22.3.1 实际问题与二次函数 教学设计

22.3.1实际问题与二次函数教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题.本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小（大）值，并运用这个结论解决相关的实际问题.通过本节课的学习，培养学生应用这一数学模型解决实际问题的意识，为高中的函数模型及其应用的学习打下基础.概念解析通过抛球的最大高度问题让学生画出函数图象，再找出小球的最高点对应函数图象的顶点，在此基础上引出根据函数解析式求二次函数的最小（大）值的结论.紧接着通过探究图形变化有关的最值问题，建立二次函数模型，利用求二次函数的最小（大）值的结论来解决，让学生理解用二次函数解决实际问题的基本过程和方法.思想方法在抛球问题中通过画函数图象观察何时小球最高，体现了数形结合思想.通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，渗透了数学建模的思想，感受运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法.知识类型二次函数的最小（大）值是关于概念性知识，二次函数最值的应用是关于数学思想方法的知识，也是关于认知策略的知识。探究图形变化有关的最值问题，让学生经历“设变量，建立变量之间的函数关系，解决函数问题，得到实际问题的解”这种利用函数模型解决问题的过程，认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，体会二次函数与实际的联系．教学重点基于以上分析，本课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题.教学目标解析教学目标：1．能建立二次函数模型，通过求二次函数的最值解决最优化问题．2．建立二次函数模型解决与图形变化有关的最值问题．目标解析：达成目标1的标志是：借助二次函数的图象得到二次函数的最小（大）值的结论，掌握当时，函数有最小（大）值.达成目标2的标志是：能够从实际问题中抽象出二次函数模型，并运用二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用来解决图形变化有关的最值问题．教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，能通过二次函数的图象确定函数的最小（大）值；学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，有一定的数学建模的经验，这为本节课奠定了基础.与本课目标的差距分析用列方程、不等式和一次函数解决实际问题的经验对解决本节课的问题有一定的借鉴作用，但也有很大的不同，学生更习惯于解“数学化的应用题”，面对建立二次函数模型，通过求二次函数的最值解决最优化问题，学生仍缺少经验和思路.存在的问题：运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，尤其是关注实际问题中自变量的取值范围，需要学生经历分析、讨论、对比等过程，进而得出结论。对学生来说，要完成这一过程难度较大.应对策略：对问题进行分解引导，分散难点，先让学生弄清问题中研究的是哪两个变量的关系，再表示出两个变量之间的数量关系，最后利用二次函数的最小（大）值的结论求最值.教学难点基于以上分析，本课的教学难点是：将实际问题转化为二次函数问题．教学支持条件分析用ppt自定义动画等技术显示图片动画；可用实物投影或希沃授课助手等软件展示学生思考和作图的成果；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学过程设计课前检测1．抛物线中，对称轴是__________，顶点坐标是_________,当x＝________时，y有_______值是__________．2．抛物线中，对称轴是__________，顶点坐标是_________,当x＝________时，y有_______值是__________．设计意图：考查学生是否能由二次函数的解析式求出相应函数的最大（小）值，为本节课根据函数最值解决实际问题作准备.如果学生没有掌握到位，必将影响本节课的学习，应进行复习讲解.情景引入问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师生活动设计：教师提出问题，学生尝试用已有知识解决此问题.追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？师生活动设计：学生回答：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系.追问2：当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时，h的值分别是多少？这说明小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？师生活动设计：学生独立思考后，完成填空，结合题目回答，小球运动高度随小球运动时间的变化而变化.追问3：如何判断小球的运动时间是多少时，小球最高呢？师生活动设计：学生根据前面对二次函数的认识回答：可以画出函数图象，利用图象观察出小球的运动时间是多少时，小球最高.学生自己动手画出二次函数的图象.追问4：观察图象，小球的最高点对应函数图象中的哪个点？师生活动设计：学生结合图象回答:小球的最高点对应函数图象的顶点.追问5：小球运动中的最大高度对应函数中的哪个值？师生活动设计：学生结合图象回答：小球运动中的最大高度对应自变量取顶点横坐标时的函数值.追问6：如何求出小球的最大高度呢?师生活动设计：学生通过求二次函数的顶点坐标，解决此问题：当时，h有最大值为.也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m.设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题找那个的最大高度.问题2：对于二次函数，如何求出它的最小（大）值呢？师生活动设计：学生根据前面问题的解决方法，总结出求一般二次函数的最小（大）值的方法．由于抛物线的顶点坐标是最低（高）点，可得当时，二次函数有最小（大）值.设计意图：让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法.目标检测1：烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为______,此时的高度为_________.设计意图：考查学生对二次函数的最小（大）值的结论的应用.深入探究问题3：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？师生活动设计：学生借助问题1中解决问题的经验解决此问题得出答案.,整理后得.因此，当时，S有最大值为.也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.若学生在解决问题中遇到困难，教师可通过以下追问进行引导.追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？追问2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系吗?追问3：如何利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出“当l是多少米时，场地的面积S最大”？设计意图：借助追问，指导学生解决此类问题的基本过程和方法，使不同水平的学生有不同层次的发现，加深对本题数量关系的理解，这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题.归纳总结问题4利用二次函数解决实际问题的过程是什么？如何利用二次函数的最大（小）值解决实际问题？师生活动设计：教师引导学生整理上面解决问题的步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法.学生思考后回答，师生共同归纳：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过同学之间的合作和交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括的能力，养成良好的数学思维习惯.拓展训练问题5为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图），若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？师生活动设计：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题.设计意图：巩固本节课所学的内容，再次体会将二次函数的最大（小）值得结论与已有知识综合运用来解决实际问题.加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系.变式1:为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图），若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？变式2:为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，中间隔有一道栅栏，用总长为40m的栅栏围住（如图），若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？设计意图：让学生主动思考，感受题目的变化带来的解析式的不同，取值范围的差异，一题多变，培养学生的发散思维能力.目标检测2：如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．设计意图：考查学生能否从图形变化问题中建立起二次函数模型，并运用二次函数的最小（大）值的结论解决最值问题.课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）如何求二次函数的最小（大）值？如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法?设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.目标检测设计1．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系式y=﹣x2+24x（0＜x＜24），则该矩形面积的最大值为______m2.2．用一根长为40cm的绳子围成一个面积为a的长方形，那么a的值不可能为()A.20B.40C.100D.1203．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A.60m2B.63m2C.64m2D.66m24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时