湖北省武汉市2024届高三年级下册四月调考数学试卷（含答案与解析）

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制

本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

L答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

2i.

1复数1+1，贝4L()

A.1B.72C.73D.75

2.已知集合A={%|%?-2x-3<0},3={x|V-4x<0,xeZ},则AB=()

A{2,3,4}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

3.设W是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.若。_L£,ma,则m_L/7

B.若a10,mua,则加_L/?

C.若加a.nVa,则根_L〃

D.若厂a,则〃_La

4.（2x—3）（x—1）5的展开式中丁的系数为（）

A.—50B.-10C.10D.50

5.记1=3°2,b=0.3一=log02（）.3,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

记等比数列｛4｝的前〃项和为s,,若S8=8,、2

6.=26,则S4=（）

A.1B.2C.3D.4

7.点P是边长为1的正六边形A5CDEE边上的动点，则R4.P3的最大值为（）

1113

A.2B.—C.3D.—

44

22

8.已知双曲线E:=-3=1（。〉0]〉0）的右焦点为P，其左右顶点分别为A,3,过尸且与x轴垂直

a"b"

的直线交双曲线E于M,N两点，设线段的中点为P,若直线6P与直线AN的交点在,轴上，则双

曲线E的离心率为（）

A.2B.3C.72D.73

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.

9.已知函数/（X）=sin2x+sin12x+g],则（；

1

A.函数是奇函数B.函数+是偶函数

（jr77T\

C.7（%）的最大值是6D./（九）在区间正上单调递减

10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右

拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

A.图(1)的平均数=中位数=众数

B.图(2)平均数〈众数〈中位数

C.图(2)的众数〈中位数〈平均数

D.图(3)平均数〈中位数〈众数

11.定义在R上的函数"%)与g(x)的导函数分别为了'(%)和g'(x),若g(x)_〃3r)=2,

f'(x)=g'[x-l),且g(—x+2)=—g(x+2),则下列说法中一定正确的是()

A.g(x+2)为偶函数B./'(x+2)为奇函数

2024

C.函数是周期函数D.(左)=0

k=T

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.设椭圆土+匕=1的左右焦点为耳,耳，椭圆上点P满足|尸闻：归耳|=2:3,则月的面积为

13.己知圆台体积为14兀，其上底面圆。।半径为1,下底面圆。2半径为4,则该圆台的母线长为

14.设A,5c是一个三角形的三个内角，则cosA(3sinB+4sinC)的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

J*

15.已知」45c三个内角ASC所对的边分别为且——=----.

c3b-a

(1)求sinC的值；

(2)若ABC的面积s=5&，且。=后(。一/>),求.ABC的周长.

16.已知函数/(x)=hix-av+x2.

(1)若。=T,求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)讨论了(%)的单调性.

17.如图，三棱柱A3C-A4G中，侧面43用4,底面ABC，AB=BB[=2,AC=2®

/454=60°,点。是棱4耳的中点，BC=4BE，DE1BC.

(1)证明：AC±BB}.

(2)求直线8月与平面DE4,所成角的正弦值.

18.已知抛物线E:y=f,过点T(L2)的直线与抛物线E交于A3两点，设抛物线E在点A3处的切

线分别为4和，2，已知4与X轴交于点用」2与X轴交于点N,设4与4的交点为P.

(1)证明：点p在定直线上；

(2)若cPMN面积为四,求点尸的坐标；

(3)若P,M,N,T四点共圆，求点尸的坐标.

19.已知常数qw(0,1),在成功的概率为。的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的

取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布.

_oo(_n、

(1)对于正整数左，求P(X=4,并根据E(X)=\AP(X=M=!吧[1小(X=A)J,求£(x)；

(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为。的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的

试验次数的期望为用，现提供一种求当的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验

失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是后2,即总的试验次数为(用+1)；若第一次试

验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2,若第二次试验失败，

相当于重新试验，此时总的试验次数为(与+2).

⑴求片2;

(ii)记首次出现连续〃次成功时所需的试验次数的期望为纥，求心.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

2=：~~7+1\\=

1.复数1+1，贝ipzL()

A.1B.V2C.73D.逐

【答案】D

【解析】

【分析】结合复数的四则运算法则与模长定义计算即可得.

2i.2隼—i)

【详解】Z=---Fl+i=l+2i则忖==

1+i0+i)(l—i)

故选：D.

2.已知集合A={x|V-2x-3<0},3={x|Y-4x<QxeZ},则AB=()

A.{2,3,4}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】先求解集合A,3,再利用交集运算进行求解.

【详解】A={x|/一2无一3<C)}={尤I—1<x<3},B=1x|x2-4%<0,%ez|=11,2,3},

所以AB={1,2}.

故选：B

3.设机，〃是两条不同的直线，名尸是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.若。_L/?,ma,则加_L/?

B.若a_L万,/nua,则加_L/?

C.若加a,n1.a,则根_L〃

D.若帆a,则〃J_c

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件及借助正方体，结合点线面的位置关系即可求解.

【详解】如图所示

对于A,设平面a为平面A3CD,平面夕为平面3CC4,加为4G，则机«,则故

A错；

对于B,设平面a为平面ABCD,平面夕为平面BCCJB］,加为AD,则。_L/?,〃zutz,则m/3,故B

错；

对于C,过加作平面/与平面a交于直线b,ma,贝1］加.b,n±a,可得〃_L/?,则m_L〃，故

C正确；

对于D,设平面e为平面ABC。，AB］为m,B©为n,则6_1_〃，帆a,则“〃。，故D错.

故选：C.

4.(2x—3)(%-1)5的展开式中V的系数为()

A.-50B.-10C.10D.50

【答案】A

【解析】

【分析】根据二项式定理得出(X-1),展开式的通项，求出T3，A，进而得出X，的系数.

【详解】(x—1)5展开式的通项为(M=C)5T(-iy,则1=10/,7；=-10x2,故(2x—3)(x—1)5展

开式中/的系数为2x(—10)+(—3)x10=-50.

故选：A

02-（）2

5.Ha=3,Z?=0.3,c=log020.3,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】对于〃,方可化成同指的两个指数再利用基函数单调性比较大小，对于。和。涉的大小关系利用中间

值法即可.

【详解】因为b=0.3一°2=（g）,幕函数y=在（0,+“）上单调递增，

又?〉3,所以[][2>3°2>3°=1，

所以

又对数函数y=log02x在（0,+“）上单调递减，所以c=log020.3<log020.2=1,

故

故选：D.

6.记等比数列｛%｝的前几项和为S.，若S8=8,S]2=26,则S4=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用等比数列的性质，S.Sg-S4，Si2-Sg成等比数列，可解出

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，且等比数列｛4｝的前项和为5.，

所以S’,Sg—色，%—S&成等比数列，则应—S4J=•（$2—S&），

即（8_S4）2=S/（26_8）,解得S4=32或$4=2.

设等比数列｛4｝公比为q,则qwl,

务=±M=1+/>1,则58〉邑〉0,得邑=2.

故选：B

7.点尸是边长为1的正六边形A3CDEE边上的动点，则QA.PB的最大值为(）

A.2B.—C.3D.—

44

【答案】c

【解析】

【分析】借助中点。和平方差公式得R4-P3=(PQ+QA》(PQ—QA)=PQ2—；,再探究尸。的最

大值即可.

【详解】分别取A3,OE中点Q,R,连接P。，QR,

则由题QA=g，BD2=DC~+BC2-2DCxBCxcosZBCD=l+l-2xlxlxcosl20=3.即

BD=6

所以8=,西+BD?

作图如下，由图可知当尸运动到D或E时PQ最大,

所以PAP3=（PQ+QA）（PQ+Q3）=（PQ+QA）（PQ_QA）

-222121

=PQ_QA=PQ--<QD—7=3,

44

所以PR.PB的最大值为3.

故选：C

22

8.已知双曲线£:二-4=1(。〉0］〉0)的右焦点为P，其左右顶点分别为A,8,过歹且与x轴垂直

ab

的直线交双曲线石于M,N两点，设线段板的中点为尸，若直线族与直线AN的交点在＞轴上，则双

曲线E的离心率为()

A2B.3C.72D.^3

【答案】B

【解析】

A2A2A2

【分析】根据题意可得4-a,。)，B(a,O),F(c,O),,N(c,-—),P(c,—),分别求出直线

aala

成和AN的方程，从而得到直线严和4V与y轴的交点坐标，即可求出答案.

【详解】由题可得：A(-«,0),B(a,O),F(c,O),M(c,匚),N(c,—以)，P(c,—),

aa2a

__c+a

所以7_2。_C+。，直线5P的方程为：y=——(X—a)，

K2a

BP=c-a=~2—a

令％=0,解得：J=_£±£；所以直线Bp与＞轴交点为］(),一言；

2

__b_c—ci

由于7_。―〃，则直线AN的方程为：y=-----(x+〃),

aa

^AN=-c+'—a=a

令X=O,解得：y=a-c,所以直线AN与y轴交点为(o,a—c),

因为直线成与直线AN的交点在y轴上，所以a—c=-----,解得：c=3a,

2

所以双曲线E的离心率0=工=3,

a

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.

9.己知函数/(x)=sin2x+sin[+,则(

)

A.函数八x.是奇函数B.函数/是偶函数

C.八%）的最大值是百D.7（%）在区间上单调递减

【答案】BD

【解析】

【分析】化简/（%）解析式，由此结合三角函数的性质对选项逐一分析，得到正确答案.

【详解】由/(x)=sin2x+sin|2x+g=sin2x+[-Lin2x+且cos2x

122J

cos2x=sin2x+—,

22I3J

兀(71

对于A,g(x)=fX——=sin2%-j+—=sin2x--\,

33I3

因为g（T）=sinf-2%-^-=­sin12%+三卜一g(（xX）,故A错误;

兀兀兀

对于B,y=/(x+j=sin2卜+春)+]=sin[2x+5)=cos2x是偶函数，故B正确;

12122

n

对于C,由/（x）=sin|2%+工卜最大值为1,故C错误;

3

jr7冗2兀IT3冗

对于D,-<%<—,则一<2x+—<——，由正弦函数的单调性知,

612332

71717兀

函数/(x)=sin|2x+—在上单调递减.故D正确.

3

故选：BD.

10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右

拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

A.图(1)的平均数=中位数=众数

B.图(2)的平均数〈众数〈中位数

C.图(2)的众数〈中位数〈平均数

D.图(3)的平均数〈中位数〈众数

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.

【详解】图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确;

图(2)众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；

图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.

故选：ACD.

11.定义在R上的函数〃%)与g(x)的导函数分别为了'(%)和g'(x),若g(x)_〃3r)=2,

/'(尤)=g'(尤-1),且g(—x+2)=—g(x+2),则下列说法中一定正确的是()

A.g(x+2)为偶函数B./'(x+2)为奇函数

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C.函数/(%)是周期函数D.Zg(左)=0

k=\

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断

即可得.

【详解】对A：由g(—x+2)=—g(x+2),故g(x+2)为奇函数，

若g(x+2)为偶函数，则g(x)=0,与条件不符，故A错误;

对B：由g(x)_/(3r)=2,贝！］g'(x)+/'(3-x)=O,

又/'(%)=g'(xT),即/'(x+1)=g'(x)=-/'(3-%)，

即f\x+2)=-f'(2-x),又/'(尤+2)定义在R上，

故/"(x+2)为奇函数，故B正确；

对C：由g(—x+2)=—g(x+2),贝!|—g'(—x+2)=—g'(x+2),

即g'(—x+2)=g'(x+2),又/'(%)=g'(xT)，

则/(-x+3)=g\-x+2),(x+3)=g\x+2),

故r(-x+3)=ra+3),又f(x+2)=-r(2-x),

则/'(x+3)==/'(-x+3),即-f(x+l)=f(x+3),

则_小+3)=小+5)=小+1),

故函数/'(%)是周期函数4的周期函数，

则函数了(%)是周期函数4的周期函数，故C正确；

对D：由g(x)—/(3—x)=2,即g(x)=/(3—x)+2,

又函数"％)是周期函数4的周期函数，故g(x)是周期函数4的周期函数，

由g(—x+2)=—g(x+2),令x=0,贝i|g(2)=—g(2),即g⑵=0,

令％=1,则g(l)=_g(3),即g(l)+g(3)=0,

由g'(x)+/'(3-x)=。，/，(-x+3)=g,(-x+2),

则g'(%)=—g'(r+2),则g'(%)关于(LO)对称，则g(x)关于x=l对称,

又g(x+2)为奇函数，即g(x)关于(2,0)中心对称，

故g(x)关于》=3对称，则g(4)=g(2)=0,

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则Sg(左)=506[(?。)+g⑵+g⑶+g(4)]=506x0=0,故D正确.

k=l

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

(1)关于对称：若函数/⑺关于直线％=。轴对称，则/(x)=/(2a-x),若函数/(x)关于点(a,切中心

对称，则/(x)=2Z?-f(2a-x),反之也成立;

(2)关于周期：若/(x+a)=—/(%),ng/(x+a)=--,/(x+a)=---,可知函数73的周

/(X)/(X)

期为2a.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.设椭圆*+会=1的左右焦点为片，工，椭圆上点P满足归片|:|尸"卜2:3,则心的面积为

【答案】12

【解析】

【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得.

【详解】由椭圆定义可得归耳|+|尸闾=2a=10,

则有=：即附|=4,熙|=6，

又国耳|=2c=2^25—12=2而,

由42+62=52=(2A『，故/耳尸6=90。，

故SPFa=；x4x6=12.

故答案为：12.

13.已知圆台。a的体积为14兀，其上底面圆a半径为1,下底面圆。2半径为%则该圆台的母线长为

【答案】V13

【解析】

【分析】由圆台的体积求得圆台的高/7,作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.

【详解】圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,设圆台的高为人，

则该圆台的体积为V=]x(12+42+ix4)/z=7M=147i,则〃=2,

作出圆台的轴截面如图所示,

上底面圆心为下底面圆心为N,MD=1,NC=4,

过。作。ELNC,则EC=4—1=3,又DE=h=2,

所以圆台的母线长为DC=飞DE?+EC。=V22+32=713•

故答案为：s/13-

14.设A,5,C是一个三角形的三个内角，贝i]cosA(3sinfi+4sinC)的最小值为.

【答案】一甯

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到了0)=25r+24r,

再运用导数的性质进行求解即可.

【详解】cosA(3sinB+4sinC)=cosA[3sinB+4sin(兀一A-B)]=cosA(3sinB+4sinAcosB+4cosAsinB)

=cosA[(3+4cosA)sin3+4sinACOS可,

令3+4cosA=。,Z?=4sinA,

所以cosA(3siaB+4sinC)=cosA(asinB+Z?cos5)=y/a2+b2cosAsin(^+5),

要想cosA(3sirtB+4sinO有最小值，显然A为钝角，即cosA<0,

于是有+/cosAsin(e+3)NJ4+Z/cosA,

设/(A)=cosA-A/9+24COSA+16cos2A+16sin2A=cosA-425+24cosA,

因为cosAvO,

所以/(A)=-725COS2A+24COS3A

令cosA=《—即/⑺=25r+24/,—1</<0=>/'")=50/+72/=2/(25+36。,

25

当—l<t<—时，/,(r)>0,函数单调递增,

36

2s

当一二＜f＜0时，/,（r）＜0,函数/0）单调递减,

36

因此当/=一2上s时，函数有最大值/25?x25

3636?x3

1256

所以"A）的最小值为—J著;

108

....25n.3n2J671

此时cosA=---二一＜A＜一，＜7=3+4COSA=-,Z?=-——，

362499

即存在tan6=必%纭］,显然存在B,使得3+夕=巴，

2U2）2

即cosA（3sinB+4sinC）的最小值为_1?5币

故答案为：-甯

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助

角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

J*

15.已知三个内角ASC所对的边分别为且——=-----

c3b-a

(1)求sinC的值;

（2）若，ABC的面积s=50，且。=痛（。一匕），求ABC的周长.

【答案】（1）sinC=—

3

（2）8+2后

【解析】

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，结合正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果;

（2）根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

cosC*cosy^.

由正弦定理可得，-----=------------,得：3sinBcosC—sinAcosC=cosAsinC.

sinC3sinB-sinA

所以3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C).

又sin(A+C)=sin(兀-5)=sinB,且sinB/0，所以cosC=g.

由sinC>0,故sinC=Jl-cos2c=.

3

【小问2详解】

5=—absinC=572,所以oZ?=15.

2

由余弦定理，=/+/—20^^05。="+/—10.

Xc2=6(«-Z?)2=6(«2+^2)-180.

联立得：a2+b2=34,c=2^/6.

a+b=da~+2ab—8,

所以一ABC的周长为a+6+c=8+2C.

16.已知函数〃x)=lnx-ox+x2.

(1)若a=—l,求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)讨论了(九)的单调性.

【答案】(1)y=4x—2

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；

(2)结合二次函数的性质，对。分类讨论计算即可得.

【小问1详解】

〃=一1时，=lnx+j;+x2,/,(x)=—+1+2%,

r（i）=4,/（i）=2,

所求切线方程为y=4（x—1）+2,整理得：y=4x-2；

【小问2详解】

f'（x）=--a+2x=2x2~aX+l,

XX

因为x>0,故aWO时，/'（幻>0"（力在（0,+。）上单调递增，

当。〉0时，对于y=2x?-ax+l,A=4-8,

若O<a<20，则AW0,此时/'（x）NO,/（x）在（0,+“）上单调递增，

若a>2A/2>令2x2-ax+1=0,得％="土〉。,

4

0cx时,/（力>0"（力单调递增；

4

+时,/（可>0,”力单调递增；

4

伫近三$<》（生五m时，尸（力<0,〃无）单调递减；

44

综上所述：aW2加时，"％）在（0,+8）上单调递增；

I-/\<7—A/<7--8］<7+-8

a>2&时'/（%）在°，---------|、----------,+°°上单调递增,

\\）

在］伫孚mEE］上单调递减.

44

\7

17.如图，三棱柱A3C-4耳G中，侧面43用4,底面ABC,AB=%=2,AC=2瓜

ZB184=60°,点。是棱4耳的中点，BC=4BE，DE1BC.

（1）证明：AC±BBt.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）

10

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明再由面面垂直的性质定理得到DAL平面ABC,从

而ZML5C；根据题目条件解得5E=1，由勾股定理AC,AB；利用线面垂直的判定定理得证AC,

平面ABB14，所以AC，85].

（2）建立合适的空间直角坐标系，分别求出直线8月的方向向量和平面。切,的法向量，利用公式求出直线

BB]与平面DEA所成角的正弦值为巫.

10

【小问1详解】

连接ZM，EA，。4=1,朋=2,NZ>4A=60,

由余弦定理可得.=412+22—2.I.2.COS60=#>

满足D42+D42=",所以加，£叫，即可，46.

因为平面43与4,平面ABC,且交线为A5,由ZMLA5，ZMu平面A3用人，得八4,平面ABC

由5Cu平面ABC,得ZMLBC,DA±AC

因为OELBC,DAcDE=D,且DA,DEu平面。LE，

所以3cl平面ZME.由AEu平面£>AE,得3C_LAE.

设BE=t,CE=3t,有BT—/=人。2—⑶y,解得：/=],即5£=1.

所以3C=4,满足542+4。2=3。2,即AC.

又因为ZML4C,DAr\AB=A,且DA,ABu平面

所以ACJ_平面AB44.

由BB]u平面ABgA,得AC±BB},

【小问2详解】

以A为坐标原点，A3,AC,A£＞分别为苍％z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

(5拒)

DA}=(-1,0,0),E&=,---,A/3

I22J

设平面D岛的法向量为=（羽y,z）,

-x=0

n-DA,-0

由《即《--x-^-y+y/3z=0

n-EA=0

}、22

取z=1,得到平面PBD的一个法向量n=（0,2,1）.

又明="=（-1,0,⑹，

设直线BBt与平面D%所成角的大小为0,

_73_V15

则sin8=cos〃,§4

问.忸闻A/5-A/410

所以直线B片与平面OK4,所成角的正弦值为巫

10

18.已知抛物线E:y=d,过点T（l,2）的直线与抛物线E交于A,3两点，设抛物线E在点A,3处的切

线分别为4和4，已知4与X轴交于点与X轴交于点N,设4与，2的交点为P

（1）证明：点P在定直线上；

（2）若一,PMN面积为行，求点尸的坐标；

（3）若P,/,N,T四点共圆，求点尸的坐标.

【答案】（1）证明见解析

⑵（0,—2）或（2,2）

【解析】

【分析】（1）设4（%,才）,3（尤2，后），尸（如，力），利用导数求4和4的方程，进而可得点尸的坐标，再联

立直线A3、抛物线的方程，利用韦达定理分析求解；

（2）根据面积关系可得（王-尤2『（石々『=32,结合韦达定理分析求解；

（3）可知抛物线焦点分析可得PE是一？MN外接圆的直径，结合垂直关系分析求解.

【小问1详解】

由y=,得y=2x,

设A（西芯）川%2,君）尸（马，力）.

所以4方程为：y=2石（%—七）+4，整理得：y=2xxx—.

=

同理可得，4方程为：y2X2X—xj.

y=2K2X+%2

联立方程＜J1;，解得《2

y=2X2X-x2

因为点T（l,2）在抛物线内部，可知直线A5的斜率存在，且与抛物线必相交，

设直线A5的方程为丁=左"-1）+2,与抛物线方程联立得：^-kx+k-2=0,

故九］+/=k,xvx2=k-2f

k

月f以九尸~p=k—2,可知yp~2xp一2.

所以点尸在定直线y=2x—2上.

【小问2详解】

在的方程中，令y=。，得"C，O}NC，

所以面积S=g|awHyp|=；|（玉_々）玉工2卜应.

故（国—々）2（玉々）2=（%+%）2—4%科2］（玉々）2=32,

代入玉+1=k,X9,=左—2可得：（左2_4k+8）（左~—4k+4）=32.

整理得［（左一2）2+8］［伏一2）2—4］=0,解得:左=0或（=4.

所以点P的坐标为（0,-2）或（2,2）.

【小问3详解】

抛物线焦点由“会,0得直线"F斜率3F=

可知MF_LVP,

同理NRLNP,所以小是外接圆的直径.

若点T也在该圆上，则77P.

74

由得F=W，得直线7P的方程为：y=--（x-l）+2.

又点尸在定直线y=2x—2上,

16

x=一

y=(%-1)+29

联立两直线方程<7、)，解得<