河北省保定市2024届高三年级下册第二次模拟考试数学试卷(含答案)

河北省保定市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1.设集合A={无|—3VxV3},B={x|2%2+(a-8)x-4a<0},且

AB={x\-2<x<3],贝！Ja=()

A.2B.3C.4D.5

2・若z=-2+i，则一^=()

zz-3

A.-l+liB.l+匕C.l-J-iD.-l-li

2222

4.如图，在正四棱柱ABC。-AACA中，M=4AB,则异面直线AB与A'所成角

17171717

22

5.已知双曲线C:「一斗=1（”0力〉0）的离心率为方程2f—5x+2=0的解，贝I。的

渐近线的斜率的绝对值为（）

A整B史C.也D-A/3

33

6.已知tancr=，则cos2tz—()

sin。+11

777

A.-lB.-C.-D.-I

8899

7.6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏

决定分组.当大家同时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有3个

人手势一样，或有3个人手势为上述手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手

势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是

（）

A.在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案

B.一次游戏共有63种手势结果

C.一次游戏分不出组的概率为理

35

D.两次游戏才分出组的概率为耳挈

310

22

8.已知椭圆。：工+2L=i（a〉b〉o）的左、右焦点分别为耳，F2,P是C上的点，且

a2b2

在第一象限，外是/耳「耳的角平分线，过点工作以的垂线，垂足为3,若

\PF2\==V3Z?-m»则。的离心率为（）

至

A植B巫C巫D

3399

二、多项选择题

9.下图是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单

位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（）

最高气温

最低气温

A.这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为7（

B.这5天的最低气温的极差为3C

C.这5天的最高气温的众数是26℃

D.这5天的最低气温的第40百分位数是16℃

10.已知直四棱柱ABC。-A4G2的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形,

ZBAD=~^”为棱。2上的一点，且"0=1，尸为底面ABCD内一动点（含边

3

界），则下列命题正确的是（）

A.若与平面ABCD所成的角为△，则点。的轨迹与直四棱柱的交线长为如

43

B.若点A到平面PDM的距离为百，则三棱锥体积的最大值为2叵

3

C.若以。为球心的球经过点则该球与直四棱柱的公共部分的体积为他

9

D.经过5,C,M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4

11.已知定乂域为R的函数/（X）满足/（孙）=y/（幻+必〃/），则（）

A-/（0）=0

B./（-D=-l

C./（%）是奇函数

D.存在函数/（%）以及X。，使得广（%）的值为4e?

三、填空题

12.已知向量°,的夹角的余弦值为:，同=1,且（2a-b）力=-14,贝U

\b\=----------

13.在等比数列｛4｝中，。1%。5=。2。6，。4%3=-27,则《=.

四、双空题

14.已知点P为圆6：（%-5）2+/=4上位于第一象限内的点，过点P作圆

。2：/+：/-2依+02一0+2=0（2<4<5）的两条切线PM，PN切点分别为〃，N,

直线PM，PN分别交》轴于A（L0），3（4,0）两点，贝，

\MN\-.

五、解答题

15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB—Z2cosA=—a—c.

⑴求&

（2）若a=2，b=2近,。为AC边的中点，求§£）的长.

16.某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测

试，分别得到如左图所示的强化训练前的频率分布直方图，如右图所示的强化训练后

的频率分布直方图.

频率扭距

0.0301---------------0.032

0.028

0,—

0^.^30

00

-.190.020

0.016

0.006

0(MM0.004

OO5060708090100成绩

（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表）与成绩的中位数（中位数精确到0.01）.

（2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.

优秀人数非优秀人数合计

强化训练前

强化训练后

合计

将上面的表格补充完整，依据小概率值1=0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运

动员是否优秀与强化训练有关?

2

wr2n(ad-be).,

M寸：力~=-----------------------------,n=a+b+c+d-

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.050.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

17.如图，在四棱锥p—ABCD中，底面ABCD是菱形，ZZMB=60°-E,R分别为

(1)证明：ACA.PF-

(2)若上4=PD=AB，求平面PBC与平面PD尸夹角的余弦值.

18.已知抛物线0：；/=20底〃〉0)的焦点为区过R作互相垂直的直线小分别与

C交于A,3和。，E两点(A,。在第一象限)，当直线4的倾斜角等于45。时，四边

形AD3E1的面积为32.

⑴求C的方程；

(2)设直线AD与BE交于点Q,证明：点Q在定直线上.

19.已知函数/(x)=av-xln尤，/'(x)为其导函数.

⑴若/(幻<1恒成立，求a的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数X1,%，使得/(%)=/(%)，证明：［“中2)>0.

参考答案

1.答案：c

解析：因为A5={x|-2WxW3}，所以-2是方程2犬+(a-8)x-4a=0,

即8-2(a-8)-4a=0,得a=4,

当a=4时，2/_4%_16<0，解得：-2<x<4>止匕时5={x|—2WxW4}，

满足AB={x\-2<x<3},所以q=4.

故选：C

2.答案：A

-2+i-2+i-2+i,1.

解析：因为z=-2+i，所以」..............-----------------——I-|J

7.7.-5(-2+i)(-2-i)-3(-2)2-i2-35-32

故选：A.

3.答案：A

解析：设则g(—x)=：e_x=：~^=_g(x)，

''1+e'/1+e1+e'，

所以g(x)为奇函数，

设//(%)=cos2x,可知人(左)为偶函数,

所以〃x)=f_Jcos2x为奇函数，贝UB,C错误,

易知"0)=0，所以A正确，D错误.

故选：A.

4.答案：C

解析：连接8G，A。，如图所示,

正四棱柱ABCD-A4GO中，有ABUC\D\且AB=G2，四边形ABC.D,为平行四边

形，

则有BCJ/AD,,则NA5G就是异面直线Ai7B与AR所成的角.

设45=1，则AQ=&

3G2+4——Acj_17+17—2_16

△ABC］中，由余弦定理得cos11_2BC1AB—2x17-17•

故选：C.

5.答案：D

解析：因为方程2%2.5%+2=0的解为％=工或x=2，

2

且双曲线的离心率大于1,所以e=2.由e2=l+=4,解得幺=百.

[a）a

故选：D.

6.答案：B

解析：因为包竺=3cos.,

cos。sina+11

所以4sin26Z+1Isina-3二0，

解得sina=2或sin。=-3（舍去），

4

7

所以cos2tz=1-2sin2cr=—.

8

故选：B.

7.答案：D

解析：对A,一共有3=10种分组方案，A错误.

A2

对B,每人有3种选择，所以一次游戏共有36种手势结果，B错误.

对CD,要分出组，有两类情况.第一类情况，首先确定3个人出一样的手势，再确定

另外2个人出其他两种手势中的一种，最后1个人出剩下的手势，所以能分出组的手

势结果有（C：x3）x（C；x2）种.

第二类情况，当其中3个人出同一种手势，另外3个人出剩余两种手势中的同一种

时，能分出组的手势结果有今xA；=3C：种，

所以一次游戏就分出组的概率为6C：C；+3C：=坐,所以一次游戏分不出组的概率为

3635

詈C错误.

两次游戏才分出组的概率为萼x^=空tD正确.

3535310

故选：D

8.答案：B

解析：如图，延长工5交P耳于点E,可知归闾=忸目=772，庐耳|=2a-2加,

所以Q同=。一加=加，a=6b,所以e=£=Jl-£=近-

解析：对于A,这5天的最高气温的平均数为26x2+23+25+20=2。。,最低气温的

5

中位数为17℃，它们的差为7（，A正确.

对于B,这5天的最低气温的极差为6C，B错误.

对于C,这5天的最高气温的众数为26℃，C正确.

对于D,最低气温从小到大排列为13℃，15℃，17℃，18℃，19℃，且5x04=2,所

以这5天的最低气温的第40百分位数是16℃，D正确.

故选：ACD

10.答案：AD

解析：如图，

对于A,可知尸的轨迹是以。为圆心，半径为1的圆，所以点尸的轨迹与直四棱柱的

交线为圆弧，圆弧长为=故A正确.

33

对于B,可知点P在线段BO上，所以当点P与点3重合时，三棱锥〃—体积最

大，且最大值为W2xgxl=@，所以B错误.

323

对于C,可知该球的半径为1,球与直四棱柱的公共部分的体积为

2兀

4132兀，所以C错误.

—71X13x—x上一二——

322兀9

对于D,经过SC,M三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形5CMN，其

中AN=1，可得BN=6•设MN的中点为。，A。的中点为。，连接QO，0B，

QB,可得平面BOQ，所以求得3Q=2,所以

S四边形BCMN=3d。=2x2=4，D正确，

故选：AD

11.答案：ACD

解析:由=+取x=y=0,得/(0)=0,A正确.

取X=y=l,得/⑴=2/(1),解得/⑴=0.

取x=y=_l,得/⑴=_2/(T)=0，

所以"—1)=0,B错误.

取y=T，#f(-x)=-f(x)+x3/(-1)=-f(x))

所以是奇函数，C正确.

当孙,0时，在/(孙)=丁3/(%)+三/(丁)两边同时除以,

得/（肛）_/（尤）/（>）

33

'XyYy3'

令以»=ln|x|，则〃上卜加乩…，

当x>0时，/（x）=x3lnx，

所以/'（%）=/.（31nx+l），

所以r（e）=e2（31ne+l）=4e2,D正确.

故选：ACD

12.答案：4

解析：向量”，6的夹角的余弦值为5，同=1,则42=；忖，

由（2a-b）z=2a2-/=gW-斤=-14，解得卜卜4（负值舍去）.

故答案为：4.

13.答案：-3

解析：设等比数列｛%｝的公比为“，由%生=。2a6，2a6，得％=1，

由a4a13=-27,得/.^12=^15=—27>

所以。6=q，=—3.

故答案为：-3

14.答案：2；也

解析：圆G的标准方程为（x-ar+y2=a-2（a>2），圆心G（。，。），

则PG为NAP5的角平分线，所以曙=焉二

设P（%,%），则（%—5）2+y：=4，

所以地=善叫2+21=^^^=2,则里=2,

阿&。-0十代忸G|

即a—1=2（4—a）,解得a=3，则C?：（》一3了+丁=1,

所以点N与3（4,0）重合，

此时|G/|=Lzwc2=30°,可得日〉

4--1+fo-—=5

2>I2J

故答案为：2；6

15.答案：(1)B=—

3

⑵V3•

解析：(1)因为QCOS5—Z?cosA=—Q—C'

根据正弦定理，得sinAcosB-cosAsinB二一sinA-sinC=-sinA-(sinAcosB+cosAsinB),

化简得2sinAcos5二—sinA，因为sinA>0,所以cos5=-，,

2

因为5e(O,7i),所以3=

(2)在△ABC中，由余弦定理得(2S)2=22+C2—2X2CCOS@，

3

所以°2+2°-24=0，解得C=4.

因为为△ABC的中线，所以28£>=84+8C，

所以4|BDp=c2+cr+2ac.cosg，

因为a=2，c=4，所以4|8。『=12，解得,

（2）表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.

解析：（1）强化训练后的平均成绩约为

55x0.04+65x0.16+75x0.2+85x0.32+95x0.28=81.4.

由于前三列概率之和为0.04+0.16+0.2=0.4，

设中位数为80+X，则0.032%=0.1，

解得％=3.125，所以中位数约为83.13.

(2)零假设为“0:跳水运动员是否优秀与强化训练无关.

补充完整的表格为

优秀人数非优秀人数合计

强化训练前4060100

强化训练后6040100

合计100100200

^200x(40x40-60x60)^^^^

100x100x100x1000005

根据小概率值1=0.005的独立性检验，我们推断久不成立，即认为跳水运动员是否

优秀与强化训练有关.

17.答案：(1)证明见解析；

(2)2底.

13

解析：(1)连接§£),EF，因为底面ABCZ)是菱形，E,R分别为AD，AB的中

点，

所以43，班>，EFHBD，所以ACJ_EF，

又AC工PE，PEEF=E，PE,EFc¥ffipEF-

所以AC,平面PEF，因为PFu平面P£F，所以

(2)因为八4=p£>,E是AD的中点，所以PEIAL).

又AC工PE，ACiAD=A，AC,ADu平面ABC。，所以PE,平面ABCD

连接EB，以E为坐标原点£A，EB，EP'的方向分别为工，%z轴的正方向建立空

间直角坐标系，

如图所示.设e4=PD=AB=2，则E3=PE=J5，

P(O,O,73),0(—1,0,0),B(O,AO),R、，¥，oj，

味2,6o),P£>=(-I,o,-V3),PF=，

PB=(Q,区-塔,PC=(-2,A-A/3)>.

设4=(&x,zj是平面PD厂的法向量，*KPD=0\

"]，PF—09

—冗]—A/^Z]=0,

得<1J?L取4=1,可得勺=(-6,3,1),

x

~\+丁X-任1=。,

、乙乙

设%=(%2，%，Z2)是平面PBC的法向量，

-A/3Z

,f-PB=0,ZFtfV3y22=0,„力/口..

由：’，得“及、2二取Z2=l,可得%=(0,1,1),

n2PC=0,[-2x2+y/3y2->j3z2=0,一

广广一%•%420^

所以…=丽=石仁F,

所以平面PBC与平面PD尸夹角的余弦值为2叵.

13

18.答案：（1）>2=4%

（2）证明见解析.

解析：（1）当直线人的倾斜角等于45。时，直线4的倾斜角等于135。，

直线AB的方程为y=x-g，由抛物线的对称性知=|。目，

所以鼠.=g|明|国=32,得|加=8・

__P_2

联立方程组，一"―3,消去y得一-3px+2=0.

y2=2px4

设A,5两点的横坐标分别为.，xB,则A=8p2>0，xA+xB=3p.

2

X|AB|=xA+4+〃=4〃=8,所以p=2,所以C的方程为y=4x-

（2）由（1）知网1,0）,依题意，可设直线4的方程为丁=左（尤-1）（左w0>

则直线6的方程为y1）.

k

联立方程组「:Mx-1），消去X得244=0,显然A>0,

X=4%,k-

设A（4%），3（%2，%），则%+%=0%%=-4.

K

设。（七,%）,同理可得为+%=-4左,y3y4=4

所以鼬一。一寸「J一二大，同理可得"•

44-2-4