2024年上海市静安区中考三模数学试题（含答案）

2023学年第二学期初三数学试卷2024.5.14

（总分：150分，时间：100分钟，答案请做在答题纸上，做在试卷上不计分）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应

位置上】

1.下列实数中，不是有理数的是（）

2..也

A.—B.0.32C.—D.cos60°

72

2.下列四个选项中所表示的x的取值范围与图中表示的x的取值范围相同的是（）

（第2题图）

%>1

A.满足<的x

2%<8

B.代数式Vx-1+A/3-X中的x

C.△ABC的三边长分别为1.5、2.5和x

D.到2.5所表示的点的距离不大于1.5的点所表示的x

3.下列计算正确的是（）

1112

A.32x33=36B.32+33=36C.23x33=66D.（33]=35

4.下列函数中，当无>0时，y随x增大而增大的是（）

1Y<

A.y——B.y=—%+1C.y=x-2xD.y=-1

x

5.关于x的方程依2+2%+1=0有实数根，则。的取值范围是（）

A.a<lB.且a#0C.。取一切实数D.a<l

6.某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AC±BD,

AD=a,BC=b,由上述条件，得到了两个结论：

+b),@CD=^yJa2+b2

①AC=

对于结论①、②下列说法正确的是（）

1

A

B

O

（第6题图）

A.①正确、②错误；B.①错误、②正确；C.①、②正确；D.①、②都错误.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.9的平方根是

8.分解因式：X3—%=

9.方程而，=-x的解为

10.已知直线y=（左—l）x+2不经过第四象限，则左的取值范围是.

11.从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽取一张，恰好为素数

的概率是.

12.二元一次方程x+4y=9的正整数解为.

13.化简：2a+3人一g（9a_3b）=.

14.为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小数

据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05,由此可估计全

区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为人.

（第14题图）

15.已知：△ABC中，ZACB=2ZB,CD平分NACfi,AD=2,CD=3,NB的余弦值为.

16.已知A、3为半径为1的。上两点，P在线段上，上4=3。3,若==则y关于x的

数量关系式为.

17.如图，平行四边形A3CD的顶点。、。在双曲线y=K（x>0）上，A（-l,0）,B（0,-2）,与丁轴

2

交于点E,若ZVlBE与四边形3CDE的面积比为1:5,则上的值为

（第17题图）

18.折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题.下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸片

ABCD沿某直线折叠，使点A与点。重合，折痕交于点E；（2）展开后，沿过点£的直线所折叠，使

点C落在AD边上点G处.联结GB,用量角器测得NGBC=30°,则长方形纸片中——的值为.

BC

（第18题图）

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（本题满分10分）

_1

计算—卜—V2|+71°—22.

20.（本题满分10分）

铲土铲犯］炉+4孙+4,2=9,

解方程组：5

x-y=6.

21.（本题满分10分）

己知：如图，第一象限内的点A、3在反比例函数的图像上，点C在y轴上，3。〃1轴，点4的坐标为（2,4）,

且cotZACB=2.

3

3

求：（1）反比例函数的解析式；

（2）点C的坐标；

（3）NABC的余弦值.

22.（本题满分10分）

如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边△A5C

的边长为20cm,分别以4B、C为圆心，为半径作3C、AC、A3,M为△A5C的中心.

。"气■

（第22题图1）

（1）若。为上任意一点，则的最小值为cm,最大值为.cm.

（2）转子沿圆P转动时，始终保持M与；，P相切，：M的半径为8cm,P的半径为5cm,当圆心尸在

线段40的延长线上时，求3、P两点间的距离.

23.（本题满分12分）

己知：如图，四边形ABCD的对角线AC、3D相交于点0,AC±AB,OAOC=OBOD

A

B

（第23题图）

4

(1)求证：DB±DC.

(2)过点6作AD交DA延长线于点E,延长5石、CD交于点F,分别取BC、b的中点P、Q,

联结P。、AQ,求证：QP平分NAQD.

24.(本题满分12分)

己知直角坐标平面X0Y中，。为原点，抛物线y=o?+笈(。<0)经过点a。,m)、可3,加)，点尸为抛物

线顶点.

(1)当机=1时，求抛物线解析式及顶点P坐标.

(2)若点P在直线y=gx上，且tanNP46=a，求抛物线的解析式.

(3)联结OP交于点。，当△PQB为等腰三角形时，求机的值.

25.(本题满分14分)

已知：四边形ABCD中，AB=AD=DC,ZB=NC,封分别为A3、中点，DE、CR相交于点G.

(1)如图，如果AD<3C,求证：ZEGC=ZA.

(2)当NA=120°,RG=1时，求的长；

(3)当△CGD为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由.

静安三模

考试时间：100分钟满分150分

一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)

1.C考点：有理数

2.D考点：不等式组解集定义域三角形存在性数轴问题

3.B考点：幕的四大天王

4.A考点：函数图像性质

5.A考点：实数根

6.B考点：真假命题，勾股定理

222222

知。2=OA2+O02①b-=OB~+OC@x=0^+03@X=OC+OD@

5

①+②—③—④，a2+b2-2x2=0,一=《±2，-_CD=—^a2+b2,二②对

22

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.±3考点：平方根

8.x(x+l)(x-l)考点：因式分解

9.x=-l考点：解无理方程

10.k>l考点：函数图像性质

2

11.-考点：素数，概率

5

x—1x—5

12.<<

y=2[y=l

13.-a+4b考点：平面向量线性运算

14.1500考点：频率分布直方图

15.—考点：有一条公共边的斜A型等腰三必杀公式

4

CD

△ACD^AABC—

ABAC—而

.ADJCDYCD12BC75Tio

coso=------=—1==------

"AB~(BCJBC-V52CD2A/24

a

,16—3―

16.y=-----------(0<x<2)考点：垂径定理解确定三角形

OH2=l--x2=y2--x2

416

2,-1216—4/+x216-3x2

y=1——%+—x=----------

-41616一16

6

17.12考点：反比例函数图像性质面积相关问题平四性质

左="=(a+1)仅一2)=/?=2〃+2

4?—2..b=6...左=12

®T考点：翻折’解确定三角形

第18题图

三、解答题（本大题共7分，满分78分）

19.解：原式=2&+l-&+1—逝=2考点：实数运算

&x+2y=3[x+2y=-3

20.解〈<

x-y=6[x-y=6

7

西―I%—考点：解二元二次方程组

bi=-11%=-3

Q

21.思路：（1）y=—

x

（2）知CH—2，cotAACB=—

3

.•.AH=3,HG=1=OC,/.C（0,l）

（3）知力=1代入，=8,「.5（8」），BH=8—2=6

DTT£25

cotZABC=——=-=2,:.cosZABC=~

AH35

考点：反比例函数解析式解确定三角形

/

:.BP2=BH2+HP2=100+皿-3丫

=100+^+9-2073

丫2处丁

8

23.思路：(1)OAOC=OBOD,——=——且N1=N2

OBOC

..△AOBsADOC(SAS),:.ZBAO=ZCDO=90°,:.DBLDC

考点：斜X型直角三性质2中位线定理三线合一中垂线定理

(2)联结RI,PD

易证私=L6。.PD=-BC,：.PA=PD

22

P,Q为BC,CF中点，PQ//BF,.-.Z3=Z4=90°

为A。中点，垂直平分A。

QA=QD,Z5=Z6

即QP平分NAQD

第23题图

24.思路：(1)设y=a(x—l)(x—3)+l对称轴式

(0,0)代入

9

O—3ci+1,ci——

3

y=-2-4%+3）+i

i4（4、

即"丁2+§元,顶点p2,§

（2）易知巧＞=2代入y=：冗，=1，，P（2,1）

把A（l,m），5（3,根）代入y=ax2中

m

a=---

m-a+b8〃+2Z?=03

=>n<

m-9a+3bb=-4a74

b--m

3

m4m（2AA\4

/.y=---x2+—mx=---x-4x+4+—m

333v73

即y=—W（x—2）?+：^，■-p[2^m]

1

a二——

4

b=l

（3）知PQ/P3,...仅两种分类,yOP=^m,

①时，:.BP?=B。,

1/1丫八3丫129152453A/5公、

/.1+—m=\3———m-1=—m-——,/.m=---（负舍）

（3JI94442

io

②QP=Q5,二次二西

—m|=2,TIT=18,:.m=3^2(负舍)

3J44

综上所述，m=主5或3后

2

考点：二次函数图像性质等腰三角形存在性问题纯解析法，代数法

25.思路：（1）过D作DH〃AB交BC于H

易知0=0DH=DC

AB=AD=DC,：.DH=AB

.•.四ABHD为平四，二4）〃5。

AO<3C,.•.四ABC。为梯形

Afi=OC,.•.四ABCD为等腰梯形，.•.NA=NADC,又E,尸分别为中点

:.AE=-ABDF=-AD：.AE=DF又AD=DC