的应用，而且在现实世界

中也有众多的原型和广泛的应用.本节课所涉及的杠杆问题、电

功率等问题均来源于物理学科，为了能让学生结合熟悉的情境体

会和应用反比例函数，就必须了解这些问题的物理背景.因而教

科书将反比例的内容进行了调整，由原八年级下册移至九年级下

册.一方面，学生依托熟悉的物理背景，加深对反比例函数意义

的理解，另一方面可以运用反比例函数的知识解决这些物理问题,

从而更好地体会数学的应用价值.实际上，加强不同学科之间的

联系，从其他学科引入数学问题，然后运用数学的方法加以解决

始终是数学学习的重要方面。

评测练习

1•（4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的々

积时.，气体的密度也会随之改变，密度p（依/〃再是V（/n3）的反比例函数，它的图象如图所示

当V=10加时，气体的密度是（）

A-5kg/m3B.2kg/m3C-100kg/m3D.1kglrr^

2.（4分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（&Pa）是

气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120左Pa时，气球将爆

炸，为了安全起见，气体体积应（）

_5544

A•不小于4加3B.小于彳M3C•不小于gfn3D.小于g加3

3•(4分)蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流1(A)与

电阻R(0之间的关系图象如图所示，若点P在图象上，则I

与R(R>0)的函数关系式是.

5-(5分)在对物体做功一定的情况下，力F(M与物体在力的方向上移动的距

离s(M成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到10N时，物体在力的方

向上移动的距离是m.

6•(5分)某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地.为了

安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干木板，构筑成一条临时通道

木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(,〃2)的反比例函数，其图象如图所示，当木

板压强不超过6000Pa时，木板的面积至少应为.

7.(5分)当压力一定时，压强与受力面积成反比例.一块长方体大理石板的

A，B，C三个面上的边长如图所示，如果大理石板的A面向下放在地上时地面

所受的压强为m帕，则把大理石板的B面向下放在地上，地面所受压强为—帕.

8(9分)零汽车的功率P(W)为一定值它的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)

有关系式丫=市，且当F=3000N时，7=2。ink.

(1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的表达式；

(2)当它所受的牵引力为2500N时，汽车的速度为多少？

(3)如果限定汽车的速度不超过30mis，则牵引力F在什么范围内？

丘刀H60000

解：(1)P=VF=3000x20=60000瓦，V=口

(2)当F=2500N时，V=怨鬻=24m/s

上60000

⑶由V=—^40,得/H史2000N

r

9-(18分)如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木

杆中点0左侧固定位置B处，悬挂重物A，在中点0右侧用一个弹簧秤向下拉，

改变弹簧秤与点0的距离x(cm)，观察弹簧的示数y(N)的变化情况，实验数据记

录如下：

x(cm)1015202530

y(N)3020151210

BI

(1)根据表格中记录的数据，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式;

(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与。点的距离是多少厘米？随着弹簧

秤与0点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将会发生怎么样的变化？

会小300

角牛：(l)y=--

z\

⑵当y=24时，x=n=12.5cm,随着弹簧秤与0点的距离不断减小，弹

簧称上的示数会不断变大

10-(20分)某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种

在自然光照且温度为18c的条件下生长最快的新品种.下图是某天恒温系统从开

启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC

段是双曲线y=5的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18c的时间有多少小时？

⑵求k的值；

(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时

1/k

(2)..•点B(12,18)在双曲线丫=一上，.•・18=75，Ak=216

X1，

（3）当x=16时,丫=而=13,5,所以当x=16时,大棚内的温度约为13.5C

11•（22分）（2014.舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时

内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=

k

—200X2+400X刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=-

（k>0）刻画（如图所示）.'

（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最

大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值；

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升

时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：

00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.

Ay（毫克/百毫升）

451-----个、

I—

O5%（时）

解：（1）①y=-200x2+400x=-200（x—1）2+200,，喝酒

后1小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百

k

毫升）；②，・,当x=5时，y=45,y=-（k>0）,...k=xy=45x5

X

=225

（2）不