浙江省温州市2022-2023学年高二年级上册期末数学试题(A卷)（含解析）

2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测

数学试题(A卷)

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.

2.选择题的答案须用25铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改功，须将原填涂处用

橡皮擦净.

3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题

卷上无效.

选择题部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知('一6)是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为()

71兀2兀5兀

A.-B.—C.—D.—

6336

2.已知空间的三个不共面的单位向量。，b，C，对于空间的任意一个向量P，()

A.将向量。平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上

B.总存在实数x,y,使得p=xa+yb

C.总存在实数X,y,Z,使得p=xa+y(a+Z?)+z(a-Z?)

D.总存在实数无，y,z,使得p=xa+y(a+b)+z(a—c)

3.己知函数/(x)在x=2的附近可导，且1唾"力2=_2,"2)=2,则/(%)在(2,/⑵)处的切线

%->22

方程为()

A2x+y-6=0B.2x-y-2=0

C.x+2y-6=0D,x-2y+2=0

22

4.已知椭圆j+1=l(a〉6〉0)的焦点为£(-c,。)，月(c,0),且c是a,b的等比中项，则在椭圆上

使/耳「&=90°的点尸共有（）

A.0个B.2个C.4个D.8个

5.已知｛4｝是公差不为0的等差数列，S“是其前〃项和，贝广对于任意“eN*，都有S“WS5”是“%,<%的

（）

A充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

22

6.已知椭圆4：+亮=1，椭圆4与椭圆L的离心率相等，并且椭圆右的短轴端点就是椭圆4的长轴

端点，据此类推：对任意的〃eN*且“22,椭圆4与椭圆4T的离心率相等，并且椭圆4T的短轴端点

就是椭圆4的长轴端点，由此得到一个椭圆列：%,L2,■■■,Ln,则椭圆人的焦距等于（）

A.6x|）B.C.6xI]D.6x0

7.正三棱柱ABC-4与£中，AB=2,A4,=73,。为BC的中点，M是棱耳G上一动点，过。作

ON工AM于点N,则线段MN长度的最小值为（）

A3a#36r-

------D.x_z.------\-J.yJj

424

8.己知为不相等的正实数，则下列命题为真的是（）

A.若e〃=a+l则a<b

B.若一=1—Inc!a<.b

b

C.若加"=（a+l）e",则a</?

D.若alnb=Z?ln（a+l）,则a<Z?

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.设直线Ax+Bj+G=0,Z2：A.x+B.y+C^O,下列说法正确的是（）

A.当GwG时，直线乙与4不重合

B.当432-4四。0时，直线4与4相交

C.当”2一4片=0时，4〃，2

D.当44+B&2=0时，\!/2

10.已知空间向量0=(2,—1,3),6=(T,2㈤，下列说法正确的是()

A.若&_Lb,贝!Jx=1

B.若3a+Z?=(2,则x=l

C.若。在匕上的投影向量为:8，则x=4

D.若a与b夹角锐角，则xe[m，+oo]

22

11.如图，已知点尸是椭圆%+右=1上第一象限内的动点，耳,B分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y

轴上的动圆T始终与射线尸耳，尸区相切，切点分别为M,N,则下列判断正确的是()

B.|PM|2<|P^|.|P^|

c.PAW面积的最大值为4君

D.当点尸坐标为(2班，石)时，则直线PT的斜率是:

12.己知数列｛4｝的前〃项和为S,,，q=l,且4a“4+]=a〃-3a“+i(〃=1,2,...),贝！|()

41/11,017

A.3a,<aB.a.=---C.In——<n+lD.1<5—

n，，+1”52431a,J"14

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆（x—l『+y2=i与圆工2+9+奴+勿=。内切，则有序实数对（。力）可以是.（写出一对

即可）

14.11世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据此

可知：13+23+33+---+93=.

15.已知点4（2,2）在抛物线丁=2庶上，B,C是抛物线上的动点且C4LCB,若直线AC的斜率

左e1,2,则点8纵坐标的取值范围是.

16.四面体ABCZ）中，AB=AC=BC=CD=2,二面角A—BC—。的大小为60°,则四面体ABC。外

接球体积的最小值为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17.已知点？（一3,2）及圆C：x~+y~+2x+4y+1^0.

（1）求过尸且与圆C相切的直线方程；

⑵以PC为直径的圆交圆C于A,8两点，求

18.已知数列｛a“｝满足：q=2,加/1—+=—1（〃eN*）

⑴写出出，的，并求｛4｝的通项公式；

⑵若数列％=条（〃eN*），求数列也｝的前n项和S".

19.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面ABCD为正方形，二面角尸—5C—A为直二面角.BP=CP=①，

BP±CP,M,N分别为AP,AC的中点.

(1)求平面BMN与平面PC。夹角的余弦值；

(2)若平面BMNc平面PCD=I,求点A到直线I的距离.

20.广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个

圆面围成的.其中双曲面的构成原理如图所示：圆。一。2所在的平面平行，OQ垂直于圆面，AB为一条

长度为定值的线段，其端点48分别在圆5上，当48在圆上运动时，线段形成的轨迹曲面就

是双曲面.用过OiQ的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线.已

知主塔的高度|。。2|=15(12+96)111,|4回=15(16+76)111,设塔身最细处的圆的半径为石，上、下

圆面的半径分别为4、2，且用,彳，2成公比为J5的等比数列.

⑴求OH与的夹角；

(2)建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程.

22

21.已知E是双曲线C-乙=1的右焦点，过尸的直线/交双曲线右支于P,Q两点，中点为M,

412

。为坐标原点，连接OM交直线X=1于点N.

⑴求证：PQLNF.

(2)设=2/Q,当2WXW4时，求三角形；引KN面积S的最小值.

22已知函数/(x)=2/lnx,g(x)=x2-1,其中左>0.

⑴当k=2时,证明：/(x)>g(x)；

⑵若“X)2g(x)对任意的Xe(0』恒成立，求k的取值范围.

2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测

数学试题(A卷)

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写

在答题卷上.

2.选择题的答案须用25铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改功，须

将原填涂处用橡皮擦净.

3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答

案写在本试题卷上无效.

选择题部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知3)是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为(

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.

设直线的倾斜角为aoe[0,兀)，则tana=—

所以a=)

6

故选：D

2.已知空间的三个不共面的单位向量，，b，c,对于空间的任意一个向量。，()

A.将向量力,沙，c平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上

B.总存在实数x,y,使得p=xd+yb

C.总存在实数x,y,z,使得p=xa+y(a+Z?)+z(a-Z?)

D.总存在实数无，y,z,使得p=xa+y(a+b)+z(a—c)

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.

【详解】解：对于A,当空间的三个不共面的单位向量a,b-c作为空间直角坐标系的标

准正交基底时，

向量a,b-c平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为行的正三角形，

其外接圆半径「满足2r即厂=逅，不是单位圆，故A不正确；

sin6003

对于B,由三个向量共面充要条件可知，当向量b，，共面时，总存在实数x,y,

使得0=+但向量P是空间的任意一个向量，即a,b，P可以不共面，故B错

误；

对于C,由于向量=2。，则向量。+乩。-乩。是空间中的一组共面向量，

不能作为空间的基底向量，

所以当P不与。，方共面时，则找不到实数x,z,p=xa+y(a+b^+z(a-b^

立，故C不正确；

对于D,已知空间的三个不共面的单位向量Q,b，c,则向量不共面，所

以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x,y,z,使得p=xa+y(a+Z?)+z(a—c),

故D正确.

故选：D.

3.已知函数〃力在x=2的附近可导，且Em"*-27,“2)=2,则〃尤)在

12X-2

(2,/(2))处的切线方程为()

A.2x+y-6=0B.2x-y-2=0

C.x+2y-6-QD,x-2y+2=0

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知斜率，代入点斜式即可求解.

【详解】由题知，

..〃x)-2

lrim——=-2,

2x-2

函数〃尤）在x=2处的切线斜率为：k=-2,

又.42）=2,.•.切线过点（2,2）,

代入点斜式有：y-2=-2（x-2）,

即：2x+y-6=0.

故选：A.

22

4.己知椭圆=+4=1（0〉5〉0）的焦点为片（-。,。），鸟（c,0）,且c是a,6的等比中

ab

项，则在椭圆上使/耳尸8=90。的点尸共有（）

A.0个B.2个C.4个D.8个

【答案】C

【解析】

【分析】当P为椭圆短轴的顶点时，NF"=2ZPOF,>90°,从而得出满足条件的点P

个数.

【详解】因为c是a,6的等比中项，所以c2=ab，

cn

当尸为椭圆短轴的顶点时，4尸月最大，止匕时tanNOPG=：=上>1,NOPE>45。，

bc

即NFFF?=2NOPF]>90°,

因此在第一象限内存在一点尸满足/耳「工=90°,

结合对称性可知，在椭圆上使/耳尸4=90°的点p共有4个.

故选：C

5.已知｛%｝是公差不为0的等差数列，S”是其前九项和,贝卜对于任意“eN*，都有5„<S'

是“。6<%的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差数列的前九项和公式和充分性、必要性的概念求解即可.

【详解】因为数列｛4｝是公差不为0的等差数列，所以

cn（n-l）dd2（d）

Sn=几％H--------------=一n+%---1,

当d>0时，S,没有最大值，所以由对于任意〃eN*，都有S“WS5可得d<0,所以&<生，

充分性成立；

当0＜。6＜。5时，56=S5+a6＞S5^所以必要性不成立,

故“对于任意〃£N*，都有S“K55”是“。6＜。5的充分不必要条件，

故选：A

6.已知椭圆右：—+^=1,椭圆乙与椭圆L的离心率相等，并且椭圆4的短轴端点就是

2516

椭圆右的长轴端点，据此类推：对任意的〃eN*且“22,椭圆4与椭圆L“_i的离心率相

等，并且椭圆4T的短轴端点就是椭圆〃的长轴端点，由此得到一个椭圆列：。，4，…，

Ln,则椭圆人的焦距等于()

【答案】B

【解析】

【分析】确定椭圆的离心率，根据椭圆的短轴端点就是椭圆右的长轴端点，可得

.A2A24

4=总,结合e-=l—哼=1一一可推出｛2｝为首项为4,公比为一的等比数列，即可

an%5

43

3

求得为=d=4义(-),进而利用c5=-a5即可求得答案.

【详解】由题意可设椭圆4的长半轴为〃"，短半轴为以，焦半距为g,

对于椭圆乙1：--+=1,有％=5,4=4,q=3,

2516

3

则由题意可知所有椭圆的离心率都为不，

由于椭圆A,-1的短轴端点就是椭圆L”的长轴端点，故an=b…

4

即｛2｝为首项为4,公比为二的等比数歹U,

故%=d=4x

所以C5=|a5=|x4x(g)3=3x(g)4,

4

故椭圆L5的焦距等于2c5=6X(?4,

故选：B

7.正三棱柱ABC-4与。]中，AB=2,A4,=G，。为8C的中点，〃是棱8。上一动

点，过。作QVLA"于点N,则线段长度的最小值为()

A.B.—C.9D.73

424

【答案】B

【解析】

【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达

式，利用函数求最值即可.

【详解】解：因为正三棱柱ABC-A4cl中，。为8c的中点，取中点。，连接。。，

如图，以。为原点，0。,。4。。为工，％2轴建立空间直角坐标系，

则O（0,0,0）,A（0,60）闺-1,0,⑹,G（1,0，⑹，

因为〃是棱4G上一动点，设M（a,o,豆），且ae[—1,1],所以

6>M-C>A=（a,0，V3）.（73,0,0）=0,则Q4LQM,

MNMO

因为QVLA",所以在直角三角形OMA中可得：QWN〜AMO,所以——=—,

MOMA

又函数y=/-；在J7]上为增函

数,

\=46-^==—,即线段MN长度的最小值为Y5

所以当％=y[6时，

LnV622

故选：B.

8.己知。涉为不相等的正实数，则下列命题为真的是()

A.若e)=0+1,则

B.若一二1—Ina,则〃</?

b

C.若人e"=(a+l)e",则a<b

D.若。111/?=/?111(0+1),则0</?

【答案】B

【解析】

【分析】构造/(£)=e"-X—1,求导判断单调性，进而求出值域可得2x+1,对e)进行放

缩后解不等式，即可得选项A的正误，在炉之尤+1中，取-Inx代替x,则取等条件为

—lnx=0,即x=l,即可得lnx+1,对1—Ina进行放缩，解出不等式，即可判断选项B

X

的正误，构造g(x)=《，求导可得其单调性,进而得g伍)<g(a),但是。力与1的大小关系

X

__1__>__1__

不确定，所以。涉的大小关系不能确定，将alnb=〃ln(a+l)放缩为•:巴，即

InZ7]na

11/、/、

g(nb)>g(lna)因为""""正负大小不确定，所以g(lna),g(lnb)大小不确定，即

a,b的大小关系不能确定.

【详解】解:由题知。涉为不相等的正实数，

构造/■(x)=e、—x—1,所以r(x)=e「1,

当x«—,())吐尸(x)<0,/(%)单调递减，

当xe(O,4w)时，制x)>0,/⑴单调递增，

所以/(力之/(0)=0,即e—x+1,

由于a,Z?wO,所以a+l=e)>b+l,

解得a>b，故选项A错误；

由于2无+1,取一Inx代替x,

则有:一2—lnx+1,

当—lnx=O时，即x=l时等式成立，

所以』=l-lna4工，

ba

a>0力>0,所以解得aWb,

若1—lna=工可得。=1,此时1—lna=L=0不成立,

ab

故取等条件不满足，

故。<乩所以选项B正确；

构造g⑴=鼠所以g，(x)=百(1),

XX

当Xe(-00,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当％e(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xe(1,+oo)时,g，(x)>0,g(x)单调递增，

baa

因为加"=(a+l)e&,即J=

b〃+la

所以g伍)<g(a),

因为。涉与1的大小关系不确定，所以a,6的大小关系不能确定,

故选项C错误，

因为aIn沙=Z?In(a+1),即电_2=,

当Z?=l时，等式不成立,

ln(a+l)

即可化为华:

elnZ?

当。=1时，f>。，解得力>1,b>a成立,

e

〉

当awl力wl时，上述不等式可化为：e1"eln"

InZ?Ina

即g(lnZ?)〉g0na)，

因为Ina,Inb正负大小不确定,

所以g(lna),g(lnb)大小不确定,

即。涉的大小关系不能确定,

故选项D错误.

故选:B

【点睛】思路点睛:该题考查通过构造函数，利用导数判断单调性比较大小的题，属于难题，常见

的构造函数有:

(l)y=ex-(x+l);

(2)y=x-lnx-l9'

(3)y=x-sinx,x<0,-1；

/八ex

(4)y=—,y=不；

xe

Inx

⑸产一.

x

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2

分.

9.设直线/］：A无+4y+G=0,/2：4%+与＞+。2=0,下列说法正确的是()

A.当Ci^G时，直线4与6不重合

B当时，直线4与4相交

c.当4反一4月=o时，iju,

D.当44+与32=0时，41/2

【答案】BD

【解析】

Ax+Sy+C.=0

【分析】举出反例判断A；联立:二''八，结合48-4用是否为o,讨论方

A,x+B2y+C2=0

程组解的情况，判断直线的位置关系，判断B,c,讨论用不是否为0,结合44+3避2=0

可判断两直线是否垂直，判断D.

【详解】对于A,Gwc2时，若44。0,笈=刍=。，且*=今时，

两直线4：x=~~r4：冗=一2重合，A错误；

A&

A%+gy+G=0

对于B,联立《可得（4鸟—）x=B]C?—B?C[,

A^x+B?y+C*2~0

4c2—B?C、

当4与一4月wo时，%=-^~~广』，此时方程组有唯一一组解,

/1）£）2—A?£））

故直线4与，2相交，B正确;

Ax+Rv+C.=0

对于c,4与一4月=。时，若与。2-52。尸0,则＜A^x+B^y+C^=0无解，

此时4〃4；

Ax+4y+G=0

若§C—52G=0,贝卜有无数多组解,

A2x+B^y+C2=0

此时4,4重合，故C错误;

对于D,若与与片。，则由44+4为=0可得（一£）•（一/）=一1,

即两直线斜率之积等于-1,故

若用=O（B2=0），则可得&=O（A=0）,此时满足aA+用与=o,

直线/]：A尤+C[=0（4y+C1=0）,Z2：B2y+C2=0（V+C2=0）,

此时41z2,

故当44+4为=0时，D正确，

故选：BD

10.已知空间向量a=（2,—1,3）,〃=（T,2,x）,下列说法正确的是（）

A.若a,则x=§

B,若3a+b=（2,-1,10）,则x=l

C.若。在6上的投影向量为gb,则x=4

D.若a与b夹角为锐角，则xe[5，+oo）

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；

对于B：结合向量的四则运算即可求解；

对于C：利用投影的几何意义即可求解;

对于D：根据向量的夹角公式即可求解.

【详解】对于A：aJ-b>•-a-b=Q>

即:a2=（2,-L,3）-（T,2,x）=—8—2+3x=0,

解得：x=—.

3

故A选项正确；

对于B：3a+b=（2,—1,10）,

3a+Z?=3（2,-1,3）+（-4,2,%）=（2,-1,9+X）=（2,-1,10）

9+x=10,解得：%=1.

故B选项正确；

a-bb

对于c：&在〃上的投影向量为：MM，

a-bb1

即丁丁,后=W”7，代入坐标化简可得：/―9x+50=0，x无解，

代忖3

故c选项错误；

对于D：。与方夹角为锐角，

a-b=-10+3^>0>解得：x>可，

—4x2x

且。与〃不共线，即一片一，一片―，解得：xw-6,

23-13

所以a与b夹角为锐角时，解得：^>y.

故D选项正确；

故选：ABD.

22

H.如图，已知点尸是椭圆土+乙=1上第一象限内的动点，K，工分别为椭圆的左、右

1612

焦点，圆心在y轴上的动圆T始终与射线「耳，尸心相切，切点分别为M,N,则下列判断

正确的是（）

B.|PM|2<|P^|.|P^|

c.PAW面积的最大值为4

D.当点P坐标为RG,由）时，则直线PT的斜率是|

【答案】AD

【解析】

【分析】根据椭圆的定义及圆外一点切线长性质可判断A,结合基本不等式可判断B,利用

椭圆焦点三角形的角度与面积关系可判断C,根据角平分线定理可求解直线PT与x轴交点

坐标，从而可求直线PT的斜率来判断D.

22

【详解】解：已知椭圆椭圆土+乙=1,则a=41=2，5,c=五三万=2,所以左右

焦点为耳（一2,0）,7s（2,0）

对于A,如下图，连接MT,NT,FJ,FB,

点P是椭圆上第一象限内的动点，所以归国+归月|=2。=8,又圆心T在y轴上，所以

|单1=|即，

动圆T始终与射线尸耳，「心相切，切点分别为M，N,所以|MT|=|NT|,且

MTLPF^NT±PF2,所以I咋切线长归闾=|PN]

所以由图可得：I?用+归闾=|列4+|町|+|/训—|N闾=|?M+|/W|=8,则

|PM|=|P^|=4,故A正确；

对于B,因为|P£|+|F闾=8,所以|因卜|尸闾三附I；咽=16,当且仅当

归耳|=归闾=4时等号成立，

又尸是椭圆上第一象限内的动点，所以上片国。阊，故户周归闾＜16,由于归闾=4,

故忸耳口尸闾＜|PM「，故B不正确；

对于C,取椭圆的上顶点为8,连接3耳,3g，

由椭圆可知05=6=2君，|。耳|=|。闾=2,所以/耳3。=/月3。=£,故

6

71

由于尸是椭圆上第一象限内的动点，所以则sin/40,孝;

于是可得一PMN面积

SPMN=^\PM\-\PN\-sinNRPF?=1x4x4-sinZF{PF2=8sinNF/F?e（0,46）,

故.PMN面积没有最大值，故C不正确；

对于D,连接尸T,设PT与x轴的交点为。，如下图:

设。亿0)/e(-2,2),由题可得直线尸T为/与P鸟的平分线，所以由角平分线定理可得:

即㈣

附LI叫,整理得t=—2,

用回「%+2

因为当点P坐标为（26,追）时，|P77|=J（2A/3+2）2+（A/3-0）2=[19+86=4+布，

所以=J*—2=；（4+@—2=#,

1f,所以直线PT的斜率

,=,=V3-0=2

“加―2百_3-3,故D正确.

一-r

故选：AD.

12.已知数列｛q｝的前“项和为S,,，q=l,且4a“q+i=a”-3a,+i(〃=1,2,...),则

()

211(1)1

A.3an+1<anB.a5=-----C.In—<n+lD.

243｛aj

l<S<—

n14

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A选项，只需判断。〃〉0；

对于B选项，通过通项公式可求得。5=击；

对于C选项，将条件转化为3〃-2<d"l可判断错误；

对于D选项，将数列放缩成等比数列求和，可判断正确.

13

【详解】由条件4%♦。用=。〃一3%+1，两边同时除以。屋氏+i，得4=----------,

an+\an

1

+2=3(—+2)+2=3-(-+2)=3",a=—^—,

«K+i册an%3”-2

对于A选项，4%y+i=q,—3a“+]>0,3。“+1<。”，故A选项正确;

凡=勺£>°'°5=3^2=2?1,所以B选项错误；

1『1)

对于C选项，一=3"-2,In—=也(3"-2)<"+1等价于3"-2<6向，由极限思想知,

""

当”一中冷时，3"-2>e"+i,故C选项错误；

=1=1V1_1

(«>2)

对于D选项，L3"-2-39一3一39-1)一73-2

11

H---+

7^3°7.3r1

173117

=q-/F<1Z'又：S=之S]=1,所以D选项正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查了数列由递推公式求通项公式，以及关键对通项公式的形式进行分析，放

缩，判断.属于较难题.

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆（x—l）2+y2=1与圆月+,2+奴+%=0内切，则有序实数对（。⑼可以是

.（写出一对即可）

【答案】（―1,0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据给定条件，求出两个圆的圆心、半径及圆心距，再结合两圆内切列式求解作答.

【详解】圆（x-1）2+丁=1的圆心。（1,0）,半径（=1,

圆（x+3）2+（y+号）2=^4^，〃+/>0,圆心02（-£—3,半径4二a*1,

224222

依题意，1。。2闫4一61>0,则有J（1+0）2+（1）2=|1_2^±^|>0,

V222

解得b=0,a<0且aw—2,

所以有序实数对（。3）可以是（TO）.

故答案为：（—1,0）

14.11世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如

图所示），据此可知：13+23+33+---+93=.

【答案】2025

【解析】

【分析】利用图形的割补求面积，即可求得自然数的三次方的求和公式.

【详解】由题知,l3+23+33+---+n3

可转化为一个底边长为：+

高为：立等的直角三角形,

其面积即是自然数的三次方的求和:

+n12(AZ+1)2

S=—xnx(n+l)x

2v2―4

当〃=9时，S=2025.

故答案为：2025.

15.已知点4（2,2）在抛物线产=2x上，B,C是抛物线上的动点且CALCB,若直线

AC的斜率左eI，2,则点8纵坐标的取值范围是

【答案】[-3,-2]

【解析】

【分析】由己知得出夕=1,即可设出B,C年,为，则根据已知可得

I2JI2）

22+J,2

kcA，kcB--------x----------=-1与-_21G—,2与

%+2%+%2L2

1222

彳<——^<2可解出-6<%<0,由左CA•左CB=——-X---------=-1整理为

2%+2%+2%+%

货+(x+2)%+2%+4=0,根据已知得出关于%的方程货+(x+2)%+2%+4=0,

在为e[—L2]上有解，即可解出-3<%<—2或％26,综合即可得出答案.

【详解】点4(2,2)在抛物线V=2内上，

4=4，，解得p=l,即y2=2x,

/2\(2、

设8,C>

k27I'

kr4-2_2:_2

rnriKCA2,。KCB22,

贝”A_2%+2，A_2L必+%，

222

直线AC的斜率左e-,2,

2

12「

一<--------<2解得：—1W%<2一①,

2%+2

CALCB,

22r且一2

X---------i，

%+2%+%

由-『—92解得：14一%—%«2②,

由①+②可得：-6<%<0,

22

—=T整理化简为：yl+(%+2)%+2%+4=0,

丁2十，丁2十X

则关于内的方程抬+(%+2)%+2%+4=0,在%e[T2]上有解,

2

A=(y1+2)-4(2yl+4)>0

则,1)?-(X+2)+2%+420,

2?+2(%+2)+2%+420

解得：-3<%<-2或326,

综上所述：点B纵坐标的取值范围是[-3,-2],

故答案为:[-3,-2].

16.四面体ABC£>中，AB=AC=BC=CD=2,二面角A—5C—O的大小为60°,则

四面体ABCD外接球体积的最小值为.

［答案］必叵

27

【解析】

【分析】作出图，利用外接球球心到各顶点距离相等，结合题中的边长和二面角大小，求出

外接球半径的表达式，进而求出外接球半径的最小值即可求解.

【详解】如图，设。为四面体ABC。的外接球球心，■为的中点，。在平面ABC,

上的投影分别为Q,P,连接。P,OQ,MP，MQ,OM,PC,

由外接球的性质可知：Q,尸分别为一ABC,△BCD的外心，所以PMQMLBC,

NPMQ是二面角A—5C—O的平面角，则NPMQ=60。.

由AB=AC=5C=CD=2可知：A5C为正三角形，

所以=

因为。为四面体ABCD的外接球球心，所以05=0C,则

进而O,P,M,Q四点共面，设NCDB=c,因为尸为△BCD的外心，

所以NMPC=a（同弧所对的圆心角是圆周角的二倍），则PM=MCcota-cola，

C

如图，

Q

延长QO,MP交于点T,因为/PM2=60。，MQ=B,

3

2、石OPTP

所以TQ=LMT="，由-OPT—MTQ可得：—77=—,

3QMTQ

2百

,OPTPMT-MPa~2J3

也即~r=~~T=---i-----=------；----->所以OP=-------cota，

V311133

T

则OT=2OP=3—^3ota，

33

所以OQ=TQ-OT=1--+^^-cotor=^^-cota>

3333

则R2=oQ2+Qa2=（］lcota—；）2+g,当cote=#时，外接球半径最小，最小为

空,此时四面体ABCD外接球体积的最小，

3

所以四面体ABCD外接球体积的最小值为丫=3兀R3=23rx鼠1=卫'况，

33927

故答案为：必叵.

27

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演

算步骤.

17.已知点尸（一3,2）及圆C：x2+y2+2x+4y+1=0.

（1）求过尸且与圆C相切直线方程；

⑵以PC为直径的圆交圆。于A,8两点，求|AB|.

【答案】（1）1=_3或3无+4y+I=0

⑵|阴=竽

【解析】

【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用点到直线的距离等于半径即可求解；

（2）两圆相减即可得公共弦所在的直线方程，再根据点到直线的距离公式与垂径定理即可求

解.

【小问1详解】

由题知，圆C的圆心C（—1,—2）,r=2

当女不存在时，工二一3,符合题意.

当％存在时，设直线方程为y—2=左"+3),即y—近―2—3左=0

_\-2+k-2-3k\3

(]J1+-2=2,所以左=——

4

3

y-2=--(x+3),即3x+4y+l=0

综上所述，切线方程为％=-3或3%+4y+l=。

【小问2详解】

以PC为直径的圆的方程为(％+2)2+/=5

所以AB直线方程为x—2y—1=0

|-1+4-1|2

所以C到直线AB的距离为d'=

V1+4

18.己知数列｛4｝满足：q=2,nan+l—+=-1(neN*)

⑴写出利，的,并求｛a.｝的通项公式;

⑵若数列d=枭(〃eN*)，求数列也｝的前n项和Sn.

【答案】(1)%=3，%=4,｛4｝的通项公式为：4="+1；

⑵s.=|

【解析】

【分析】(I)由递推公式求出出，。3；根据递推公式求出也一一—=^--；

zi+1n+1nn

⑵利用错位相减法求和.

【小问1详解】

因为q=2,4—(〃+1)为=—1,所以4_2q=_l,解得：ci2=3；2a3—3a2=—1

解得：%=4.