2024年浙江省温州市高考数学二模试卷（含详细答案解析）

2024年浙江省温州市高考数学二模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知z£C,贝。GR”是“Z6R”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

2.已知集合M={x\y=VTT1},N=[y\y=不I},则MCN=()

A.0B.RC.MD.N

3.在正三棱台ABC—Ci中，下列结论正确的是()

A.KIBC-ABICI-3匕I-BBIGB.AA±_L平面力81cl

C.A-^B1B±CD.44iIBC

05

4,已知a=sin0.5,b=3,c-log030.5,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

5.在(3-x)(l-x)5展开式中，x的奇数次幕的项的系数和为()

A.-64B.64C.-32D.32

6.已知等差数列{厮}的前w项和为Sn,公差为d,且{S"单调递增.若as=5,则de()

A.[o,5|)B」O,130)C.(0,5|)D.(O,130)

2

7.若关于x的方程+mx+1|+\x-mx+1|=21nl%|的整数根有且仅有两个，则实数m的取值范围是

()

A.[2,|)B.(2,f)

C.(-|,-2]U[2,|)D.(-|,-2)u(2,f)

8.已知定义在(0,1)上的函数/(x)=是有理数98,n是互质的正整黝,则下列结论正确的是()

1,X是无理数

A"(x)的图象关于久=3对称B.fO)的图象关于6[)对称

C./O)在(0,1)单调递增D1(x)有最小值

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，尸(-3,4)为其终边上一点，若角£的终边与角

2a的终边关于直线y=-%对称，贝1()

A.cos(7r+a)=|B.£=2/CTT++2a(kEZ)

C.tan0=，D.角0的终边在第一象限

10.已知圆Cl：/+y2=6与圆。2：/+y2+2x—a=0相交于A,B两点.若以好好=2SAC»B，则实数。

的值可以是()

2214

A.10B.2C.yD.y

11.已知半径为厂球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部(包括边界

),记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为心贝1()

A.r有最大值，但无最小值B.r最大时，球心在正四面体外

C.r最大时，d同时取到最大值D"有最小值，但无最大值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.平面向量落石满足1=(2,1),a//b,a-b=-V10,则|B|=.

1

13.如图，在等腰梯形ABC。中，AB=BC=CD点E是AD的中点.现将AABE沿8E翻折到△

A'BE,将ADCE沿CE翻折到AD'CE,使得二面角4一BE-C等于60。，。一CE-B等于90。，则直线4B

与平面D'CE所成角的余弦值等于_____.

14.已知尸，尸分别是双曲线盘-，=1缶＞0,6〉0)与抛物线丫2=2「血＞0)的公共点和公共焦点，直线

尸尸倾斜角为60。，则双曲线的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2csinB=

(1)求C;

(2)若tanZ=tanB+tan。，a=2,求△ABC的面积.

16.（本小题15分）

已知直线〉=fcc与椭圆C：1+y2=i交于a,B两点，尸是椭圆C上一动点（不同于A,B）,记k°p,

kPA,kpB分别为直线OP，PA,PB的斜率，且满足k-k0P=kPA-kPB.

（1）求点P的坐标（用左表示）；

（2）求|0P|•|4B|的取值范围.

17.（本小题15分）

红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金双万元）与年收益y（万元）的8组数据：

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

（1）用y=b\nx+a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；

（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的

10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元）

附：①回归直线a=bv+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=%”网一卷,a=u-b-v

£仁1曲—nv

88888

Wln%i如W（ln%）2W%In%

i=li=li=li=li=l

1612920400109603

③ln2-0.7,ln5-1.6

18.（本小题17分）

数列｛%｝,｛4｝满足:｛%｝是等比数列，瓦=2,a2=5,且外瓦+a2b2+…+-%=2（£1加-3）/+8（ne

N*）.

（1）求a4bn；

（2）求集合4=｛x|（x-a；）（%一加）=0,iW2n,iGN*｝中所有元素的和；

（3）对数列｛%｝,若存在互不相等的正整数上…，与（/22）,使得以1+以2+…+%也是数列｛分｝中的项，

则称数列｛"｝是"和稳定数列”.试分别判断数列｛an｝,伯„｝是否是“和稳定数列”.若是，求出所有」的

值；若不是，说明理由.

19.（本小题17分）

如图，对于曲线「存在圆C满足如下条件：

①圆C与曲线「有公共点A,且圆心在曲线T凹的一侧;

②圆C与曲线「在点A处有相同的切线；

③曲线r的导函数在点A处的导数（即曲线r的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆。-a）2+

（y-b）2=产在点4（汽,尢）处的二阶导数等于11^）,则称圆C为曲线「在A点处的曲率圆，其半径，称

为曲率半径.

（1）求抛物线y=/在原点的曲率圆的方程;

（2）求曲线y=f勺曲率半径的最小值；

（3）若曲线y=e%在（久/%1）和（%2，e%2）（%iW上）处有相同的曲率半径，求证：%i+%2<Tn2.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：已知zeC,则z=i时，符合z2=-ieR,但是不满足zeR；

若ZeR,则一定有z2eR；

则“z2eR”是“zeR”的必要条件但不是充分条件.

故选：B.

根据必要条件但不是充分条件的定义判断.

本题考查必要条件但不充分条件的应用，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解:M={x\y=V%+1]={x\x>-1},

N={y\y=Vx+1}={y\y>0）,

故MnN=N.

故选：D.

先求出集合N,再结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：对于A,设正三棱台上底面边长为m下底面边长为6,

高为〃，

则展稷分4BC-41B1Q

_工八2

/三及=V三棱锥=弓".了。'

因为a<b,所以选项A错误；

对于2,由正三棱台的结构特征知，N4414为钝角，所以441与4/不垂直,

所以棱441与平面4B1Q不垂直，选项8错误；

对于c，不石•昭=（石瓦+瓦N）•（瓦豆+同）=不瓦•瓦可+不瓦•近+瓦百2+瓦石.舐力0，选项c

错误；

对于。，取8C中点。，B1G的中点P,贝IJBC14D,BC1PD,且ADnPD=D,所以BC1平面

ADPAr,所以4&1BC,选项。正确.

故选：D.

选项A,设正三棱台上底面边长为。，下底面边长为6,a<b,高为人计算匕/台阳〜人建心与

V三棱锥Ai-BB[Ci，比较即可；

选项8,由正三棱台的结构特征知，棱4%与平面不垂直；

选项C,计算硕•瓦口40,判断与BiC不垂直；

选项。，取BC中点。，/Ci的中点P,判断BC1平面41PD4得出1BC.

本题考查了正三棱台的结构特征与应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题.

4.【答案】B

【解析】解：设函数/(无)=x-sinx,xG(0,,

则/'(久)=1—cosx>0,

.••/(久)在(0,今上单调递增，

/(x)>/(0)=0,即％>sin久，

r1

0.5>sin0.5,即a<

2=logo-。,3<log03VO?25=logo3().5<log030.3=1>--<c<1,

...30,5>30=1,...fa>1,

a<c<b.

故选：B.

设函数f(%)=%-sin%,xe(0,^),求导可知f(%)在(0,1)上单调递增，可得％,sin%,即再结合对

数函数和指数函数的性质求解即可.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了指数函数和对数函数的性质，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：在(3-%)(1—％户的展开式中，

52e,6

设f(%)=(3—%)(1—x)=a0+arx+a2x+*+a6x,

令汽=1,则f(1)=。0++。2+。3+。4+。5+。6=2x(1—1)5=0,①

令第——1,则/(—1)=劭-%+。2—+。4—+。6=4X[1—(—I)],=128;②

①-②得，2(。1+西+。5)=—128,a1+的+。5=-64.

故选：A.

设出解析式，给展开式中的X分别赋值1,-1,可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案.

本题考查了二项式展开式的系数问题，可设出解析式，用赋值法代入特殊值，相加或相减即可，属于中档

题.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，若｛S"单调递增，

则当nN1时，有所+1=S"+i-Sn>0,即数列｛即｝中，当n22时，有即>0,

又由—5,必有d>0,

则有-3d=5—3d>0,解可得d<|,

故d的取值范围为[0,|).

故选：A.

根据题意，分析可得数列｛册｝中，当nN2时，有即>0,由此分析d的取值范围，即可得答案.

本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：设4=B=/+1,

则|4+B|+|B—川=2\A\,

即2|川=\A+B\+\B-A\=\A+B\+\A-B\>\A+B+A-B\=2\A\,

所以4+B和a-B同号，

所以(4+B)(8-4)<0,

即Q2+l)2-rn2x2<0,

即/+(2—m2)x2+1<0,

设t=/,

则/+(2-m2)t+1<0,其两根“•t2=1>0，

结合/的定义知口，七均是正根，

设t[<，

则匕G(0,1),则攵>1，

设/"(t)=t2+(2—ni2)t+1,

因为f(l)=4-m2<0,

应有%2=%2<[2]2=4,

所以f(4)=25-4m2>0,

综上所述：ni6(―|,—2]U[2,|).

故选：C.

设力=nix,B=/+i,则有|2+B|+|B-*=2|4|,由三角绝对值不等式可得4+B和2-B同号，

(X+B)(B—X)<0,即尤4+(2—爪2)尤2+i30,设6=乂2,贝12+0—爪2)1+1Mo,结合二次函数的

性质求解即可.

本题考查了三角绝对值的应用、二次函数的性质及转化思想，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：对于A项，当x是有理数时，设x=则/'(久)=，，1-x=由于几-爪和〃

互质，

所以「(I—久)=：,故A正确；

对于2项，/(I—3)=l,f(争=1,故8错误；

对于C项,/(1)=6)=/，故C错误;

对于。项，设/(X)有最小值/pez,

取/(专)即可，其中0使得P+q是质数，

止匕时/(3)==<工与工是最小值矛盾，故。错误.

」、p+q，p+qpp

故选：A.

由所给函数的解析式结合定义域即可一一判断.

本题考查了分段函数的应用，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：由题意可知，cosa=-|,sina="所以sin2a=2sinacosa=—

7

cos2a-2cos2a—1=——,所以。(—7,—24)是2a终边上一'点，

所以夕(24,7)是£终边上一点,即cos£=吊sin/?=5，

3

A项：COS(TT+cr)=—coscr=故正确；

。项：tan/?='与=|.故正确；

厂cosp5

8项：若B正确,则cos/?=cos(2fc7r+2a+今=cos(2a+方)=-sin2a=||,

77-7

sin/?=sin(2fc7r+-+2a)=cos2a=——,故8错误；

。项：易知正确.

故选：ACD.

根据任意角三角函数定义计算三角函数值即可.

本题考查三角函数的求值，属于中档题.

10.【答案】BD

【解析】解：两圆圆C1：久？+y2=6与圆。2：/+丫2+2久-a=0相交于A,8两点，

两圆的公共弦为2%-a+6=0；

1

所以％=5a—3,

两圆的圆心距为1,

设圆心G：到直线X=-3的距离di=|-3|,圆心到直线的距离=仅。一2|,

11

由于SAQAB12sAe29，故四=2=2,整理得一3|=2］尹—2|,

解得a=2My.

当a=2时，直线AB的方程为％=-2,符合条件；

当&=当时，直线A8的方程为力=一|,符合条件.

故a=2或手

故选：BD.

首先利用圆与圆的位置关系求出公共弦的直线方程，进一步利用点到直线的距离公式求出结果.

本题考查的知识点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：如图，不妨设球与顶点出发的三个平面相切，易知球心。在AH上(H是ABC。中心)，

与三个面的切点0「外，&分别在AG,AE,AF上，

在△AED中，易知=HD=—.AH=M，则sin/EA”=。，

6333

则r=AO•sin^EAH=^AO,又4“=AO-cos^EAH=竽4。，且人。2<AE=^-，

则等4。〈亭台aow萼，故「=!2。3里，

OZODO

故r有最大值，且为空，故A正确；

8

当Gax=^时，2。=亨>4"=夕，止匕时°在四面体外，故8正确；

max883

又OB=0C=0D=y/OH2+HD2=

故d=。4+30D=。2+3JOH2+-

①当。在线段A*上时，。4+。H=4”=苧，

设OH=xE[0,苧)，此时d=年一支+3J%2+g，

设/(比)=苧-x+3J久2+,

3%—/%2+看k

则1(%)=「>0,得%>若，

声JI12

则/(久)在(0,工)上单调递减，在(若,苧]上单调增，

由/(0)=3,/(苧)=V"5+苧<3,

此时/(%)无最大值，f(x)min=f(^)=<6;

②当。在线段AW外时，0A-OH=AH=苧,

设OH=xe[0,芸],则d=?+x+3.单调递增,

则dmax=挈+甯<3,dmm=¥+6〈A，故d有最小值无最大值，故C错误，。正确•

oo3

故选：ABD.

不妨设球与顶点出发的三个平面相切，易知球心。在A#上(“是△BCD中心)，与三个面的切点Or劣，

。3分别在AG,AE,AF±,结合等边三角形的性质可得故r=:4。W空，进而可判断A3,分。在线段

AH上和。在线段AH外两种情况讨论，利用导数分析出d的最值，即可判断CD.

本题主要考查了三棱锥的内切球问题，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题.

12.【答案】

【解析】解：平面向量乙方满足1=(2,1),a//b,a-b^-/10,

设了=

又五=(2,1),

所以N-b=4t+t=E>t=—yj10,

得y-争，

所以|b|=-\Z-5ltl==yTZ.

故答案为：V-2-

由平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题.

13.【答案】等

【解析】解：设BE中点为G,连接力'G,CG,过4作401CG于。，

个Z

则4AGC为二面角A-BE-C的平面角，且AG,平面上"

BCE,

设4。=4,贝=4E=BC=CD=2,则4ABE,

△BCE为等边三角形，

BC。

则AG=yjl,A'O=A'G-sin60°=],OG=A'G-

cos60°=苧，

以EC中点以为原点，HC为x轴，为y轴，HD%,7轴建立空间直角坐标，如图所示：

则8(0,0,0),呜亨,|),

易知平面D'CE法向量为元=(0,1,0),瓦不=G,—苧,|),

元•前=—苧，|n|=1,\'BA'\=J

。二+2=2,

16164

-----»3V~3

3/3

COS<n,互下>=a'":==--------,

\n\-BAr\1x28

设直线48与平面D'CE所成的角为巴则86呜,

所以sin。=|cos<n,BA'>I=羽亘

8

所以cos。=V1—sin20="

O

故答案为：鼻

8

求出设8E中点为G,连接4G,CG,过A作4O1CG于O,贝叱4GC为二面角4—BE—C的平面角，且

A'G_L平面BCE,由题意可得△ABE,△BCE为等边三角形，建立空间直角坐标系，可得平面D'CE的法向

量的坐标，求出前的坐标，求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出直线BA与平面D'CE所成的夹角的正

弦值，进而求出线面角的余弦值.

本题考查用空间向量的方法求直线与平面所成的角的余弦值的求法，属于中档题.

14.【答案】著生或，7+2

【解析】解:已知P,歹分别是双曲线最一，=l(a,b>0)与抛物线必=2px(p>0)的公共点和公共焦

点，直线尸尸倾斜角为60°,

设直线PF的方程为y=-红

y=

联立

ly2=2px

消y可得12/—20px+3P2=o,

即第=当或％=|

则P(|p,Cp)或P(；p,-?p),

ZOD

又F“),

-1

所以c=,P，

即p=2c,

所以P(3c,2A/~^C)或P《c,—^^c).

9c212c2一

则mtl正一丁=1或;

*9a29庐1,

又c2=a2,+b2,

则£=绐三或£=，7+2,

a3a

即e=乌+2或e=y/~7+2.

故答案为：等或C+2.

由双曲线的性质，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系求解.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属中档题.

15.【答案】解：（1）因为2csinB=V_2/J,由正弦定理可得2sinCsinB=V_2sinB,

在△ABC中，sinB>0,

可得sinC=而C6(0,兀)，

可得C=熬C=竽；

(2)因为tanA=tanB+tanC,

由恒等式tan/+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC,得2tan/=tan/tanBtanC,得tanBtanC=2,

所以只可能是tanC=1,tanB=2,此时tanA=3,

2<5

所以sinA=4萨sinB

sinB-a-p-x24/5104AA2

所以b=D——x_____

sinX3/10——3/10——

10

所以％4BC=JabsinC=1x2x—.苧=/

【解析】（1）由正弦定理可得sinC的值，进而求出角C的大小；

（2）由三角形中恒等式tan4+tanB+tanC=tan4•tanB•tanC,可得tanC的值，tanB的值，tan力的值，再

求出sinB,sinA的值，由正弦定理可得6的值，代入三角形的面积公式可得三角形的面积.

本题考查正弦定理的应用，三角形的恒等式的性质的应用，属于中档题.

™2„2

16.【答案】解：(1)设力(皿①，B(-m,-n),P(s,t),则?+必=^+/,

44

gr-pi,,_t-nt+n_t2—n2_1(m2—s2)_1

PAPBs—ms+ms2—m2s2—m24'

所以k°p=-聂

联立・％24k，可得P(了坐=，一不上=)或P(--j=3=,-j=^=)；

—+y2=lJ4k2+lJ4k2+lJ4k2+1J4/+1

2

(2)由(1)可得|0P|2=喀土1,

y=kx

联立小,,整理可得：(l+4fc2)%2=4,

匕+必=1

4k2+4、

所以MB/=4(：2)，

4々'+1

_(16/+2)(16」2+16)36k2、

所以。p2-AB242

(l+4fc2)2一(16fc+8k+l

=4(4+菽、)~(4+一)=4(4+急=25,

+8

当且仅当16k2=j,即左=±，时取等号.

所以|0P|•|AB|W5,所以|0P|•|28|G(4,5].

【解析】(1)设4尸的坐标，由题意可得8的坐标，将A,尸的坐标代入椭圆的方程，求出直线PA,PB

的斜率之积，求出直线。尸的方程，与椭圆的方程联立，可得点P的坐标;

(2)由(1)可得|0P产，联立直线y=kx方程与椭圆的方程，可得|AB『的表达式，求出|OP|27AB|2的表达

式，再由基本不等式可得|0P||4B|的最大值.

本题考查直线与椭圆的综合应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题.

603-1-161-29

17.【答案】解:(I)—"四千88____O______

浮i=(lnxi)2-8-3=g也产109—^(29)2

_r.理=1比阳=161二29=

-88--~8•可一

所以回归方程为y=51nx+2；

(2)设投入1万元生产食品淀粉，(200-%)万元生产药用淀粉,

所以y京=Slnx+2+0.1(200—%)=5lnx—0.1%+22,

1c1

设/(%)=51nx-谈+22,则/0)=/—元,

易得/(久)在(0,50)上单调递增，(50,+8)上单调递减，

所以/1(x)max=/(以)=51n50-5+22=51n50+17,

又因为ln50=21n5+ln2»3.9,所以年收益最大值约为36.5万元.

【解析】（1）由题意求得a和6,即可求解；

（2）设投入x万元生产食品淀粉，（200-乃万元生产药用淀粉，求得y总=5）乂-0.1%+22,设/（久）=

51nx-系+22,利用导数知识即可求解.

本题考查回归方程和导数的综合应用，属于中档题.

18.【答案】解：（1）因为。1力1+a2b2+…++anbn=2（1nbn—6bn+8,①

当九=1时，4瓦=2al瓦一6bl+8=2a1b1—4,所以的=2,

当71>2时,的瓦+a2b24------卜an_1bn_1=2册九—6bn_1+8,②

①-②得：anbn=2anbn-2c1n_也_I-6bn+6bn_1,^anbn-2an_rbn_r-6bn+6bn_r=0,

设数列｛3｝公比为式qW0）,

则q,cin—2azi_i—6q+6=0,

当九=2时,内瓦+a2b2=2a2b2—6b2+8,

又因为g=5,a1=2,瓦=2,

所以&=4,

n

所以q=2,bn=2；

所以a九—%i-1=3,

所以数列是等差数列，首项为2,公差为3,

所以a九=3n—1；

（2）即求数列｛即｝,｛g｝中各前2n项所有不同元素的和，

数列中前2”项的和为町管0=6/+n,

数列｛%｝中前2〃项的和为=2•乎—2,

同时其公共项为2,23,25,…,22f则其和为华字=|（小-1）,

其中22J为数列｛匕｝的第2k一1W2nLi项,

同时数列｛&J的第机项，即221-1=3m—1.

集合4中所有元素的和为6n2+n+2•4n-2-04k-1）.

（3）证明:若是“和稳定数列”，

则以1+a%+…+a©=3（七+B+…+勺）—/，当/被3整除余1时即可；

若｛%｝是“和稳定数列”，

则尻i+尻2+,"+%=瓦

k1

即2kl+2k2+…+2i=2,不妨取比<k2<•••<fcj<Z,

则2%+2%+.“+2与<2°+21+…+2,T=皂=2"—1<2’，矛盾，

1—2

故｛%｝不是“和稳定数列”•

【解析】(1)利用赋值法，通过求解数列的递推关系式，转化求解即可.

(2)求解前“项和，推出集合A中所有元素的和.

(3)推出以1+a%+…+=3(k1+B+…+勺)―_/，当，被3整除余1时即可，2kl+2k2+…+2局=

21,得至[]2场+2/+…+2>W2°+2】+