泰勒公式证明及应用

泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比拟无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，表达出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。Taylor’sformulaanditsapplicationTongMei(DepartmentofMathematicsBohaiUniversity，LiaoningJinzhou121000China)Abstract:Mathematicsisaveryimportantdiscipline.Manymathematiciansstudiedallkindsoftheoremandformula,provedtheircorrectness,andappliedthemtosolveanumberofdifficultproblems.Taylorformulaisoneofthem.Taylor’sformulaisaimportantformulainmathematicalanalysis.Itcanbeusedwidelyandconvenientlytosolvetheproblemsinanalysis.Inaddition,itisoneofpowerfultoolstosolveallkindsofmathematicsproblems.ThisarticleprovidesasimpleintroductiontoTaylor’sformula,emphasizesitsvariousapplications,andmakesasystematicandinerraticanalysissummary.Firstly,thisarticleintroducestheTaylortheoremandsomeTaylor’sformulaofdifferent_expressionforms,whichwillbeappliedlater.Next,itistheemphasisofthisarticle--theapplicationofTaylor’sformula.Herenineaspectsareintroduced:studyingtheconvergenceanddivergenceofseriesandtheimproperintegral,usingtheTaylor’sformnlatocalculatelimit,theapproximatecalculationanderrorestimate,determiningandcomparingtheorderofinfinitesimals,theapplicationintheoremproof,provinginequality,andsoon.Throughmanyexampleanalysis,theimportanceandconcisenessofTaylor’sformulainsolvingmathematicsquestionsarewellillustrated.KeyWords:Taylor’sformula;limit;errorestimate;convergentordivergent;inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。一、泰勒公式假设函数为次多项式〔1〕逐次求它在处的各阶导数，得因而(1)式可写作(2)由此可见，多项式的各项系数由其各阶导数值唯一确定，例如为了把多项式表示成以为幂次的多项式，先要计算在处的各阶导数。代入(2)式得到对于一般函数来说，假设存在直到阶的导数，那么按(2)式右端也能相应地写出一个多项式。把这个多项式记作，那么与之间有些什么关系，正是下面泰勒(Taylor)定理所要答复的问题。定理1[1](Taylor定理)假设函数满足如下条件：(i)在开区间上函数存在阶连续导数；(ii)在闭区间内存在的阶导数，那么对任何，至少存在一点，使得(3)(3)式称为函数在点处的阶泰勒公式，=称为次泰勒多项式，=称为在处的泰勒公式余项。〔一〕、带拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式当时，定理1就是拉格朗日定理,因此，把(4)称为阶泰勒公式的拉格朗日余项，(3)式称为带拉格朗日余项的泰勒公式，也称为有限增量的泰勒公式，它研究函数在较大范围内的性质，特别地，泰勒公式(3)在时，称为带拉格朗日余项的马克劳林(Maclaurin)公式，也就是(5)其中，，注记[4]与拉格朗日中值定理那里的讨论类似，如果令，那么，于是拉格朗日型余项可以写成，，〔二〕、带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式由于拉格朗日余项形式比拟复杂，我们考虑用更简单的形式表示，假设函数在点可导，那么由有限增量公式有：(6)这说明在点附近，函数可用一次多项式近似表示，其误差为关于的高阶无穷小量。又由泰勒定理1看到，假设的阶导数为上有界函数，那么由(4)式有，即在点附近用的阶泰勒多项式近似表示时，其误差为关于的高阶无穷小量，从而越大近似的程度越高。下面定理将给出定理1较弱条件下，函数在点附近能用多项式来逼近的结论。定理2假设函数在点的某邻域内具有阶导数，且存在，那么其中(7)称为泰勒公式(7)的皮亚诺余项，(7)式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式，因为(7)式是无穷小增量公式的推广，所以也称带小余项的泰勒公式[3]。特别地，当时，我们称相应的表达式为带皮亚诺余项的马克劳林公式或者带小余项的马克劳林公式。〔三〕、带积分型余项的泰勒公式利用分部积分法也能导出泰勒公式的余项的一种表示——余项的积分表示[3]。定理3设函数在区间有阶连续导数，，那么(8)换句话说，在这种情况下，泰勒公式的余项表示为(9)(8)式称为带积分型余项的泰勒公式，(9)式称为积分形式的余项。特别地，当时，我们称之为带积分余项的马克劳林公式：〔四〕、带柯西型余项的泰勒公式在定理3中，对余项用积分中值定理可得这种形式的余项称为柯西型余项，我们得到了带柯西型余项的泰勒公式：，特别地，当时，我们称之为带柯西型余项的马克劳林公式：二、泰勒公式的应用〔一〕、用泰勒公式研究级数和广义积分的敛散性1、级数的敛散性例1判断正项级数的敛散性。分析我们先从一个特殊的问题说起：判断正项级数的敛散性。注意到数列严格递增趋于，而数列严格递减趋于，因此有由比拟判别法可知收敛。这一方法是否具有普遍性？不妨再考虑的情况，此时假设仍采用上述“放大”方法，就有，但是发散的，故得不出结果，假设将“缩小”，同样也得不出结果，看来，即使当时上述方法也已碰到很大困难，更不用说是对于的一般情况了。解决这一问题的一个有效工具是利用带Peano余项的泰勒公式：先将通项适当展开，再用等介量法或其他方法判敛，值得指出的是，初学者往往会疏忽或是不习惯使用泰勒公式，但事实上，在级数的判敛问题中，泰勒公式是经常用到的。回到例1中，考虑从而得出，可见原级数当时收敛，当时发散。泰勒公式在判断任意项级数敛散时同样有十分重要的作用，我们不妨看下面的例子。例2判断以下级数的敛散性[8]。=1\*GB3①，=2\*GB3②。分析这两个级数的项均正负交替出现，但前一个级数的通项不具有的标准形式，后一个的通项形式虽具有，但不具有单调性，故两者都可考虑用泰勒公式。解=1\*GB3①记，那么有：当时，条件收敛，而发散，故必定发散。当时，条件收敛，而绝对收敛，故为条件收敛。当时，与均为绝对收敛，故也绝对收敛。=2\*GB3②考虑其余分析讨论类似于上一题。2、广义积分的敛散性例3问：广义积分收敛吗？解因此，由于积分发散，因此用比拟判别法知原广义积分发散。〔二〕、用泰勒公式确定和比拟无穷小的阶设在处阶可导，且，或，，所以当时，是的阶无穷小。例4用泰勒公式确定时以下无穷小量是的几阶无穷小量？=1\*GB3①，=2\*GB3②。解=1\*GB3①由有那么故是的2阶无穷小。=2\*GB3②因，故因而故为的5阶无穷小。例5试用泰勒公式确定常数和，使为有限值，并求此极限[5]。解原式为使上述极限存在，当且仅当，，这时原式〔三〕、用泰勒公式求的值假设用间接法求得泰勒公式：由泰勒公式的唯一性得：例6设，求。解直接由的泰勒公式得，(比拟的系数得：，所以。例7设在原点的邻域内二阶可导，且，求，并计算极限[8]。解因而有即而〔四〕、近似计算及误差估计1、函数值的近似计算例8求的近似值[7]。解换算成弧度，，如果用一阶泰勒公式求的近似值，即误差估计为：应用三阶泰勒公式求近似值的步骤如下：〔=1\*romani〕选定函数，且求出；〔=2\*romanii〕把分解为，要求在处易计算，且较小；〔=3\*romaniii〕，其误差为，(在与之间)。下面用三阶泰勒公式计算，有误差估计为。如果题目要求计算误差不超过，应领先估计余项的上界(10)取为何值时，能使误差？为此，应当利用(10)解不等式，即。但是在一般情况下，解这种不等式比拟麻烦，不如取适当的的值试验一下，例如取时，这个精度已超过了要求，于是得到一个关于的误差小于的近似值为：对于任意函数，如果在点有1到阶的导数，那么就可以写出在点的阶泰勒多项式(2)，当距不远时，就可以用该函数的泰勒多项式的值作为的近似值，当确定之后，泰勒多项式的阶数越高，这个近似值的精度越高。例9计算数的近似值，使其误差不超过，并证明数是无理数。解，其中介于0与之间，当时，由于，当时，，于是由于上式两端乘以，得：假设是有理数，设，(其中为整数)，当时，为整数，所以左端为整数，由于，因而右端当时，为非整数，矛盾，因此只能是无理数。2、某些定积分的近似计算例10计算的值。解例11求积分的值。解如上函数、，这些无法用通常积分求得积分值的函数，我们将被积函数展开成泰勒级数，只须对各项式进行积分，并且可使积分值到达很高的近似精度。(五)、用泰勒多项式逼近函数例12在上用二次项式逼近函数，并估计误差[3]。解由于所以，当时，误差估计为：〔六〕、用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数的极限问题转化为类似多项式或有理公式的极限问题，下面用例子说明。例13求。解由泰勒公式于是：例14求。解由泰勒公式，于是：用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。我们知道：当时，等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。例15求。解原式(11)假设用罗比塔法那么定相当繁琐的，下面用泰勒公式方法与等价无穷小方法相结合来考虑。由泰勒公式于是：将(11)式中分子上的用上式代，而分母的用代，这样例16求。解由泰勒公式，于是在例16中，假设用分别代替，显然是不对的。运用泰勒公式方法时需要注意的一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？其实从例题不难看出，只须展至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶数即可。在讨论当自变量(或自变量的改变量)在不同极限过程中中值点的极限性态时，也可应用泰勒公式。例17数在内阶可导，且，记，，证明：。分析仍是要找出的表达式，为此，可将按两种不同方式在点处展开为泰勒公式，带阶Peano余项的泰勒公式和带阶Lagrange余项的泰勒公式，再对两者进行分析比拟。证在点处分别展成带Peano余项和带Lagrange余项的泰勒公式，有：将两式比拟可得〔12〕此外，对还可以展开为带Peano余项的泰勒公式，即有〔13〕比拟(12和(13)，又有由条件，从而得出：〔七〕、明含高阶导函数的中值这命题类题型的特点是函数可导的阶数较高(常是二阶或二阶以上)，同时还给出假设干个点的函数值或导数值，常选函数值或一阶导数值为0的点作为展开点(这样可使一阶导数项消失)，然后再将函数值的各个点的坐标代入展开式，进行运算，最后利用介值定理或零点定理证之。例18在上次可微，且；证明：至少存在一点，使。证由于且由题意知，所以，取，有，因此有。例19设在上有二阶连续导数，，=1\*GB3①写出带拉格朗日余项的一阶马克劳林公式。=2\*GB3②证明在上至少存在一点，使得。解=1\*GB3①对，有，在与之间=2\*GB3②对=1\*GB3①题中的等式积分有改写成(13)由连续函数的性质，令现估计(13)式右边得即现由连续函数中间值定理得：，使(八)、应用泰勒公式进行某些定理的证明定理4(极值的第二充分条件)：假设是的驻点(即)，且存在，，那么(=1\*romani)当时，为极小值。(=2\*romanii)当时，为极大值。证由带皮亚诺余项的泰勒公式知：于是当充分接近时，上式左边的符号由右端的第一项决定，于是(=1\*romani)当时，，即，所以为极小值。(=2\*romanii)当时，，即，所以为极大值。定理5(极值的第三充分条件)：设函数在含点的某个小区间内有阶连续导数，而且，那么(=1\*romani)当为偶数且时，在点有极大值，当为偶数且时，在点有极小值。(=2\*romanii)当为奇数时，在点取不到极(大或小)值。证根据泰勒公式，有又因为在点连续，即，所以，且因此，于是，当为偶数且充分接近时，与同符号(因为上式右端的符号取决于)，所以，当时，，即是极大值；当时，，即是极小值；而当为奇数时，由于上式右端随和而改变符号，所以不是极值。〔九〕、用泰勒公式证明不等式不等式是数学分析的重要内容之一，它涉及的问题很多，应用也十分广泛，历来受到重视，不等式的分析证明方法也多种多样，很具有灵活性，有些还有相当的难度，因此初学者往往感到困难，其中泰勒公式是证明不等式的一种很重要的方法。1、估计泰勒公式余项法假设带拉格朗日余项的泰勒公式其中是拉格朗日型余项，估计，可得相应的不等式。例20求证：。证由泰勒公式所以，评注不用泰勒公式，令也可，通过求导、判断单调性来证明两个不等式，但不如用泰勒公式简便，通过估计泰勒公式的余项求法来证明不等式是利用泰勒公式证明不等式的一种重要情形。2、由函数与二阶导数估计一阶导数法例21设在上有二阶导数，，求证：，使。证明此题的条件与结论之间的联系是要从函数和二阶导数的估计导出一阶函数的估计，能将函数及其一阶导数、二阶导数联