2024年中考数学冲刺复习讲练测-圆的计算与证明（讲练）（浙江新中考）（解析版）

09圆的计算与证明

目录

一、考情分析考点二与圆有关的位置关系

二、知识建构题型01与圆有关的位置关系

三、真题研析题型02切线的判定

题型03三角形内切圆、外接圆的相关计算

四、题型解读

题型04圆与相似综合

考点一圆的基本性质证明与计算

题型05圆与三角函数综合

题型01圆中的角度和线段计算问题

题型02垂径定理的实际应用

题型03与圆有关的弧长、扇形面积计算

题型04求弓形面积或不规则图形面积

题型05正多边形与圆的相关计算

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考点要求命题预测

1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下

圆的基本性

降趋势，不会有太复杂的大题出现；

质证明与计

算

2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放

探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生

与圆有关的活，又应用于生活。

位置关系

网

的园的对称性⑤

基

「垂径定理及推论

本D

性，弧、弦、圆心角的关系

质

hli-圆周角定理及推论

圆明

、圆内接四边形的性质

及

的,弧长、扇形面积、圆锥的有关计算

il

相算

关

/点与圆的位置关系:点在圆外、圆上、圆内

证

（位置关系一直线与圆的位置关系

明

及I圆与圆的位置关系

与

计「性质圆的切线垂直于过切点的半径.

同

算有,直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.

关

的/圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.

位切线的性质与判定H

I判定一卜经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

置

关常用辅助线作法连半径，证垂直；作垂

系I直，证半径

「外心:三角形三边中垂线的交点

三角形内切圆与外接圆

一内心:三角形三条角平分线的交点

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一.选择题（共4小题）

1.（2023•湖州）如图，点A,B,C在。。上，连结AB,AC,OB,OC.若N8AC=50°,则28OC的

度数是（）

【答案】C

【解析】解：vZBAC=5Q°,ZBOC=2ZBAC,

.".ZBOC=100°.

故选：c.

2.（2023•杭州）如图，在。。中，半径互相垂直，点C在劣弧上.若/A8C=19°,则/

【答案】D

【解析】解：连接。C,

VZABC=19°,

：.ZAOC=2ZABC=38°,

•.•半径。4,OB互相垂直，

AZAOB=90°,

：.ZBOC=90°-38°=52°,

AZBAC=AZBOC=26°,

2

故选：D.

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3.（2023•温州）如图，四边形A3C。内接于。。BC//AD,ACLBD.若NAOZ）=120°，AD=M，则

NC49的度数与5C的长分别为（）

A

10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】C

【解析】解：连接ObOC,

U：BC//AD,

：・NDBC=NADB,

•••AB=CD，

/.ZAOB=ZCOD,NCAD=NBDA,

9：DBLAC,

：.ZAE£>=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°,

AZAOB=2ZADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

VZAOD=120°,

AZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

•：OB=OC,

•••△05C是等边三角形，

:・BC=OB,

\9OA=OD,NAOD=120°,

：.ZOAD=ZODA=30°,

:,AD=MOA=M，

：.OA=1,

：.BC=\,

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：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15°.

4.（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接

于矩形，如图.已知矩形的宽为2加,高为2愿加，则改建后门洞的圆弧长是（）

C

等"口.（等+2）m

【答案】C

【解析】解：连接AC,BD,AC和8。相交于点O,则。为圆心，如图所示,

由题意可得，CD=2m,AD=2y/3m,ZADC=90°,

tanZDCA--^-==V3>AC=+AD2=4（m）,

CD2

AZACD=60°,OA=OC=2m,

：.ZACB=30°,

・・・NAO8=60°,

・•・优弧AOCB所对的圆心角为300°,

.••改建后门洞的圆弧长是：30°兀X2=3（加），

1803

故选：C.

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二.填空题（共6小题）

5.（2023•宁波）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,E为AB边上一点，以AE为直径的半圆。与相

切于点。，连结A。，BE=3,BD=3y[5-尸是48边上的动点，当△&£）尸为等腰三角形时，AP的长为6

或2病.

【答案】6或2倔.

【解析】解：如图1,连接。。，DE,

;半圆。与BC相切于点

J.ODLBC,

在Rt/XOB。中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3疾.

：.OB2=BD2+OD2,

：.（0D+3）2=（3遥）-+OD1,

解得0D=6,

：.AO=EO=OD=6,

①当AP=P。时，此时P与。重合，

：.AP=AO=6；

②如图2,当AP=A£）时，

在RtAABC中，

VZC=90°,

：.AC±BC,

J.OD//AC,

:.△BODsgAC,

•••OD_，，BD_BO,

ACBCBA

•6=3泥=3+6,

'AC3A/5CD3+6+6'

；.AC=10,CD=2遍,

AD=VAC^CD^=V100^20=2730-

：.AP'=AO=2V§5；

③如图3,当DP''=A。时，

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•：AD^2\[3Q,

：.DP''=AD=2V30.

,JOD^OA,

：.ZODA=ZBAD,

：.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

:.NBAD=/CAD,

平分/BAC,

过点D作DHLAE于点H,

：.AH=P"H,DH=DC=2疾,

"：AD=AD,

：.RtAADH^RtAADC(HI),

：.AH=AC=1Q,

C.AH^AC^P"H=10,

：.AP"=2AH=20（尸为AB边上一点，不符合题意，舍去），

综上所述：当△AOP为等腰三角形时，AP的长为6或2倔.

故答案为：6或2倔.

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A

图1

6.（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30on,母线长为50cm,则烟囱帽的侧面积为1500n

【解析】解：烟囱帽的侧面积为：-1X2HX30X50=1500TI（cm2），

2

故答案为：1500m

7.（2023•金华）如图，在△A3C中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以A8为直径作半圆，交3。于点

交AC于点E,则弧的长为互冗cm.

C

【解析】解：连接。区OD,

•：OD=OB,

:・/B=/ODB,

VAB=AC,

:,/B=/C,

：.ZC=ZODB,

J.OD//AC,

：.ZEOD=ZAEO,

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OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

：.ZEOD=ZBAC=50°,

V(9£)=AAB=AX6=3(cm)，

22

・,.施的长=5。兀x3=—IT(cm).

1806

故答案为：In.

6

8.（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABC。是矩形.当餐盘正立且

紧靠支架于点A，。时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于10cm.

【答案】10.

【解析】解：由题意得：BC—16cm,CD—4cm,

如图，连接。4,过点。作交BC于点、E,交AL（于点R

则NOEC=90°,

••,餐盘与8C边相切,

...点E为切点，

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•••四边形A8CO是矩形，

：.AD=BC=16cm,AD//BC,ZBCD=ZADC=9Q°,

四边形CCFE是矩形，OE_LA。，

CD=EF=4cm,ZAFO=90°,AF=DF=—AD=—X16=8(cm),

22

设餐盘的半径为xcm,

贝!jOA=OE=xcm,

：.OF=OE-EF=(x-4)cm,

在RtZvlBO中，由勾股定理得：AF2+OF2=OA1,

即82+(%-4)2=/,

解得：x=10,

餐盘的半径为10。加，

故答案为：10.

9.(2023•温州)图1是4X4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为我，现将它剪拼成一个“房

子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形C£＞跖作为题字区域(点A,

E,D,8在圆上，点C,歹在48上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为5.若点A,N,M在同一

直线上，AB//PN,DE=娓EF,则题字区域的面积为—应苣

【答案】5；会不.

【解析】解：如图所示，依题意，GH=2=GQ,

.过左侧的三个端点。，K,L作圆，QH=HL=4,

又NKLQL,

六。在KN上，连接O。，则。。为半径，

'：OH=r-KH=r-2,

在RtZ\OH0中，04+0^2=Q02,

/.(r-2)2+42=”，

解得：r=5；

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连接0E,取ED的中点T,连接OT,交AB于点S,连接PB,AM,过点O作OULAM于点U.连接。4.

由AOUNsANPM,可得型■=胆=旦1,

NPPMMN

：.OU=2后.MN=2遍,

：.NU=y[L,

5

•'-A[/=VOA2-OU2=^F^

:・AN=AU-NU=2娓,

:・AN=MN,

U：AB//PN,

：.AB±OTf

：.AS=SB,

：.NS//BM,

J.NS//MP,

：.M,P,8共线,

又NB=NA,

：.ZABM=90°,

YMN=NB,NP工MP,

：.MP=PB=2,

；・NS=LMB=2,

•；KH+HN=2+4=6,

，ON=6-5=1,

OS=3,

・・・DE=V6EF，

设EF=ST=a,贝ljET

在Rtz\OET中，即52=q+a）2+（詈&）2,

整理得5/+i2〃-32=0,

即（〃+4）（5a-8）=0,

题字区域的面积为2

v^a

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故答案为：5,

图1图2

10.（2023•浙江）一副三角板ABC和。E尸中，NC=ND=90°,ZB=30°,/E=45°,BC=EP=12.将

它们叠合在一起，边BC与EF重合,C。与相交于点G（如图1）,此时线段CG的长是」五二

6A/2_.现将△£>£尸绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2）,边所与相交于点8,连结。X,

在旋转0°到60°的过程中，线段方四扫过的面积是18+12n-18j^.

图1图2

【答案】6^6-6A/2；18+12n-18^/3-

【解析】解：如图1,过点G作GKLBC于K,则NCKG=NBKG=90°,

C(F)

图1

'：ZBCD=45°,

/.△CGK是等腰直角三角形，

:.CK=GK=亚CG,

2

*：BC=n,

：.BK=BC-CK=n-返CG,

2

在Rt/XBGK中，NGBK=30°,

/.=tanZtan300=^~,

BK3

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:.BK=MGK,

即12-返CG=g义亚CG,

22

:.CG=6疵-6A/2；

如图2,以C为圆心，CD为半径作圆，当△（?£>£绕点C旋转60°时，CE'交于,连接Z）。'，

过点。作。于M,过点C作CN，。。'于N,

则/BCE'=ZDCD'=60°,点。的运动轨迹为而"尸，点〃的运动轨迹为线段BH',

.,•在旋转0°到60°的过程中，线段扫过的面积为SABDD，+S扇形COD，-SACDD,

VCD=BC'cosCBD=12cos45°=6五,

：.DG=CD-CG=642-（6&-6&）=12&-6&,

'：ZBCD+ZABC=600+30°=90°,

：.ZBH'C=90°,

在Rt/XBCH'中，CH'=BC-sin30°=12xA=6,BH'=8C・cos30°=12X返=

22

VACD,E'是等腰直角三角形，ZCD'E'=90°,D'H'_LCE'，

：,D'H'=1CE'=6,

2

：.BD'=6百+6,

\'DM±AB,

：.ZDMG^90°,

：.ZDMG=ZCH'G,

'：ZDGM=ZCGH',

:ADGMs丛CGH',

•DM=DG即DM=12^2-676

"CHyCG;T6V6-6V2,

:.DM=3M-3,

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,:CD=CD=6近,ZDCDf=60。,

：./\CDD'是等边三角形，

：.ZCDD'=60°,

9：CN±DD',

：.CN=CD*sinZCDD,=6&sin60。=3心

+S扇形coz>-SACDD'=AX（6愿+6）X（3«-3）+引」兀.（6泥）2_工X6近乂3巫=

23602

18+1211-18日；

故答案为：6Vs-6A/5；18+12it-18^/3-

三.解答题（共4小题）

11.（2023•绍兴）如图，42是O。的直径，C是。。上一点，过点C作。。的切线CD,交A8的延长线

于点过点A作AELC。于点E.

（1）若/及1C=25°,求NACO的度数；

（2）若08=2,BD=1,求CE的长.

【解析】解：(1)于点E,

ZAEC=90°

ZACD=ZAEC+ZEAC^90°+25°=115°；

(2):⑦是。。的切线，

半径OCLDE,

：.ZOCD=90°,

VOC=OB=2,BD=l,

：.OD=OB+BD=3,

・•・8=卜0口2—其2=V5•

*：ZOCD=ZAEC=90°,

/.OC//AE,

•・•C—D—0—D，

CEOA

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.V53

••二,

CE2

二CE=2而

3

E

12.（2023•湖州）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,点。在边AC上，以点。为圆心，0c为半径的

半圆与斜边AB相切于点。，交04于点E,连结。艮

（1）求证：BD=BC.

（2）2^3-

【解析】（1）证明如图，连结0。,

•.•半圆。与AB相切于点。，

J.ODLAB,

VZACB=90°,

：.ZODB=ZOCB=90°,

在RtAODB和RtAOCB中，

fOB=OB,

(OD=OC,

.,.RtAODB^RtAOCB(HL),

:.BD=BC；

(2)解如图，VZA=30°,ZACB=90°,

AZABC=60°,

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VRtAODB^RtAOCB,

ZCB0=ZDBO-j-ZABC=30°，

在RtZ\0BC中，

"：OC=1,

•••BC==V3>

tan30

在RtZXABC中，

AB=♦去。=2\叵

sinoU

13.(2023•衢州)如图，在RtZXABC中，NACB=90°,。为AC边上一点，连结02.以0C为半径的

半圆与A8边相切于点。，交AC边于点E.

(1)求证：BC=BD.

(2)若OB=OA,AE=2.

①求半圆。的半径.

②求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析;

(2)①2；

②2«-22L.

3

：.ZODB=90°,

VZACB=90°,OC=OD,OB=OB,

：.RtAODB^RtAOCB(HL),

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：.BC=BD.

（2）解：®'：OB=OA,

.".ZOBD^ZA,

VRtAODB^RtAOCB,

：.ZOBD=ZOBC,

：.ZOBD=ZOBC=ZA,

'：ZOBD+ZOBC+ZA=90°,

Z.ZOBD^ZOBC^ZA=30°,

在RtZkOZM中，sinNA=@,

0A

OD=^OA.

2

"：OD=OE,

：.OE=^OA,

2

：.OE=AE=2,

半圆。的半径为2.

②在RtZ\OZM中，OD=2,04=4,

AAD=V0A2-0D2=2V3>

5AOAD=-IOD.AD=yx2X2«=2我，

VZA=30°,

AZAOD=60°,

二•S阴影部分=Sz\OD4-S扇形0QE=2近_60兀X22=2a_27£.

3603

14.（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置

刻画圆上点的位置.如图，A8是。。的直径，直线/是。。的切线，B为切点.P,0是圆上两点（不与

点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP,A。交直线/于点C,点、D.

（1）如图1,当A8=6,弧BP长为IT时，求8C的长；

（2）如图2,当坦=2,前=和时，求更1的值；

AB4CD

（3）如图3,当sinNBAQ。^，BC=CZ）时，连接BP,PQ,直接写出电的值.

4BP

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AAA

图1图2图3

【答案】(1)2c=2我；

(2)生=3；

CD4

(3)PQ=V10.

BP4

【解析】解：(I)如图，连接0P,

•：AB^6,BP长为R，

・n兀X3一

180

：.n=60,即NBOPnGO。，

4P=30°,

•..直线/是。。的切线，

ZABC=90°,

.•.BC=tan30°•4B=2«；

(2)如图，连接BQ,过点C作CF±AD于点F,

「AB为0。直径,

；.N8Q4=90°,

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*.COSN3AQ=^5_=士，

AB4

•1BP=PQ>

ZBAC=ZDACf

：CF±AD,ABLBC,

\CF=BC,

：ZBAQ+ZADB^90°,ZFCD-^-ZADB=90°,

\ZFCD=ZBAQ,

*.cosZFCD=cosZBAQ—-,

4

・CF=3

CD4

-•BC—_一3;

CD4

（3）如图，连接BQ,

AZABQ=900-ZQBD=ZADC,

ZABQ=ZAPQ,

：.ZAPQ=ZADC,

'：ZPAQ=ZDAC,

：.AAPQ^AADC,

.•.曳=处①，

CDAD

VZABC=90°=AAPB,ZBAC^ZPAB,

AAPB^AABC,

...此望②，

BCAB

由2C=C。，将①②两式相除得：

PQ=AB

BPAD;

'：cosZBAQ=^-=^10,

AD4

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•PQ=V10

"BP~T

考点一圆的基本性质的证明与计算

题型01圆中的角度和线段计算问题

1.圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点0叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2.圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作“，读作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

第20页共77页

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,

所对的弦的弦心距相等。—一

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等。„

3.圆角角的概念

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=|圆心角）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。庆木

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

4.圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于?

即：在。。中，：四边ABCD是内接四边形

/.ZC+ZSAZ）=180oZB+ZD=180°

ZDAE^ZC

析典型例题

1.（2023•临安区一模）如图，已知AC是直径，AB=6,BC=8,。是弧3c的中点，则。£=（）

第21页共77页

【答案】B

【解析】解：连接08,

.。是弧BC的中点，

：.ZBOD=ZCOD,

'：OB=OD,

：.OD±BC,BE=ABC=AX8=4,

22

•；AC是圆的直径，

ZABC=90°,

'AC=VAB2+BC2=V62+82=13

：.0B=^AC=5,

2

•••°E=VOB2-BE2=VB2-42=3,

：.DE=OD-OE=5-3=2.

故选：B.

2.（2023•越城区模拟）如图，AB,AC是。。的两条弦，OD_LAB于点。，OE_LAC于点E,连结。8,

OC.若/£＞。£=140°,则/8OC的度数为（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】B

【解析】解：'JODLAB,OELAC,

：.ZADO=90°,ZA£O=90°,

ZDOE^140°,

：.ZBAC=360a-90°-90°-140°=40°,

；.N8OC=2/A4C=80°,

故选：B.

3.（2024•钱塘区一模）如图，点A,B,C在OO上，C为弧AB的中点.若NA4c=2/042,贝l|NAOB

第22页共77页

等于（）

c

A.144°B.135°C.130°D.120°

【答案】A

【解析】解：连接OC,如图：

BC=AC，

ZBAC=1ZAOC=IZBOC,

22

'：ZBAC=2ZOAB,

：.ZOAB=^ZBAC=^ZAOC=^ZAOB,

248

,：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB=XzAOB,

8

VZAOB+ZOBA+ZOAB=180°,

.,.$NAO2=180°,

4

.•.NAOB=144°,

故选：A.

4.（2024•浙江模拟）如图，已知AB是。O的弦，C为。。上的一点，且OCLAB于点。，若NABC=25°,

则的度数为（）

第23页共77页

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【解析】解：

•*-AC=BC-NBDO=90°,

：.ZABC=1ZCOB,

2

VZABC=25°,

：.ZCOB=50°,

：.ZOBD=1SO°-ZBDO-ZCOB=40°,

故选：C.

5.(2022•杭州模拟)如图，4B是O。中的一条弦，半径于点C,交O。于点。，点£是弧加上

一点.若NO4B=46°,则/E=()

【答案】D

【解析】解：连接08,

半径OD±AB,

：.ZOCA=90°,AD=BD)

ZAOD^ZBOD,

'：ZOAB=46°,

；.NAO£)=90°-/QW=44°,

：.ZBOD=ZA(9D=44°,

AZE=AZBOD=22°,

2

故选：D.

6.(2024•浙江模拟)如图，四边形ABCD内接于O。，若曲所对圆心角的度数为80°,则NC=()

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D

C

A.110°B.120°C.135°D.140°

【答案】D

【解析】解：如图，连接

:俞所对圆心角的度数为80°,

：.ZBOD=80°,

由圆周角定理得：ZA=1ZBOD=40°,

2

四边形ABCD内接于O。，

AZA+ZC=180°,

...NC=180°-40°=140°,

故选：D.

题型02垂径定理的实际应用

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1:1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造内△,用勾股，求长度;

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

垂径定理的应用

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经常为未知数，结合方程于勾股定理解答

析典型例题

1.（2023•杭州模拟）如图，AB是。。的直径，弦COJ_A8于点E,OC=5czn,CZ）=8cm则A£=（）

5C.3D.2

【答案】A

【解析】解：••,ABLCD,A8是直径,

.,.CE=ED=4cm,

在RtZ\OEC中，OEV0C2-EC2=V52-42=3〈cm),

.'.AE—OA+OE—5+3—8(cm),

故选：A.

2.（2023•沙市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，OA与y轴相切于原点。，平行于x轴的直线交OA

于〃、N两点，若点M的坐标是（-4,-2）,则点N的坐标为（）

(-1,-2)C.(-1.5,-2)D.(1.5,-2)

【答案】B

【解析】解：分别过点〃、N作无轴的垂线，过点A作连接4N,则8知=新,

设OA的半径为r,

则AN=r,AB=2,BM=BN=4-r,

在RtZXABN中，根据勾股定理，22+（4-r）2=?,

可得：r=2.5,

：.BN=4-2.5=1.5,

则N到y轴的距离为：AO-BN=2.5-1.5=1,

又点N在第三象限,

的坐标为（-1,-2）,

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故选：B.

3.（2023•咸丰县一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD

C.3cmD.4cm

【答案】B

【解析】解：取EP的中点作MNLAD于点取MN上的球心。，连接。尸,

•..四边形ABCD是矩形,

.\ZC=ZD=90°，

...四边形。MN是矩形,

；.MN=CD=4,

设。尸=为贝！JON=。尸,

OM=MN-ON=4-x,MF=2,

在直角三角形。加产中，0M产=

2+MQF2

即：（4-无）2+22=/

解得：x—2.5

题型03与圆有关的弧长、扇形面积计算

设。O的半径为R,n。圆心角所对弧长为I,n为弧所对的圆心角的度数，则

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扇形弧长公式[=寝（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

180

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

扇形面积公式Sa®=竺^=-IR

3602

圆锥侧面积公式S圆锥侧=nrl（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆锥全RT1+TIT2（圆锥的表面积二扇形面积+底面圆面积）

圆锥的高h,圆72+九2=[2

锥的底面半径r

析典型例题

1.（2024•杭州模拟）江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它

的主桥拱是圆弧形.如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度AB=6米，拱高CD=如米，那么桥拱所

在圆的半径。米，弧A8的长度为—生巨一米.

———3—

【答案】2我，生应m

3

【解析】解：由题意可知，AD=BD,ODLAB,

•.•48=6米，

：.BD=3米，

拱高C£>=百米，

设08=尤，贝1」。。=%-百，

BD1+DO2=AO2,

根据题意可得：

32+（x-2=/

解得：尤=2«,

即圆弧形桥拱所在圆的半径是2如米.

sin/OOB=^=—^=近，

OB2A/32

/.Z£）OB=60°,

AZAOB=120°,

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弧AB的长度=12°71X2/3=生巨IT.

1803

故答案为：2«,生应TT.

3

2.（2024•温州模拟）某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高

度，道路交通学习小组展开了以下研究.如图1,经测量得A8=4〃3为了确定8C与弧形拱半径的长度，

学习小组找到一根5机长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于AD上点£处，AE=lm.如

图2,调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点尸处，FGLAB,GB=lm,如图

3,某一集装箱大货车宽为24%，则该大货车的最大高度（包括货物）匹

图3

【答案】（3地立）•

【解析】解：如图1所示，过点E作ETL2C于T,

则四边形是矩形,

；.ET=AB=4m,BT=AE='m,

CT=VcE2-ET2=3n-

：.BC=CT+BT=4m；

如图2所示，

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图2

设立所在圆的圆心为。，过点。作OELBC交2C于点E,交GF于点、H,过点。作。KLC。于K,则

四边形BEHG是矩形，四边形OECK是矩形，

:.HG=BE,HE=BG=lm,OE=CK=JCD-|AB=2IO'

：.OH=OE-HE=\m,

设HG=BE=am,贝lj777=(5-a)m,CE=(4-〃)m,

22211

VOF=OC,OF=OH+FH9od=o修+C修,

/.12+(5-a)2=22+(4-a)2,

解得4=3,

：.FH=2m,

；•0F=V0H2+FH2=V5ro;

如图3所示，

图3

构造MN11AB,且MN=2.4m,过点0作OJLMN于点J,OELBC于E,延长JO交AB于L连接OM,

.1

MJ中N=l.2nr

OJ=VoM2-MJ2=^p-ro-

b

由图2可知，BE=3m,

'：MN//AB,OJLMN,

：.OL1AB,

四边形OLBE是矩形，

.'.OL=BE=3m,

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•'-JL=OJ-H3L=（3-H^）n'

，大货车的最大高度（包括货物）为（34^粤）1r

故答案为：（3」鲁）・

3.（2024•镇海区校级一模）若半径为8的扇形弧长为2TT,则该扇形的圆心角度数为45。

【答案】45°.

【解析】解：设圆心角为.

由题意，nKX8

180

解得w=45,

...该扇形的圆心角度数为45°.

故答案为：45°.

4.（2024•湖州一模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马

面裙可以近似地看作扇环，其中标长度为工几米，裙长A8为0.8米，圆心角/4。。=60°,则前长度

【解析】解：：圆心角44。。=60°,

俞的长二K7r二0&=四n,

1803

/.OA=1米，

.\OB=OA+AB=1+O.8=1.8（米），

二筋的长=6。兀x8=旦元（米），

1805

故答案为：3Tt米

5

题型04求弓形面积或不规则图形面积

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T直接公式法

常

用直接和差法

方构造和差法

法全等法

等面积法

和差法割补法平移法

旋转法

对称法

容斥原理

析典型例题

1.（2024•咸丰县模拟）如图一个扇形纸片的圆心角为90。，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与

点。恰好重合，折痕为C。，则阴影部分的面积为（）

B.6H-9V3C.3兀-9aD.9V3-6