浙教版七年级数学下册专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一平行线中一个拐点问题】 1【考点二平行线中两点及多点拐点问题】 3【考点三平行线中在生活上的拐点问题】 6【过关检测】 9【典型例题】【考点一平行线中一个拐点问题】例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．【变式训练】1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．【考点二平行线中两点及多点拐点问题】例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【变式训练】1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．【考点三平行线中在生活上的拐点问题】例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．2．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°【过关检测】一、选择题1．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，直线ABCD，∠B＝25°，∠D＝37°，则∠E＝（

）A．25° B．37° C．62° D．12°2．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°3．（2022秋·甘肃兰州·七年级统考期末）如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（

）A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠24．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2022秋·云南昭通·七年级统考期中）如图，，，，则的度数为___．6．（2022秋·山西晋中·七年级统考期中）科技小制作的特点在于富含科技，结构简单、材料好找、加工容易、能够独立完成，特别适合于学生．如图所示，某科技制作小组制作的一艘航模船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则等于______．7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角为∠C，若MA与CN平行，则∠C的度数为_________.8．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．三、解答题9．（2022秋·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．(1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．10．（2022春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性质）．即，，之间的数量关系是______．（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．11．（2022春·吉林长春·七年级校考期末）【感知】如图①，，，，的度数为______．【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．12．（2022·全国·七年级专题练习）已知，的平分线与的平分线相交于点F．(1)在图1中，求证：①；②；(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）13．（2021秋·贵州黔东南·七年级校考期末）阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）14．（2022秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．15．（2022春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图①，直线ABCD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EFAB，∵ABDC（已知），EFAB（辅助线的作法），∴EFDC（__________________）．∴∠C=∠CEF．（__________________）∵EFAB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=_________（等量代换）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C=360°−∠BEC．（3）解决问题如图③，ABDC，E、F、G是AB与CD之间的点，找出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系，并说明理由．专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一平行线中一个拐点问题】 1【考点二平行线中两点及多点拐点问题】 3【考点三平行线中在生活上的拐点问题】 6【过关检测】 9【典型例题】【考点一平行线中一个拐点问题】例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．【答案】##66度【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．【变式训练】1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．【答案】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C作，∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），∵，，∴，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∴，∴在原图中，故答案为：．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．【答案】##20度【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．【详解】解：如图，过点作，则，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．【考点二平行线中两点及多点拐点问题】例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正确；④如图4，过点P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【考点三平行线中在生活上的拐点问题】例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．【答案】【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°【答案】90度##90°【分析】根据CD与AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根据，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解．【详解】如图，设置点M、N，根据题意有：，∵CD与AB的方向一致，∴，∴∠DCB=∠CBA，∵，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，∴∠ABC=90°，∴∠DCB=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，直线ABCD，∠B＝25°，∠D＝37°，则∠E＝（

）A．25° B．37° C．62° D．12°【答案】C【分析】首先过点E作EFAB，由ABCD，可得ABEFCD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【详解】解：过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∵∠B＝25°，∠D＝37°，∴∠1＝∠B＝25°，∠2＝∠D＝37°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝25°＋37°＝62°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质．用到的性质是：两直线平行，内错角相等．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．2．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°【答案】C【分析】过点作，可得，根据平行线的性质可得，根据已知求得，进而即可求解．【详解】解：如图，过点作，∴，∴,∵，∴，．故选C．【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2022秋·甘肃兰州·七年级统考期末）如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（

）A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2【答案】A【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．【详解】解：如图，∵ABCD，CDEF，∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∴∠4＝180°－∠2，∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．4．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．【详解】解：如图，延长交于，∵，，，又，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．二、填空题5．（2022秋·云南昭通·七年级统考期中）如图，，，，则的度数为___．【答案】125°或125度【分析】过点C做的直线，得，根据两直线平行，同旁内角相等，即可求出的度数．【详解】∵∴过点C做∴∴；又∵，∴；∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．6．（2022秋·山西晋中·七年级统考期中）科技小制作的特点在于富含科技，结构简单、材料好找、加工容易、能够独立完成，特别适合于学生．如图所示，某科技制作小组制作的一艘航模船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则等于______．【答案】60°##60度【分析】根据题意可得，，从而利用平行线的性质可求出的度数，然后进行计算即可解答．【详解】解：如下图：由题意得：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角为∠C，若MA与CN平行，则∠C的度数为_________.【答案】140°##140度【分析】作，如图，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质由得到∠ABD=∠A=120°，则∠DBC=40°，然后利用求出∠C．【详解】解：作，如图，∵，,∴，∵,∴∠ABD=∠A=110°，∴∠DBC=150°−110°=40°，∵，∴∠C+∠DBC=180°，∴∠C=180°−40°=140°.故答案为：140°【点睛】本题考查平行线的判定及性质，已知两条直线平行，找截线，才会有同位角、内错角相等，同旁内角互补.如果没有截线，那就要做辅助线，构造截线，本题的解题关键在于作，成功构造出了截线AB和BC．8．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正确；④如图4，过点P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．三、解答题9．（2022秋·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．(1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．【答案】(1)∠APD=80°(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°【分析】（1）过点P作PQAB，利用平行线的性质求出∠A=∠APQ=50°，∠DPQ=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；（2）过点P作PEAB，得到∠A+∠APE=180°，由ABCD，得到PECD，推出∠CDP=∠APD+180°-∠PAB，即可得到结论∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．（1）过点P作PQAB，∵∠A=50°，∠D=150°，∴∠A=∠APQ=50°，∵ABCD，∴PQCD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）如图，过点P作PEAB，∴∠A+∠APE=180°，∵ABCD，∴PECD，∴∠CDP=∠DPE=∠APD+∠APE=∠APD+180°-∠PAB，∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，故答案为∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．10．（2022春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性质）．即，，之间的数量关系是______．（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；（2）；（3）【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；（2）如图2，过E点作，根据平行线的性质可得，，结合对顶角的性质可求解；（3）由（2）知：，如图3，过F点作，利用平行线的性质可得，由角平分线的定义即可求解．【详解】解：（1）过点P作，∵（已知），∴（平行于同一条直线的两条直线平行），∴，（两直线平行，内错角相等），∴（等式的性质）．即，，之间的数量关系是．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；（2）如图2，过E点作，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：；（3）由（2）知：，如图3，过F点作，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴．即．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用类比方式推理是解题的关键．11．（2022春·吉林长春·七年级校考期末）【感知】如图①，，，，的度数为______．【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．【答案】感知：；探究：（1）；（2）或．【分析】感知：过点P作直线，根据平行线性质知两直线平行同旁内角互补可以求出，和即可；探究：（1）如图，过点P作直线，而，可得，可得，，从而可得答案；（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，可得，可得，，当在的右边时，如图，过点P作直线，而，，，，再利用角的和差可得答案．【详解】解：感知：过点P作直线，∵，∴．∴，，∵，，∴，，∴．∴的度数为．故答案为：105°；探究：（1）如图，当点P在线段上运动时，过点P作直线，而，∴，∴，，∴．（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，∴，∴，，∴．当在的右边时，如图，过点P作直线，而，∴，∴，，∴．故答案为：或．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出辅助线构建平行线探究角与角之间的联系是解本题的关键．12．（2022·全国·七年级专题练习）已知，的平分线与的平分线相交于点F．(1)在图1中，求证：①；②；(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）【答案】(1)证明见详解；(2)，证明见详解；(3)【分析】（1）①根据平行线的性质可得：，②根据平行线的性质可得：，（2）设，，则，，，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论；【详解】（1）证明：①如图１，过点作，，，，证明：②如图１，过点作，，即（2）解：关系式为，证明：设，，时，且平分，平分，，由（１）得，，，，即，，（3）解：设则，，由（１）可得，，，，，即的度数（用含m，n的式子表示）表示为【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．13．（2021秋·贵州黔东南·七年级校考期末）阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）过点E作EFAB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参照彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）过点E作EFAB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参照彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数．（1）如图1，过点作，

，

，，，，（2）过点E作EFAB，如图2，则∠BEF+∠EBA=180°，∴∠BEF=180°-∠EBA，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠EDC，∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．14．（2022秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案为：∠M