北京市昌平区2024届中考数学四模试卷含解析

北京市昌平区2024届中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.在实数兀，0,折，-4中，最大的是()

A.nB.0C.V17D.-4

2.2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒.将17200用科学记数法表示应为()

A.172X102B.17.2X103C.1.72X104D.0.172x10s

3.如图是由6个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是()

)

(1)等腰三角形的两个底角相等

(2)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

(3)对角线相等的四边形为矩形

(4)圆的切线垂直于半径

(5)平分弦的直径垂直于弦

A.1B.2C.3D.4

6.学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表:

得分（分）60708090100

人数（人）7121083

则得分的众数和中位数分别为（）

A.70分，70分B.80分，80分C.70分，80分D.80分，70分

Q

7.点M（a,2a）在反比例函数y=—的图象上，那么a的值是（）

x

A.4B.-4C.2D.±2

8.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪

等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡

片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同.现将这5张卡

片洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（)

3

C.D.

25

9.为了开展阳光体育活动，某班计划购买键子和跳绳两种体育用品，共花费35元，键子单价3元，跳绳单价5元,

购买方案有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

10.如图，已知AB〃CD,DE±AF,垂足为E,若NCAB=50。，则ND的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

11.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,ZA=60°,若边AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,贝！|ABDC

的周长为（）

A.8B.9c.5+V21D.5+717

12.反比例函数丫=巴（a>0,a为常数）和y=—在第一象限内的图象如图所示，点M在y=@的图象上，乂（3，*轴

XXX

于点C,交丫=一的图象于点A；MD_Ly轴于点D,交丫=一的图象于点B,当点M在y=@的图象上运动时，以下结

xxx

论:

①SAODB=SAOCA;

②四边形OAMB的面积不变;

③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点.

C.2D.3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.从一副54张的扑克牌中随机抽取一张，它是K的概率为

14.如图，。。的半径弦4B于点C,连结40并延长交。。于点E,连结EC.若45=8,CD=2,则EC的长

为.

15.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若NF=30。，DE=1,

则BE的长是

16.如图，已知△ABC,AB=6,AC=5,D是边AB的中点，E是边AC上一点，ZADE=ZC,NBAC的平分线分别

交DE、BC于点F、G,那么k的值为

17.对角线互相平分且相等的四边形是()

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

18.商的算术平方根是.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

19.(6分)已知：如图，一次函数丫=履+6与反比例函数y=—的图象有两个交点A(l,%)和过点4作AOLx轴,

垂足为点。；过点8作8C_Ly轴，垂足为点C,且6C=2,连接CD.

求加，k,b的值；求四边形ABC。的面积.

3

20.(6分)已知函数y=—(x>0)的图象与一次函数y=ax-2(a/0)的图象交于点A(3,n).

x

(1)求实数a的值;

(2)设一次函数y=ax-2(a^O)的图象与y轴交于点B,若点C在y轴上，且SAABC=2SAAOB,求点C的坐标.

21.(6分)某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A,B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况:

销售数量

销售时段销售收入

B种型

A种型号

号

第一周3台5台1800元

第二周4台10台3100元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

⑴求A,B两种型号的电风扇的销售单价.

⑵若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？

(3)在⑵的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能,

请说明理由.

22.(8分)2019年8月.山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态.太

职学院足球场作为一个重要比赛场馆.占地面积约24300平方米.总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体

建筑简洁大方，独具特色.2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个

座位后，采用新技术，效率比原来提升了25%.结来比原计划提前4天完成安装任务.求原计划每天安装多少个座位.

23.(8分)如图，A5为)。的直径，AB=4,P为AB上一点，过点P作。的弦CD,设NBCD=mZACD.

(1)若加=2时，求/BCD、NACD的度数各是多少？

AP2-J3

(2)当竺=-g时，是否存在正实数根，使弦CD最短？如果存在，求出机的值，如果不存在，说明理由；

PB2+V3

AP1

(3)在(1)的条件下，且——=—,求弦CD的长.

PB2

24.(10分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(0,1),点C(1,0),正方形AOCD的两条对角线的交点

为B,延长BD至点G,使DG=BD,延长BC至点E,使CE=BC,以BG,BE为邻边作正方形BEFG.

(I)如图①，求OD的长及言的值；

(II)如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE'F'G，，记旋转角为a(0°<a

<360°),连接AG\

①在旋转过程中，当NBAG，=90。时，求a的大小；

②在旋转过程中，求AF，的长取最大值时，点F，的坐标及此时a的大小(直接写出结果即可).

25.(10分)如图，在AABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分NABC交AE于点M,经过B、M两点的。O

交BC于点G,交AB于点F,FB恰为。。的直径.

(1)判断AE与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若BC=6,AC=4CE时，求。O的半径.

26.(12分)某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1)固定△ABC不动，将ADEF沿线段AB

向右平移.

(1)若NA=60。，斜边AB=4,设AD=x(0WxW4),两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y,试求出y与x的函数关

系式；

(2)在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加

一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？

27.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=g(x>0)的图象与直线y=2x+l交于点A(1,m).

(1)求k、m的值；

(2)已知点P(〃，0)(«>1),过点尸作平行于y轴的直线，交直线y=2x+l于点5,交函数y=?x>0)的图象于点

C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当”=3时，求线段上的整点个数；

②若y=；（尤>0）的图象在点A、c之间的部分与线段A3、5c所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，直接写出

n的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解题分析】

根据实数的大小比较即可得到答案.

【题目详解】

解：•.,16<17V25,.•.4<旧<5,g>7r>0>—4,故最大的是折，故答案选C.

【题目点拨】

本题主要考查了实数的大小比较，解本题的要点在于统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被

开方数的大小.

2、C

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【题目详解】

解：将17200用科学记数法表示为1.72x1.

故选C.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iqa|<10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

3、B

【解题分析】

根据题意找到从左面看得到的平面图形即可.

【题目详解】

这个立体图形的左视图是曰~।,

故选:B.

【题目点拨】

本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握左视图所看的位置.

4、C

【解题分析】

A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k>0,由一次函数的图象过二、四象限可知kVO,两结论相矛盾，故选项

错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0,由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k>0,

两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0,由一次函数的图象过二、三、四象限

可知k<0,两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k>0,由一次函数的图象与y轴交

点在y轴的负半轴可知kVO,两结论相矛盾，故选项错误，

故选C.

5、D

【解题分析】分析：根据等腰三角形的性质、正方形的判定定理、矩形的判定定理、切线的性质、垂径定理判断即可.

详解：等腰三角形的两个底角相等，（1）正确；

对角线相等、互相平分且互相垂直的四边形是正方形，（2）错误；

对角线相等的平行四边形为矩形，（3）错误；

圆的切线垂直于过切点的半径，（4）错误；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，（5）错误.

故选D.

点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉

课本中的性质定理.

6、C

【解题分析】

解：根据表格中的数据，可知70出现的次数最多，可知其众数为70分；把数据按从小到大排列，可知其中间的两个

的平均数为80分，故中位数为80分.

故选C.

【题目点拨】

本题考查数据分析.

7、D

【解题分析】

Q

根据点M(a,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得:2/=8，然后解方程即可求解.

x

【题目详解】

Q

因为点M3,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得：

x

2a2=8,

a2—4,

解得:«=±2,

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查反比例函数图象的上点的特征，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.

8、B

【解题分析】

先找出滑雪项目图案的张数，结合5张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解.

【题目详解】

•••有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，

2

二从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是y.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了简单事件的概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9、B

【解题分析】

首先设犍子能买X个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解.

【题目详解】

解：设键子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：

3x+5y=35,

3

y=7-jx,

；x、y都是正整数，

.♦.x=5时，y=4；

x=10时，y=l；

购买方案有2种.

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.

10、B

【解题分析】

试题解析：•••45〃。，且/C4B=50°,

；.NECD=50。,

EDLAE,

.-.ZCED=90S

...在RtCED中,ZD=90°-50°=40°.

故选B.

11、C

【解题分析】

过点C作CMLAB,垂足为M,根据勾股定理求出BC的长，再根据DE是线段AC的垂直平分线可得△ADC等边

三角形，贝!ICD=AD=AC=4,代入数值计算即可.

【题目详解】

A

M

BC

过点C作CM_LAB,垂足为M,

在RtAAMC中，

；NA=60。，AC=4,

,*.AM=2,MC=26，

/.BM=AB-AM=3,

在RtABMC中，

BC=yjBM2+CM2=J32+（2A/3）2=721,

；DE是线段AC的垂直平分线，

/.AD=DC,

VZA=60°,

/.△ADC等边三角形，

/.CD=AD=AC=4,

AABDC的周长=DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+5.

故答案选c.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算.

12、D

【解题分析】

根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解.

【题目详解】

2

①由于A、B在同一反比例函数y=—图象上，由反比例系数的几何意义可得SAODB=SAMA=1,正确；

②由于矩形OCMD、AODB>△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；

③连接OM,点A是MC的中点，则SAODM=SAOCM=@,因SAODB=SAOCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B

2

一定是MD的中点.正确；

故答案选D.

考点：反比例系数的几何意义.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

2

13、—

27

【解题分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【题目详解】

一副扑克牌共有54张，其中只有4张K,

42

从一副扑克牌中随机抽出一张牌，得到K的概率是一=一，

5427

2

故答案为：—.

27

【题目点拨】

此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P(A)=竺.

n

14、2而

【解题分析】

设。O半径为r,根据勾股定理列方程求出半径r,由勾股定理依次求BE和EC的长.

【题目详解】

连接BE,

设（30半径为r,则OA=OD=r,OC=r-2,

VOD±AB,

.\ZACO=90°,

1

AC=BC=-AB=4,

2

在RtAACO中，由勾股定理得：r2=42+(r-2)2,

r=5,

:.AE=2r=10,

；AE为。O的直径，

...NABE=90。，

由勾股定理得：BE=6,

在RtAECB中，EC=dBE'BC?=762+42=2713•

故答案是：2万.

【题目点拨】

考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

15、2

【解题分析】

；NACB=90。，FD1AB,/.ZACB=ZFDB=90°o

•.•NF=30。，.•.NA=NF=30。(同角的余角相等)。

又AB的垂直平分线DE交AC于E,二ZEBA=ZA=30°.

RtADBE中，BE=2DE=2o

3

16、-

5

【解题分析】

AF

由题中所给条件证明AADF〜AACG,可求出「的值.

AG

【题目详解】

解：在AADF和AACG中，

AB=6,AC=5,。是边A5的中点

AG是NR4C的平分线，

,\ZDAF=ZCAG

NADE=NC

.,.△ADF-AACG

.AFAD_3

*'AG-AC'5'

3

故答案为§.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.

17、B

【解题分析】

根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案.

【题目详解】

•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，

/.对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形.

故选B.

【题目点拨】

此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理.此题比较简单，解题的关键是熟记定理.

18、3

【解题分析】

根据算术平方根定义，先化简返I,再求病的算术平方根.

【题目详解】

因为a=9

所以标的算术平方根是3

故答案为3

【题目点拨】

此题主要考查了算术平方根的定义，解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚，才不容易出错.要熟悉

特殊数字0,1,-1的特殊性质.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

33

19、(1)m=3,k=—,b--.(2)6

22

【解题分析】

(D用代入法可求解，用待定系数法求解；(2)延长AD,交于点E,则N£=90。.根据S四边形ABCD=S“BE-SASE

求解.

【题目详解】

3

解：(1)•.•点A(Lm)在y=3上，

X

:•m=3,

3

•・•点5在丁=—上，且5。=2,

X

3

・.・y=丘+〃过人，B两点,

k+b=3

••/3，

-2k+b=——

I2

2

2

解得，

b=-

[2

.c,3,3

•■m=3,k=一,b=—.

22

(2)如图，延长A£),BC交于点、E,则/£=90°.

•••5C_Ly轴，AD,九轴，

3

.•.£>(1,0),C(0,--),

2

9

：.AE=-,BE=3,

2

S四边形ABC"=SAABE_S^CDE

=-AEBE--CEDE

22

19.1,3

二—x—x3——xlx—

2222

=6.

四边形ABC。的面积为6.

【题目点拨】

考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.

20、(1)a=l；(2)C(0,-4)或(0,0).

【解题分析】

3

(1)把A(3,n)代入y=—(x>0)求得n的值，即可得A点坐标，再把A点坐标代入一次函数y=ax-2可得

x

a的值；(2)先求出一次函数y=ax-2(a^O)的图象与y轴交点B的坐标，再分两种情况(①当C点在y轴的正

半轴上或原点时；②当C点在y轴的负半轴上时)求点C的坐标即可.

【题目详解】

3._―

(1),函数y=—(x>0)的图象过(3,n),

x

.,.3n=3,

n=l,

AA(3,1)

,.,一次函数y=ax-2(a=0)的图象过点A(3,1),

l=3a-1,解得a=l；

(2)V—•次函数y=ax-2(a/0)的图象与y轴交于点B,

AB(0,-2),

①当C点在y轴的正半轴上或原点时，设C(0,m),

"*'SAABC=2SAAOB,

—x(m+2)x3=2x—x3,解得：m=0,

22

②当C点在y轴的负半轴上时，设(0,h),

"*'SAABC=2SAAOB，

-x(-2-h)x3=2x-x3,解得：h=-4,

22

AC(0,-4)或(0,0).

【题目点拨】

本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决第(2)问时要注意分类讨论，不要漏解.

21、(1)A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2)A种型号的电风扇最多能采购10台；(3)在

⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【解题分析】

(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A

型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；

(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30-a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；

(3)设利润为1400元，列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件，可知不能实现目标.

【题目详解】

⑴设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台.

3x+5y=1800%=250

依题意,得《解得<

[4x+10y=3100y=2i0

答：A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台.

⑵设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30—0)台.

依题意，得200a+170(30—a)W5400,

解得a<10.

答：A种型号的电风扇最多能采购10台.

(3)依题意，有(250-200)。+(210-170)(30-a)=1400,

解得a=20.

Va<10,

...在⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系和不等关系，列方程组和不等式求解.

22、原计划每天安装100个座位.

【解题分析】

根据题意先设原计划每天安装x个座位，列出方程再求解.

【题目详解】

解：设原计划每天安装x个座位，采用新技术后每天安装(1+25%)%个座位,

2476-4762476-476

由题意得:=4

x

解得：X=100.

经检验：％=100是原方程的解.

答：原计划每天安装100个座位.

【题目点拨】

此题重点考查学生对分式方程的实际应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.

23、(1)ZACD=3009=60°;(2)见解析；(3)DC-

7

【解题分析】

(1)连结AD、BD,利用m求出角的关系进而求出/BCD、NACD的度数；

(2)连结”＞，由所给关系式结合直径求出AP,OP,根据弦CD最短，求出/BCD、NACD的度数，即可求出m的

值.

(3)连结AD、BD,先求出AD,BD,AP,BP的长度，利用△APCsaDPB和ACPBsaAPD得出比例关系式，

得出比例关系式结合勾股定理求出CP,PD,即可求出CD.

【题目详解】

解：(1)如图1,连结AD、BD.

QAB是。的直径

ZACB=90°,ZADB=90°

又ZBCD=2ZACD,ZACB=ZBCD+ZACD

:.ZACD=30°,ZBCD=6Q°

(2)如图2,连结8.

D图2

4-AP-2+73

解得AP=2—6a

.-.0P=2-AP=73

要使CD最短，则CDLAfi于P

.•""8=竺=乌

0D2

:.ZPOD=30°

:.ZACD=15°,ZBCD=75。

:.ZBCD=5ZACD

:.m=5,

故存在这样的加值，且7〃=5；

(3)如图3,连结AD、BD.

由(1)可得NAB£)=NACD=30°,AB=4

.-.AD=2,BD=2A/3，

AP_1

~PB~2,

:.AP=-,BP=-,

33

ZAPC=NDPB,ZACD=ZABD

AAPC^ADPB

ACAPPC

"DB~DP~BP'

:.AC•DP=AP•DB=匕2用=虫^①,

33

AQ32

PC•DP=AP-BP=—£=L②

339

同理ACPBSAAP。

BPBC

"~DP~^D，

5。。夕=耽4£>=§.2=3③，

33

由①得AC=®3,由③得3C=上

3DP3DP

8百1673

AC:BC=____,_______

3-32

在AABC中，AB=4,

.・T

由②P-c乎奇，得PC=坪,

DC6PD*

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题

的关键.

24、(I)-(II)①a=30。或150。时，/8人6，=90(^当＜/=315。时，A、B、F，在一条直线上时，AF，的长最大，最大

2

历11_

值为三+2,此时a=315。，口(5+加，y-V2)

【解题分析】

⑴根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为NA4G，=90。，

A31

5G，=2A5,可知sinZAGfB=——二—，推出NZG5=30。,推出旋转角a=30。,据对称性可知，当N4BG〃=60。时,NB4G”=90。,

BG2

也满足条件，此时旋转角a=150。,②当a=315。时人、B、F在一条直线上时M尸的长最大.

【题目详解】

(I)如图1中，

VA(0,1),

.\OA=1,

四边形OADC是正方形,

/.ZOAD=90°,AD=OA=1,

OD=AC=)]2+]2=1^,

:.AB=BC=BD=BO=^,

2

VBD=DG,

；.BG=历，

.AB挈1

BG422

(II)①如图2中，,

•；NBAG，=90。，BG=2AB,

sinNAGfB==—,

BG2

NAG，B=30。，

...NABG，=60。，

:.NDBG'=30°,

旋转角a=30。，

根据对称性可知，当NABG”=60。时，NBAG"=90。，也满足条件，此时旋转角a=150。,

综上所述，旋转角a=30。或150。时，NBAG，=90。.

②如图3中，连接OF,

•.•四边形BE，F，G，是正方形的边长为友

・・・BF'=2,

二当a=315。时，A、B、P在一条直线上时，AF，的长最大，最大值为返+2,

2

此时a=315。，『(=+加,\-血)

【题目点拨】

本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边

相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用.

25、(1)AE与。O相切.理由见解析.(2)2.1

【解题分析】

(1)连接OM,则OM=OB,利用平行的判定和性质得到OM〃BC,NAMO=NAEB,再利用等腰三角形的性质和

切线的判定即可得证；

(2)设。O的半径为r,则AO=12-r,利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12,易证

△AOM-AABE,根据相似三角形的性质即可求解.

【题目详解】

解：(1)AE与。O相切.

连接OM,贝!]OM=OB,

.\ZOMB=ZOBM,

VBM平分NABC,

ZOBM=ZEBM,

/.NOMB=NEBM,

；.OM〃BC,

.•.NAMO=NAEB,

在小ABC中，AB=AC,AE是角平分线,

•\AE±BC,

，NAEB=90°,

NAMO=90。，

AOM1AE,

；.AE与。O相切；

(2)在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线,

1

/.BE=-BC,ZABC=ZC,

2

1

*.*BC=6,cosC=—,

4

1

BE=3,cosZABC=—,