微专题03解三角形(原卷版+解析)

微专题03解三角形秒杀总结在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.例1.乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中百米，百米，为正三角形，建成后，将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.（1）当时，求旅游休闲区域的面积；（2）设，求旅游休闲区域的面积的最大值例2.在平面四边形中，，，，.（1）若，求；（2）若，求.例3.在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.例4.在中，分别为角的对边，且有（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积．过关测试一、解答题1．（2023·云南省玉溪第一中学高二期中（文））为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．（1）若，求护栏的长度（的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？2．（2023·江苏南通·高三期中）在中，已知D是BC上的点，AD平分，且.（1）若，求的面积；（2）若，求.3．（2023·江苏盐城·高三期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求证：存在，使得；（2）求面积S的最大值.4．（2023·江苏·高三期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.（1）求角C的大小；（2）设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.5．（2023·江苏淮安·高三期中）在中，，，分别为内角，B，的对边，且.（1）求的大小；（2）若，试判断的形状；（3）若，求周长的最大值.6．（2023·江苏常州·高三期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，点D为边BC上一点，.（1）求的大小；（2）若，，求|AB|.7．（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））在平面四边形中，，，，（1）求的长；（2）求的最大值．8．（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的取值范围.9．（2023·广东肇庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）若，求的值；（2）是否存在，满足为直角？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.10．（2023·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m．（1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．11．（2023·上海市延安中学高一期中）如图，为一个等腰三角形的空地，腰的长为3（百米），底的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和；（1）若小路一端E为的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值.12．（2023·江苏东海·高一期中）如图，在圆O的内接四边形中，，记的面积为，的面积为，.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，求的最大值，并写出此时的值.13．（2023·江苏·无锡市第一中学高一期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.（1）求出所有可能的三角形的面积；（2）如图，已知平面凸四边形中，，，，.①求满足的数量关系；②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.14．（2023·江苏·金陵中学高一期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；（2）若，求的最小值．15．（2023·全国·高一课时练习）如图，某人身高，他站的地点和云南大理文笔塔塔底在同水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角：塔尖MN的视角（是塔尖底，在线段上）.（1）求塔高；（2）此人在线段上离点多远时，他直立看塔尖的视角最大？说明理由.参考数据：，，.16．（2023·重庆复旦中学高二开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的最小值；（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：①；②.17．（2023·江苏·扬州中学高一阶段练习）如图，在中，，是角的平分线，且．（1）若，求实数的取值范围．（2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．18．（2023·上海青浦·一模）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．19．（2023·江苏·吕叔湘中学高二期末）在中，，是边的中点.（1）若，，求的长；（2）若，，求的面积.20．（2023·浙江·高一期末）已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且的面积.（1）记，，若.（i）求角C，（ii）求的值；（2）求的取值范围.21．（2023·山东省招远第一中学高三阶段练习）在中，角，，的对应边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，求的最小值.22．（2023·北京·北师大二附中高三期中）如图，四边形中，，，设.（1）若面积是面积的4倍，求；（2）若，求.23．（2023·江西·上高二中高二阶段练习（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）求证：；（2）若是锐角三角形，，求的范围.24．（2023·河北枣强中学高二期末（文））在中的内角、、，，是边的三等分点（靠近点），．（）求的大小．（）当取最大值时，求的值．25．（2023·陕西·西安一中高二期中）如图，在四边形中，已知，求26．（2023·山东泰安·高三期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足.（1）求；（2）设的角平分线与直线AC交于点E，求证：.27．（2023·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（理））如图，在平面四边形中，，，.（1）若，求的面积；（2）若，，求.28．（2023·福建·福州三中高一期中）乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中百米，百米，为正三角形，建成后，将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.（1）当时，求旅游休闲区域的面积；（2）设，求旅游休闲区域的面积的最大值29．（2023·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）在平面四边形中，，，，.（1）若，求；（2）若，求.30．（2023·河南·南阳中学高二阶段练习）在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.31．（2023·全国·高三专题练习）在中，分别为角的对边，且有（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积．微专题03解三角形秒杀总结在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.例1.乌龙江湿地公园拥有良好的生态环境和多样化的景观资源，为了吸引游客，计划在该公园内搭建一个形状为平面凸四边形的旅游休闲及科普宣教平台（如图所示），其中百米，百米，为正三角形，建成后，将作为人们旅游休闲的区域，其余部分作为科普宣教平台.（1）当时，求旅游休闲区域的面积；（2）设，求旅游休闲区域的面积的最大值答案:（1）；（2）【详解】（1）在△ACD中，由余弦定理知：，解得：.由正弦定理：，即，所以.因为，所以，所以，所以.所以的面积为.（2）设，，在△ACD中，由余弦定理知：，，所以，由正弦定理知：，即,所以∴,当且仅当,即时,等号成立，故△BCD的面积的最大值为例2.在平面四边形中，，，，.（1）若，求；（2）若，求.答案:（1）；（2）.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，由正弦定理可得，，所以，又，所以；在中，，，，由正弦定理可得，，则；（2）在中，，，由正弦定理可得，则；在中，，，由正弦定理可得，则，因为，所以，解得，由余弦定理可得：.例3.在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.答案:(1)(2)【详解】（1）因为所以即，所以，即，；（2）由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为.例4.在中，分别为角的对边，且有（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积．答案:（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）由余弦定理得：由题意可知：的内切圆半径为如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点可得：，，化简得（当且仅当时取等号）或又，即，当且仅当时，的最小值为此时三角形的面积：过关测试一、解答题1．（2023·云南省玉溪第一中学高二期中（文））为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．（1）若，求护栏的长度（的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？答案:（1）（2）（3）时，的面积取最小值为分析：（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值.（1）∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得：，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；（2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，由，得，所以，即；（3）设（），由（2）知，，中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.2．（2023·江苏南通·高三期中）在中，已知D是BC上的点，AD平分，且.（1）若，求的面积；（2）若，求.答案:（1）6；（2）3.分析：（1）由角平分线的性质可得，结合已知求，进而可得，由三角形面积公式求面积即可.（2）令、结合已知得到与的关系，过作交延长线于，有，，由即可得的线性关系式，应用向量数量积的运算律求的模即可.（1）在中，由角平分线性质：，而，∴，∴，，，易知：，∴.（2）令、，又，如图过作交延长线于，则且，，又，即，∴，两边平方，，∴.3．（2023·江苏盐城·高三期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求证：存在，使得；（2）求面积S的最大值.答案:（1）证明过程见解析；（2）.分析：（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可证明；（2）将的面积用角表示出来，进而求出最大值.（1）证明：由，可得：由正弦定理得：所以所以即所以或者即或者当时，符合题意此时令，得：所以存在，使得（2）解：由（1）知或者，，①当时，对求导得：因为，所以在三角形中，，且令得：在时，在时，所以是，取得极小值，此时无最大值②当时，当时，，取得最大值.所以面积的最大值为.【点睛】思路点睛：本题第二问利用三角形的面积公式将面积表示出来，再分别对和两种情况进行讨论，进而利用导数或三角函数求最值.4．（2023·江苏·高三期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.（1）求角C的大小；（2）设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.答案:（1）；（2）.分析：（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；（2）在和中，分别运用正弦定理，进而求出，然后在中再次运用正弦定理得到，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.（1）根据题意，由正弦定理可知：，则，因为，所以，则，而，于是.（2）由（1）可知，，在中，设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，所以.在中，由正弦定理得：，所以.由基本不等式可得：，当且仅当时取“=”.于是，.即△ABC的面积的最小值为.5．（2023·江苏淮安·高三期中）在中，，，分别为内角，B，的对边，且.（1）求的大小；（2）若，试判断的形状；（3）若，求周长的最大值.答案:（1）（2）等腰钝角三角形（3）最大值为分析：（1）根据正弦定理结合余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，由此可得出结论；（3）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．（1）因为，根据正弦定理得，整理得由余弦定理可得又，所以（2）由（1）知，又得，即，因为，则，，即，，则为等腰钝角三角形；（3）由，及余弦定理知则，知，当且仅当时等号成立所以因此周长的最大值为.6．（2023·江苏常州·高三期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，点D为边BC上一点，.（1）求的大小；（2）若，，求|AB|.答案:（1）；（2）﹒分析：(1)结合与正弦定理边化角即可求解；(2)根据几何关系，在△ABD内求|AB|﹒（1）∵，∴由正弦定理得，∵，∴；（2）∵，，∴，又，又又∴．7．（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））在平面四边形中，，，，（1）求的长；（2）求的最大值．答案:（1）；（2）．分析：（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的长；（2）先推出A、B、C、D四点共圆，然后求出，问题归结为求的最大值.，显然当为外接圆的直径时最大，再用正弦定理求出外接圆直径即可.【详解】（1）∵在中，，，∴利用余弦定理得：∵∴（2）∵，∴∴A、B、C、D四点共圆如图所示：在AC上取点E，使得∠CBE=∠DBA，又∵∠BCE=∠BDA∴∴，即①同理可得：∴，即②①+②得：由（1）可知，∴∴求的最大值即求的最大值.当AC为圆的直径时，最大由正弦定理得：∴最大值为，此时的最大值为8．（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的取值范围.答案:.分析：根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由，根据正弦定理可得，即，即，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.选②：由，根据正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.若选③：由，可得，即，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.9．（2023·广东肇庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）若，求的值；（2）是否存在，满足为直角？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.答案:（1）；（2）不存在，理由见解析.分析：（1）利用正弦定理进行角化边，进而通过余弦定理解得答案；（2）先假设为直角，进而得到，进而结合条件和（1）中的结论得到关于的方程即可判断.【详解】（1）因为，所以，因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得.（2）假设为直角，则，，由于，根据正弦定理，即，上式两边平方得：，所以，由于，所以，，与矛盾，故不存在满足为直角.10．（2023·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m．（1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．答案:（1）；（2）.分析：（1）先由余弦定理求出ME，再求出，进而求出，最后根据正弦定理求出答案；（2）先用等面积法求出间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立之间的不等式，两者结合即可得到答案.【详解】（1）当，重合时，由余弦定理知，所以，因为，所以因为，所以，因为，所以，∴在中，由正弦定理可知，，解得m.（2）易知到地面的距离，所以，所以又由余弦定理可知，，当且仅当时“=”成立.所以，解得m．答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为．11．（2023·上海市延安中学高一期中）如图，为一个等腰三角形的空地，腰的长为3（百米），底的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和；（1）若小路一端E为的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值.答案:（1）；（2）分析：（1）计算得到，，利用余弦定理计算得到答案.（2）讨论小路的端点、分别在两腰上和一腰一底边上时的最小值，分别计算得到答案.【详解】（1）E为的中点，，不在上，在上，，，，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理得，即此时小路的长度为.（2）分类讨论小路的端点、的位置，求的最小值：①若小路的端点、分别在两腰上时，如图，设，则有，，当且仅当时等号成立；②若小路的端点、分别在一腰（不妨设腰）一底上时，如图，设，则有，当且仅当时等号成立；综上所述：的最小值是.【点睛】关键点点睛：本题考查了余弦定理求长度，基本不等式求最值，解题的关键是将转化为边的关系，利用和定积最大的思想做题，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于较难题.12．（2023·江苏东海·高一期中）如图，在圆O的内接四边形中，，记的面积为，的面积为，.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，求的最大值，并写出此时的值.答案:(1)；(2)；(3)32.分析：（1）利用同一圆内，相等弧长所对圆周角相等，得到四边形为等腰梯形，即可求出面积.（2）利用余弦定理和基本不等式，即可求解.（3）在和中，利用,即可解出,即可求出的最大值.【详解】解：（1）因为,根据同一圆内，相等弧长所对圆周角相等，得,故,所以四边形为等腰梯形,过点A作,,所以(2)由余弦定理得，，又,所以，所以在中，,（当且仅当取等号）所以，所以.所以的最大值为（3）在中，,在中，,联立以上两式得：，，解得：或(舍去)所以，当时，取最大值32.13．（2023·江苏·无锡市第一中学高一期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.（1）求出所有可能的三角形的面积；（2）如图，已知平面凸四边形中，，，，.①求满足的数量关系；②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.答案:（1），；（2）①；②，.分析：（1）先根据三角形两边之和大于第三边可知所有可能的情况有两种，再分别利用余弦定理求解其中一个内角的余弦，进而得出内角正弦，利用三角形面积公式求解面积即可（2）①连接，再分别列出和中的余弦定理即可；②根据可得，再结合①中的，结合三角恒等变换分析的最值即可【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为、当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，，当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，，（2）①连接，由余弦定理知∴，∴∴②∴又∵，∴，∴故当且仅当，取得最大值，此时，，∴，，14．（2023·江苏·金陵中学高一期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；（2）若，求的最小值．答案:（1）；（2）.分析：（1）由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小；由正弦定理和三角恒等变换得到，从而根据的范围求出即可；（2）由题意得出，，然后化简，从而利用基本不等式求最小值.【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得，又由余弦定理，得，所以，即，所以，又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，因为△ABC为锐角三角形，所以，即，所以，所以，即，所以，所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，即，又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，所以由正弦定理，得，又因为，所以，所以，即,两边同时除以，得，因为且△ABC为锐角三角形，所以，所以所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.15．（2023·全国·高一课时练习）如图，某人身高，他站的地点和云南大理文笔塔塔底在同水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角：塔尖MN的视角（是塔尖底，在线段上）.（1）求塔高；（2）此人在线段上离点多远时，他直立看塔尖的视角最大？说明理由.参考数据：，，.答案:（1）；（2），理由见解析.分析：（1）在中利用正弦定理求出，再由、计算可得；（2）由（1）求出，设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，则，，由利用两角差的正切公式及基本不等式计算可得；【详解】解：（1），，.在中，由正弦定理得，，又，.，所以，.（2）由（1）知，..，.设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，则，，，当且仅当，即时，等号成立.所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大.16．（2023·重庆复旦中学高二开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的最小值；（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：①；②.答案:（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.分析：（1）根据题设条件化简得到，再由正弦定理和余弦定理，化简得到，结合基本不等式，即可求解.（2）设，，，，，的面积分别为，，，①由余弦定理和面积公式，即可化简得到.②由（1）中可得，得到，在，，中求得，，，得到，即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理得，可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.（2）设，，，，，的面积分别为，，，①因为，所以，又因为，所以.②由（1）中可得，所以，在，，中，同理可得：，所以，，，所以，即，所以.17．（2023·江苏·扬州中学高一阶段练习）如图，在中，，是角的平分线，且．（1）若，求实数的取值范围．（2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．答案:（1）；（2）当时，的面积取最大值.分析：（1）设，则，利用可得出，由此可求得的取值范围；（2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得，可得出，利用辅助角公式可得出，结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论.【详解】（1）设，则，其中，由，可得，所以，，即，所以，；（2），可得，由余弦定理可得，所以，，所以，，可得，所以，，，则，由于函数在时单调递增，所以，随着的增大而减小，则当时，，此时，，由，可得，所以，，则.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18．（2023·上海青浦·一模）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．答案:（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．分析：（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.【详解】解：（1）．的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递减，所以函数单调递减区间为：；（2）因为，所以，，，．设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，，，（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.19．（2023·江苏·吕叔湘中学高二期末）在中，，是边的中点.（1）若，，求的长；（2）若，，求的面积.答案:（1）；（2）.分析：（1）本题首先可根据是边的中点得出，然后根据向量的运算法则求出，最后根据即可得出结果；（2）首先可在中得出，在中得出，然后根据是边的中点得出，即可求出以及，再然后根据两角和的正弦定理得出，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）因为在中，是边的中点，所以，因为，，，所以，故，的长为.（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因为是边的中点，所以，，则，，即，，，因为，所以，，则，的面积.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，考查向量的灵活应用以及解三角形面积公式，能否根据正弦定理以及两角和的正弦公式求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2023·浙江·高一期末）已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且的面积.（1）记，，若.（i）求角C，（ii）求的值；（2）求的取值范围.答案:（1）；或.（2）分析：（1）（i）由，利用向量共线的坐标运算可得，再利用正弦定理边化角得，借助，即可求得角C（ii）由，得，由余弦定理得：，两边同除以可得，，解方程即可求解.（2）由，得，由余弦定理得：，两边同除以可得，，分离取值范围已知的量：由，则，即，解不等式即可得到答案.【详解】（1）（i），，，，即利用正弦定理得：，即，化简得又，，又，（ii）由，得，即，化简得由余弦定理得：，即，两边同除以可得，令，得，解得所以的值为或（2）由，得，即由余弦定理得：，即，两边同除以可得，令，得，即由，则，即，解不等式得：所以的取值范围为：【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.21．（2023·山东省招远第一中学高三阶段练习）在中，角，，的对应边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，求的最小值.答案:（1）；（2）.分析：（1）利用余弦定理解得的值；（2）利用余弦定理结合导数判断出函数的单调性，求出最值，进而得出的最小值．【详解】（1），所以.（2）.设，则，所以是上的增函数.故，当且仅当，时，取得等号.于是，，即的最小值是.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．22．（2023·北京·北师大二附中高三期中）如图，四边形中，，，设.（1）若面积是面积的4倍，求；（2）若，求.答案:（1）（2）分析：（1）设AC＝a，可求ABa，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由题意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面积公式即可求解；（2）在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】（1）设，则，，，由题意，则，所以.（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得