4.5.3 函数模型的应用（第2课时）（教学课件）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册4.5.3函数模型的应用（第2课时）第4章指数函数与对数函数目录1

学习目标2

新课讲解3

课本例题4

课本练习5

题型分类讲解6随堂检测7

课后作业学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解化归推理运算解释说明用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？

分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多，投资周期合理(1)比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。解：设第x天所得回报是y元，则方案一：方案二：方案三：三种方案每天回报表x/天方案1方案2方案3y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140

10

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748365107374182.4表格y=40y=10xy=0.4×2x-1再画出三个函数的图象：

函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，用虚线连接离散的点.y=40y=10xy=0.4×2x-1由表和图象可知，方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.

可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.

从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.方案天数1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.2.分析函数模型的方法：从这个题我们知道了什么,我们学会了什么?解析法列表法图象法

1.不同函数模型

的增长特点：保持不变直线上升指数爆炸匀速递增急剧增长常数函数一次函数指数函数没有增长例6、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.

求函数解析式；接下来通过函数解析式画出函数图像进行分析。2004006008001000234567810①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;②对于模型y=1.002x,它在区[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求;③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=100时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求；根据图像，分析实际应用按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？

课本练习解：由1月，2月，3月的患病人数知：当时，当时，当时，代入甲选择的模型得代入乙选择的模型得当时，当时，当时，由可得当时，当时，当时，由可得4月，5月，6月份的患病人数分别是74,78,83可见，乙选择的模型更符合实际2.由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加2008~2018年的11年，上市的肉鸡数量如下;同期该地的人口数如下:(1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;(2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求?(3)按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?由于上述两个图象基本上都是呈直线增长，所以可以选择两个一次函数和分别刻画肉鸡数量和人口数量的变化.根据已知表格中的数据，可近似地得到，

.解：（2）因为,即2017年和2018年每万人平均可有肉鸡数量分别为81.45吨和81.90吨，而2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，2018年每万人平均可有肉鸡数量又大于2017年的，所以2018年能满足市场的需求.解：（3）因为每万人平均拥有肉鸡数量的函数是增函数，且当时，，所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求.考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2018年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可.1.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．

解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e0.5k，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.答案：1024.随堂检测2.一张纸（厚度以0.1毫米计算），对折多少次之后的高度，可超过珠穆朗玛峰高度（8848米）呢？解：设对折x次后，高度为y米。y=0.0001×2x∵要超过珠穆朗玛峰的高度∴y=0.0001×2x﹥8848m∴x﹥26.4

取整之后x=27∴这张纸对折27次之后的高度比珠穆朗玛峰还要高。3.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)解(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10}.(2)由100(1+10%)x>200,可得1.1x>2,即企业从第8年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.技巧：两边取对数4.某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.解(1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减，∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x